芮國(guó)勝，苗俊，張洋，王林

(1.海軍航空工程學(xué)院 電子信息工程系，山東 煙臺(tái) 264001；2.海軍航空工程學(xué)院 研究生管理大隊(duì)，山東 煙臺(tái) 264001)

1 引言

系數(shù)比例自適應(yīng)(PNLMS, proportionate NLMS)算法[1～3]是近年來(lái)發(fā)展起來(lái)的一種快速收斂算法。該算法在處理稀疏特性信道時(shí)具有較快的收斂速度，其收斂性能優(yōu)于傳統(tǒng)的NLMS濾波器，但在處理非稀疏特性信道時(shí)，與NLMS算法相比其收斂速度較慢。為此，文獻(xiàn)[4]提出了一種IPNLMS算法改善了這種情況下的收斂速度，但它需要預(yù)先確定一個(gè)決定算法的行為參數(shù)，給實(shí)際應(yīng)用帶來(lái)不便。當(dāng)信道沖激響應(yīng)為時(shí)變時(shí)（如電話會(huì)議中的聲學(xué)回聲消除器[2]，微波通信信道的均衡等），IPNLMS算法性能急劇下降，其實(shí)用性大打折扣。針對(duì)這一情況，本文基于濾波器的凸組合的思想[5～7]，提出了一種同步長(zhǎng)的NLMS和PNLMS凸組合算法。該算法是基于每步迭代中，使得均方權(quán)值偏差(MSD, mean square deviation)的下降達(dá)到最大，提高了算法的收斂速度及其在時(shí)變信道環(huán)境下的跟蹤性能。為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、減少系統(tǒng)的失調(diào)，NLMS濾波器步長(zhǎng)應(yīng)與PNLMS濾波器步長(zhǎng)保持一致。仿真結(jié)果表明：該算法具有良好的收斂性能和跟蹤性能，具有實(shí)用價(jià)值。

2 組合濾波器算法

組合濾波器的原理如圖1所示。

圖1 組合濾波器的原理

圖1中，ω1(n)、ω2(n)、ω0(n)分別為PNLMS濾波器、NLMS濾波器和未知系統(tǒng)的權(quán)向量；y1(n)、y2(n)分別為2個(gè)濾波器的輸出；e1(n)、e2(n)分別為2個(gè)濾波器產(chǎn)生的誤差；λ(n)為組合算法的組合系數(shù)；y(n)為整個(gè)濾波器的等效輸出；e(n)為濾波器等效誤差，濾波器的長(zhǎng)度為L(zhǎng)。

算法采用2個(gè)同步長(zhǎng)的PNLMS濾波器、NLMS濾波器的并聯(lián)凸組合形式，其核心思想在于：PNLMS濾波器能保證處理稀疏沖激響應(yīng)時(shí)的快速特性；而另一個(gè)NLMS濾波器則保證處理非稀疏沖激響應(yīng)時(shí)的優(yōu)良特性，濾波器組可根據(jù)均方權(quán)值偏差MSD大小設(shè)定不同的組合參數(shù) λ(n)的值，并以此調(diào)整2個(gè)濾波器的權(quán)重，使其根據(jù)信道環(huán)境變化發(fā)揮不同濾波器的優(yōu)勢(shì)。

組合算法采用PNLMS濾波器和NLMS濾波器凸組合的方式得到等價(jià)權(quán)值向量：

其中，組合系數(shù)λ(n)∈(0,1)，并定義其取值函數(shù)為

由此可得等價(jià)輸出項(xiàng)與誤差項(xiàng)的表達(dá)式：

組合系數(shù)λ(n)中的參數(shù)a(n)通過(guò)使整個(gè)自適應(yīng)濾波器的均方權(quán)值偏差MSD下降最大為自適應(yīng)準(zhǔn)則，則a(n)的更新式（見(jiàn)附錄1）為

需要注意的是，a( n)∈[-a+,a+]，以保證λ(n )∈[1-λ+,λ+]，其中，λ+=sgm(a+)是接近于1的常數(shù)，即

其中，ε為一個(gè)很小的正常數(shù)。

3 組合濾波器算法的均方性能分析

在進(jìn)行算法性能分析前，首先提出如下假設(shè)[5]。

1) 期望響應(yīng)d(n)與輸入向量x(n)間符合如下線性衰減模型：

其中，ω0為長(zhǎng)度為M的未知權(quán)向量；e0(n)為方差為的獨(dú)立建模觀測(cè)噪聲。

2) 初始權(quán)向量ω1(0)、ω2(0)與初始參數(shù)a(0)對(duì)于任意n值獨(dú)立于{x(n),d(n),e0(n)}。

3) E[x(n)]=0，E[x(n)xT(n)]=R，E[d(n)]=0，E[e0(n)]=0。

4) 步長(zhǎng)μ和e(n)，x(n)，v(n)均相互獨(dú)立。

5) 輸入信號(hào)是平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)，║x(n)║2可用來(lái)估計(jì)。

為了討論方便，現(xiàn)分別對(duì)單個(gè)濾波器與組合后的濾波器定義如下符號(hào)與附加參數(shù)值。

1) 濾波器的權(quán)向量誤差項(xiàng)為

2) 先驗(yàn)誤差項(xiàng)為

3) 后驗(yàn)誤差項(xiàng)為

濾波器的性能通常用額外均方誤差(EMSE)來(lái)衡量，將它定義為濾波器在工作過(guò)程中除最小均方誤差外的額外誤差項(xiàng)。分析算法的穩(wěn)定性能時(shí)，通常假設(shè)學(xué)習(xí)迭代次數(shù)n取其極限值∞，由于誤差項(xiàng)e(n)滿足如下表達(dá)式：

因此，各濾波器的EMSE可由下式得到：

同時(shí)為分析凸組合后系統(tǒng)性能，定義基于先驗(yàn)誤差項(xiàng)的交叉EMSE表達(dá)式如式(14)所示：

由定義式(14)與Cauchy-Schwartz不等式可得出如下結(jié)論：交叉項(xiàng)EMSE不會(huì)同時(shí)高于單個(gè)濾波器的EMSE。即

3.1 組合濾波器的穩(wěn)態(tài)EMSE

組合濾波器的誤差項(xiàng)e(n)，可由式(3)減去d(n)得到：

其中，ei=d(n)–yi(n)。同理，得到組合濾波器的先驗(yàn)誤差項(xiàng)ea(n)：

組合參數(shù)λ(n)和局部濾波器的先驗(yàn)誤差交叉項(xiàng)的出現(xiàn)，以及更新參數(shù)a(n)在λ(n)中是非線性的，使得式(18)難以準(zhǔn)確估計(jì)。但存在如下2種情況，使得Jex(∞)可被簡(jiǎn)化估計(jì)。

由此不難得出如下結(jié)論，不管在什么樣的條件，檢測(cè)穩(wěn)態(tài)值E{a(n)}是否趨于某個(gè)常數(shù)是很重要的，接下來(lái)將對(duì)組合參數(shù)的穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)行分析。

3.2 組合參數(shù)的穩(wěn)態(tài)性能分析

組合參數(shù)a(n)的更新式為式(5)，對(duì)等式的兩邊取期望：

需要注意的是，對(duì)式(5)取期望并對(duì)算子進(jìn)行取值限定，因而是一個(gè)近似式。這種近似是合理的，因?yàn)閍(n)在被限定之前，大于a+或小于-a+是有可能的，為了使a(n)更加接近±a+，縮小因子λ(n)[1-λ(n)]就顯得尤為重要。

將式(21)轉(zhuǎn)化為組合參數(shù)的先驗(yàn)誤差形式（見(jiàn)附錄2）：

假設(shè)：穩(wěn)態(tài)時(shí)λ(n)獨(dú)立于2個(gè)濾波器的先驗(yàn)誤差，則當(dāng)n→∞，由式(22)得到：

其中，ΔJi=Jex,i(∞)-Jex,12(∞),i=1,2表示單個(gè)濾波器的EMSE與交叉EMSE的相差程度。

從式(23)中可以看出，E{a(n)}的極限值依賴于ΔJi, i=1,2的值。由式(14)可知這2個(gè)值不可能同時(shí)都小于零，考慮以下這3種情況：

情況1 如果Jex,1(∞)≤Jex,12(∞)≤Jex,2(∞)，那么ΔJ1≤0,ΔJ2≥0。因?yàn)棣?n)∈[1-λ+,λ+]，那么E{λ(n)[1-λ(n )]2}和E{λ(n)2[1-λ(n)]}均小于λ+(1-λ+)2。則可得：

當(dāng)n→∞時(shí)，

其中，C =λ+(1-λ+)2(ΔJ2-ΔJ1)為一正常數(shù)。因此，對(duì)于式(21)的唯一有效極限點(diǎn)為a(∞)=a+，則有

情況2 如果Jex,1(∞)≥Jex,12(∞)≥Jex,2(∞)，那么ΔJ1≥0,ΔJ2≤0。同理得：

當(dāng)n→∞時(shí)，

其中，C =λ+(1-λ+)2(ΔJ1-ΔJ2)為一正常數(shù)。因此，對(duì)于式(21)的唯一有效極限點(diǎn)為a(∞)=-a+，則有

情況3 如果Jex,12(∞)＜Jex,i(∞),i =1,2，則有ΔJi＞0,i =1,2。式(21)的極限點(diǎn)可以通過(guò)式(26)描述。

當(dāng)n→∞時(shí)，

由式(27)得：

由式(18)，得到：

將式(27)未加限定代入式(29)，得

又因?yàn)?-λ+＜(∞)＜λ+＜1，ΔJi=Jex,i(∞)-Jex,12(∞)，所以就有

即有Jex(∞)＜min{Jex,1(∞),Jex,2(∞)}。

4 計(jì)算復(fù)雜度分析

以每次迭代時(shí)的乘法操作數(shù)來(lái)衡量組合算法的計(jì)算復(fù)雜度。依照式(22)可知，更新a(n)需要13個(gè)乘法操作，依照式(5)、式(16)的備注式知，更新ea1(n)需要2L2+3L+3個(gè)乘法操作，更新ea2(n)需要3L+3個(gè)乘法操作。實(shí)際上根據(jù)Sigmoid函數(shù)計(jì)算λ還需要一些額外的計(jì)算量，但可以用查表的方式實(shí)現(xiàn)[8]。因此，該組合算法的計(jì)算復(fù)雜度為2L2+6L+19。

5 計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)

5.1 仿真設(shè)置

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出組合算法的收斂性能與跟蹤性能，現(xiàn)將組合算法與NLMS算法、PNLMS算法和IPNLMS算法應(yīng)用于信道均衡的仿真分析，并分別對(duì)這4種算法進(jìn)行N次獨(dú)立仿真實(shí)驗(yàn)，求取統(tǒng)計(jì)平均值。同時(shí)，為能夠客觀比較系統(tǒng)失調(diào)等性能參數(shù)，4種算法的參數(shù)均選用文獻(xiàn)[4,9,10]中討論過(guò)的相對(duì)最優(yōu)參數(shù)，見(jiàn)表1。

表1 模擬實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

根據(jù)仿真需求定義向量ω的稀疏度ξ(ω)[1]：其中，N'是向量ω的長(zhǎng)度，║ω║1表示向量的L1范數(shù)，║ω║2表示向量的L2范數(shù)。需要說(shuō)明的是，本文根據(jù)稀疏度ξ的大小將信道特性分為3類：稀疏信道(ξ≥0.6)，非稀疏信道(ξ＜0.2)和模糊態(tài)信道(0.2≤ξ＜0.6)[11]。

5.2 仿真結(jié)論

第一組仿真實(shí)驗(yàn)比較了稀疏信道特性(稀疏度ξ=0.927)時(shí)，4種算法的初始收斂速度。仿真采用PN碼作為輸入的訓(xùn)練序列，干擾信號(hào)是與輸入信號(hào)不相關(guān)的白噪聲，仿真結(jié)果如圖 2所示。從圖2中可以看到，在相同的全局步長(zhǎng)參數(shù)條件下，PNLMS算法比 NLMS、IPNLMS算法收斂速度有很大改善，同時(shí)PNLMS的穩(wěn)態(tài)失調(diào)有所改善。此時(shí)，所提及組合算法與PNLMS算法有相同的初始收斂速度，同時(shí)它們的穩(wěn)態(tài)失調(diào)也相近。

圖2 (信道稀疏)4種算法的初始收斂速度比較

第二組仿真實(shí)驗(yàn)比較了非稀疏信道特性(稀疏度ξ=0.102)時(shí)，4種算法的初始收斂速度。信道特性為非稀疏，其他仿真條件與第一組仿真相同，仿真結(jié)果如圖3所示。從圖3中可以看到，在相同的全局步長(zhǎng)參數(shù)條件下，NLMS的收斂速度優(yōu)于PNLMS、IPNLMS算法，同時(shí)穩(wěn)態(tài)失調(diào)也有所改善。此時(shí)，所提及組合算法與NLMS有相同的初始收斂速度，同時(shí)它們的穩(wěn)態(tài)失調(diào)也相近。

第三組仿真實(shí)驗(yàn)比較了模糊態(tài)信道特性(稀疏度ξ=0.443)時(shí)，4種算法的初始收斂速度。信道特性為介于稀疏與非稀疏的模糊態(tài)，其他仿真條件與第一組仿真相同，仿真結(jié)果如圖4所示。從圖4中可以看到，在相同的全局步長(zhǎng)參數(shù)條件下，起初PNLMS算法的收斂速度優(yōu)于 NLMS、IPNLMS算法，迭代至450步左右，NLMS算法的收斂速度開(kāi)始優(yōu)于PNLMS算法直至穩(wěn)態(tài)，在此過(guò)程中IPNLMS算法和所提及組合算法都表現(xiàn)出了較好的收斂速度和穩(wěn)態(tài)失調(diào)度，尤其是所提及組合算法性能明顯優(yōu)于其他幾種算法。由此得出結(jié)論，不論信道特性如何變化，所提及組合算法總能“智能”表現(xiàn)出比較適合信道均衡的自適應(yīng)濾波算法。

圖3 (信道非稀疏)4種算法的初始收斂速度比較

圖4 (信道模糊態(tài))相關(guān)算法的初始收斂速度比較

另外，為比較算法的跟蹤性能，令信道模型參數(shù)在迭代進(jìn)行至1 500步時(shí)同時(shí)發(fā)生變化，由模糊態(tài)轉(zhuǎn)化為非稀疏狀態(tài)，得到 NLMS算法、PNLMS算法、IPNLMS算法與組合算法的學(xué)習(xí)曲線，如圖5所示。

從圖 5可以看出，仿真前半部分(信道模糊態(tài))收斂過(guò)程的初始階段，組合算法和PNLMS算法的收斂速度明顯快于NLMS、IPNLMS算法；在收斂過(guò)程進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段后，組合算法又繼承了NLMS、PNLMS和IPNLMS算法低穩(wěn)態(tài)誤差優(yōu)點(diǎn)。仿真后半部分(信道非稀疏)收斂過(guò)程的初始階段，組合算法和NLMS算法的收斂速度明顯快于PNLMS算法；在收斂過(guò)程進(jìn)入穩(wěn)態(tài)階段后又繼承了NLMS、PNLMS和IPNLMS算法低穩(wěn)態(tài)誤差優(yōu)點(diǎn)，在穩(wěn)態(tài)性能上優(yōu)于PNLMS。因?yàn)樾滤惴▽?duì)組合參數(shù)進(jìn)行了限幅，這樣極大地縮小了系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)態(tài)的過(guò)渡過(guò)程。同時(shí)在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生變化時(shí)，所提及組合算法也表現(xiàn)出較好的跟蹤性能。

圖5 4種算法的跟蹤能力

6 結(jié)束語(yǔ)

同步長(zhǎng)凸組合MMSD算法在凸組合思想的基礎(chǔ)上，以最大均方權(quán)值偏差為準(zhǔn)則，解決了時(shí)變環(huán)境的情況下，自適應(yīng)濾波器的收斂速度及其跟蹤性能差的問(wèn)題。為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能、減少系統(tǒng)的失調(diào)，NLMS濾波器步長(zhǎng)應(yīng)與PNLMS濾波器步長(zhǎng)保持一致。理論推導(dǎo)證明和仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法的收斂性能與穩(wěn)態(tài)均方性能。

附錄1

因?yàn)?/p>

v(n+1)=v(n)+λ(n)p1+[1-λ(n)]p2，則有

所以，

得證。

附錄2

由式(21)到式(22)的推導(dǎo)：

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