楊國(guó)平

（紹興市第一中學(xué) 浙江 紹興 312000）

當(dāng)所研究的問(wèn)題中涉及相關(guān)聯(lián)的物體較多，并且相互之間的作用有一定規(guī)律時(shí)，可根據(jù)題目特點(diǎn)，從某次具體作用開始，運(yùn)用歸納、遞推方法，得到一般的表達(dá)式（通式）.用遞推法解題的關(guān)鍵是導(dǎo)出相鄰兩次遞推關(guān)系式.

1 多個(gè)研究對(duì)象的遞推（歸納）

中學(xué)物理常涉及到的多體問(wèn)題有：按一定規(guī)律放置的一系列物體（存在相互作用的物體稱為連接體）、電學(xué)元件的網(wǎng)狀連接……對(duì)于這類問(wèn)題，只要找到相鄰兩物體之間力、電流、體積等的分配關(guān)系，最后通常能歸納出一個(gè)通式.

【例1】有12塊質(zhì)量分布均勻且相同的積木塊，每塊長(zhǎng)度為L(zhǎng)，橫截面是邊長(zhǎng)為的正方形.將它們?cè)谒矫嫔弦粔K疊一塊地搭成“單孔橋”，接觸面光滑.要使此橋具有最大的跨度（橋孔底邊的寬度），試計(jì)算跨度與橋孔高度之比值.

圖1

設(shè)第2塊（相對(duì)第3塊）的最大伸出量為Δx2，每一積木塊所受的重力均為G.對(duì)上面兩木塊，由力矩平衡可得

解得

第3塊最大伸出量Δx3滿足

解得

依此類推，最后歸納得出

所以總跨度

跨度與橋孔高度之比值為

解析：把容器內(nèi)剩余氣體和抽氣機(jī)里的氣體看作一個(gè)整體，根據(jù)玻 －馬定律，找出每抽氣一次壓強(qiáng)的變化規(guī)律，然后歸納遞推出抽n次的壓強(qiáng)表達(dá)式.

設(shè)初態(tài)時(shí)氣體的壓強(qiáng)為p0，容器的容積為V，抽氣機(jī)的容積為ΔV.每抽一次氣后壓強(qiáng)分別為p1，p2，…，pn，則第1次抽氣后

第2次抽氣后

第3次抽氣后

第n次抽氣后

聯(lián)立得

代入數(shù)據(jù)，得抽氣的次數(shù)

2 多個(gè)過(guò)程的遞推

最典型的情景莫過(guò)于多次碰撞，設(shè)法找出前后兩次碰撞中遵循的規(guī)律，整個(gè)過(guò)程（的延續(xù)）往往歸結(jié)為求等差數(shù)列或等比數(shù)列之和.這是數(shù)理結(jié)合的一個(gè)典范.

【例3】光滑水平面上固定一V字型槽，兩邊界與夾角α＝3°（圖2中α被夸大了）.一小球從邊的C點(diǎn)＝3m）以速度v＝3m／s、θ＝30°角的方向開始運(yùn)動(dòng)，與OA板發(fā)生碰撞后又折回與OB板碰撞 ……設(shè)所有碰撞都是彈性的.試求：

（1）小球經(jīng)過(guò)幾次碰撞后又回到C點(diǎn)；

（2）此過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間.

圖2

解析：小球在兩板之間的碰撞類似于光的反射.

設(shè)小球第1次碰板時(shí)的夾角為θ1，如圖3（a）所示，

第2次碰板時(shí)的夾角

第n次碰板時(shí)的夾角

當(dāng)θn＝90°時(shí)小球?qū)⒀卦贩祷?，代入?shù)據(jù)，有

返回C點(diǎn)前共碰了39次.

（2）依次求出兩次碰撞之間的時(shí)間，再累加，對(duì)本題并不有效，因?yàn)閷ふ覂纱芜\(yùn)動(dòng)時(shí)間的遞推關(guān)系非常困難.可借助光的反射來(lái)突破.由鏡像對(duì)稱可知，光在兩界面之間的多次反射可等效為鏡面的多次成像，而光的傳播方向不變.由圖3（b）可知，入射點(diǎn)Cn就是離O最近的點(diǎn)，之后往返，總時(shí)間

圖3

【例4】一個(gè)導(dǎo)體A通過(guò)與另一帶電導(dǎo)體B多次接觸來(lái)充電，帶電導(dǎo)體B的電荷在每一次接觸后又都被充電到原來(lái)的值Q.假定A在第1次接觸后帶電荷量為q.試問(wèn)采用這種方法A能達(dá)到的最大電荷量是多少［1］？

解析：導(dǎo)體接觸必有電勢(shì)相等，接觸后帶電荷量應(yīng)分別與A，B的電容量成正比分配.即第1次接觸后

設(shè)第2次接觸后A帶電荷量為q2，則

得

設(shè)第3次接觸后A帶電荷量為q3，則

得

依此類推，第n次接觸后A所帶電荷量qn應(yīng)滿足

依題意，當(dāng)多次接觸后A所帶電荷量將達(dá)到最大值，即不再改變.故應(yīng)有qn＝qn－1.則

即

解得

【例5】在一個(gè)開有小孔的原不帶電的導(dǎo)體球殼中心O點(diǎn)，有一個(gè)點(diǎn)電荷Q，球殼內(nèi)、外表面是同心球面，半徑分別為a和b.欲將點(diǎn)電荷Q通過(guò)小孔緩慢地從O點(diǎn)移到無(wú)窮遠(yuǎn)，應(yīng)當(dāng)做多少功［2］.

解析：當(dāng)點(diǎn)電荷在球心處，球內(nèi)外表面分別感應(yīng)產(chǎn)生等量異號(hào)電荷，感應(yīng)電荷在球心處產(chǎn)生的電勢(shì)為

當(dāng)點(diǎn)電荷Q從球心O點(diǎn)通過(guò)小孔移至無(wú)窮遠(yuǎn)處（電勢(shì)為零）時(shí)，本題情況下，靜電力做功不能寫成

這是因?yàn)樵谝苿?dòng)Q時(shí)，O點(diǎn)電勢(shì)必然變化，不能用不變的U0與電荷量Q的積QU0表示電場(chǎng)力的功.

那該怎么辦呢？假設(shè)從O點(diǎn)通過(guò)小孔移出球殼外的電荷是一小份一小份地進(jìn)行的.每移一小份電荷時(shí)，可以近似認(rèn)為O點(diǎn)電勢(shì)不變.再把移動(dòng)每一小份電荷所做的功加起來(lái)，就是所求的總功.

設(shè)每次移動(dòng)的電荷量為q（小量），Q＝nq，即n次移完（n很大）.逐次移q，外力做功分別為

外力做的總功為

當(dāng)q→0（即n→!）時(shí)，外力總功為

3 多物體多過(guò)程遞推

物理問(wèn)題大多來(lái)源于實(shí)際生活，對(duì)于競(jìng)賽題尤其如此.這樣不可避免地要面對(duì)多個(gè)物體，以及多個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程.物理學(xué)科之難正在于此；然而，這也正是物理學(xué)科魅力之所在.

【例6】一塊足夠長(zhǎng)的木板放在光滑水平面上，其上放有序號(hào)為1，2，3，…，n的相同小木塊，如圖4所示.小木塊質(zhì)量均為m，長(zhǎng)木板質(zhì)量等于小木塊的總質(zhì)量.給各小木塊以相應(yīng)的初速度v0，2v0，3v0，…，nv0，最終所有木塊與長(zhǎng)木板以共同速度勻速運(yùn)動(dòng).求：

圖4

（1）所有小木塊與長(zhǎng)木板一起勻速運(yùn)動(dòng)的速度vn；

（2）第1號(hào)小木塊與長(zhǎng)木板恰好相對(duì)靜止時(shí)的速度v1；

（3）試推導(dǎo)第k號(hào)（k＜n）小木塊與長(zhǎng)木板相對(duì)靜止時(shí)的速度.

解析：（1）由動(dòng)量守恒知（小木塊與板之間有摩擦）

解得

（2）各小木塊做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度相同，在相同時(shí)間內(nèi)的速度變化量相同，當(dāng)1號(hào)木塊與長(zhǎng)木板的速度都為v1時(shí)，2號(hào)木塊的速度為v1＋v0，3號(hào)木塊的速度為v1＋2v0，依此類推，n號(hào)木塊的速度為

據(jù)動(dòng)量守恒定律有

解得

（3）同上，當(dāng)2號(hào)木塊與長(zhǎng)木板的速度都為v2時(shí)，3號(hào)木塊的速度為v2＋v0，4號(hào)木塊的速度為v2＋2v0，依此類推，n號(hào)木塊的速度為v2＋（n－2）v0，則有

當(dāng)?shù)趉號(hào)同速時(shí)，有

4 警惕遞推“陷阱”

根據(jù)題意列出遞推關(guān)系式，再用數(shù)學(xué)歸納法或特殊數(shù)列求和等手段，是解決遞推類問(wèn)題的有效方法.但在某些情況下（尤其是涉及多個(gè)過(guò)程），不必按過(guò)程發(fā)生的先后順序遞推，而從初末狀態(tài)的全程進(jìn)行分析，可以起到奇效.在例3的求解過(guò)程中已露端倪.眾所周知，對(duì)小車滑塊系統(tǒng)，求多次來(lái)回后滑塊在車上滑行的相對(duì)位移，最好采用能量守恒定律和摩擦生熱的量度式，不要陷入遞推陷阱中.事實(shí)上要避免這類陷阱并不容易，請(qǐng)看如下解答.

即得

例5方法2：做功的過(guò)程伴隨著能量的轉(zhuǎn)化（此處是靜電場(chǎng)能）.初態(tài)時(shí)的等效電容量為

對(duì)應(yīng)的靜電場(chǎng)能

末狀態(tài)電容器不再帶電，電場(chǎng)能E2＝0，由功能關(guān)系，外力做功W＝ΔE，即得

1 谷明杰.高中物理解題思路16講.天津：天津教育出版社 ，2006.7

2 范小輝.新編高中物理奧賽指導(dǎo).南京：南京師范大學(xué)出版社，2005.417