許煒陽

(重慶大學(xué) 通信工程學(xué)院，重慶400044)

作為一種高速無線傳輸技術(shù)，OFDM具有很強(qiáng)的抗多徑衰落和脈沖干擾能力，已經(jīng)成功應(yīng)用在多種通信標(biāo)準(zhǔn)中，具有非常廣闊的發(fā)展前景［1］。相比于單載波系統(tǒng)，同步算法對(duì)OFDM系統(tǒng)尤其重要。同步算法中的符號(hào)定時(shí)同步其目的是估計(jì)出DFT窗口的起始點(diǎn)，以便進(jìn)行解調(diào)，避免產(chǎn)生載波間干擾(ICI)和符號(hào)間干擾(ISI)［2］。

符號(hào)定時(shí)同步算法可以分為數(shù)據(jù)輔助型和非數(shù)據(jù)輔助型(也叫盲算法)兩大類。數(shù)據(jù)輔助型方法有較高的精度和較低的復(fù)雜度;但是由于需要周期性發(fā)送訓(xùn)練序列和導(dǎo)頻，占用了有效帶寬，因此不適用于某些頻譜資源受限的場合［3-5］。與此同時(shí)，具有高頻譜利用率的盲算法成為學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)。盲同步算法是指不借用訓(xùn)練符號(hào)和導(dǎo)頻，而利用OFDM符號(hào)本身的一些特性，這些特性包含了符號(hào)同步信息。循環(huán)前綴(Cyclic Prefix，CP)是OFDM系統(tǒng)本身就具有的重復(fù)信息，利用CP進(jìn)行同步不需要額外的開銷就能完成定時(shí)估計(jì)［6-8］。Van de Beek［6］較早地對(duì)利用CP實(shí)現(xiàn)符號(hào)同步進(jìn)行了深入研究，并且提出了相應(yīng)的基于最大似然準(zhǔn)則的同步方法。然而在無線環(huán)境中，由于多徑信道破壞了CP與原來數(shù)據(jù)的相關(guān)性，算法性能較差。A.Al-Dweik，等［9］提出了適用于恒定包絡(luò)星座圖OFDM系統(tǒng)的符號(hào)定時(shí)誤差估計(jì)算法，假設(shè)無線信道保持不變，通過最小化相鄰符號(hào)間相同子載波上的能量差進(jìn)行同步。其缺陷在于只適用于恒定包絡(luò)調(diào)制，應(yīng)用范圍有限。

筆者提出一種適用于OFDM系統(tǒng)的符號(hào)定時(shí)盲同步算法，其核心思想是如果不存在ICI和ISI，接收信號(hào)有最大非高斯性，用統(tǒng)計(jì)學(xué)上的峰度表征，通過最大化峰度就可以估計(jì)出定時(shí)誤差。算法適用于任意星座圖映射，具有普適性。

1 符號(hào)定時(shí)誤差的影響

符號(hào)定時(shí)誤差有正負(fù)兩種情況(圖1)。

圖1 符號(hào)定時(shí)誤差示意Fig.1 Illustration of symbol timing errors

如果定時(shí)誤差為正，DFT窗口同時(shí)包含當(dāng)前符號(hào)和下一個(gè)符號(hào)的數(shù)據(jù)，不可避免產(chǎn)生干擾;如果定時(shí)誤差為負(fù)值，可以分兩種情況分析，如圖1(b)。由于存在循環(huán)前綴，如果定時(shí)點(diǎn)落在τmax-Ng≤μ≤0區(qū)域內(nèi)(μ是定時(shí)點(diǎn)，Ng是循環(huán)前綴長度，τmax是信道延遲，T是采樣周期)，那么DFT窗口內(nèi)的數(shù)據(jù)都來自當(dāng)前符號(hào)。利用DFT的性質(zhì)可以推導(dǎo)出解調(diào)后的數(shù)據(jù)中會(huì)存在相位旋轉(zhuǎn)因子，但不會(huì)引入符號(hào)干擾:

因此，學(xué)術(shù)界將τmax-Ng≤μ≤0稱為安全區(qū)域(safe region)。另一方面信號(hào)傳送由于受到多徑效應(yīng)的“拖尾”影響，循環(huán)前綴中存在一個(gè)符號(hào)干擾區(qū)域，如圖1(b)。如果符號(hào)定時(shí)點(diǎn)落在這個(gè)區(qū)域，則會(huì)產(chǎn)生符號(hào)間干擾:

可以發(fā)現(xiàn)，Ym，k包括本來的有用數(shù)據(jù)部分、ISI、ICI和高斯噪聲。受到符號(hào)定時(shí)誤差的影響，原本子載波上信號(hào)的幅度會(huì)衰減，并且相位也會(huì)旋轉(zhuǎn);同時(shí)符號(hào)干擾與載波干擾等效于在解調(diào)信號(hào)中引入了額外的噪聲，從而惡化系統(tǒng)性能。

2 符號(hào)定時(shí)誤差估計(jì)算法

2.1 算法原理及復(fù)雜度分析

通過對(duì)符號(hào)定時(shí)誤差對(duì)接收信號(hào)影響的分析，可以發(fā)現(xiàn)，如果DFT窗口的起始點(diǎn)落在安全區(qū)域內(nèi)，解調(diào)信號(hào)為發(fā)送信號(hào)乘上信道頻率響應(yīng);否則DFT窗口包含兩個(gè)不同符號(hào)中的數(shù)據(jù)，會(huì)引入符號(hào)間干擾和載波間干擾。從式(2)可以發(fā)現(xiàn)，接收信號(hào)為N個(gè)發(fā)送信號(hào)的線性疊加，根據(jù)中心極限定律，獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的線性疊加，其分布相比于原來變量更加接近于高斯分布［10］。因此，當(dāng)DFT窗口的起始位置位于安全區(qū)域時(shí)，接收信號(hào)的非高斯性大于存在符號(hào)定時(shí)誤差情況下接收信號(hào)的非高斯性，這即是本文的核心思想。這里采用統(tǒng)計(jì)學(xué)上的峰度(kurtosis)來表征非高斯性的大小，因?yàn)橛?jì)算信號(hào)的峰度相對(duì)簡單。一個(gè)隨機(jī)變量的峰度定義為:

因此，本文價(jià)值函數(shù)可以表示為:

符號(hào)定時(shí)誤差并不會(huì)改變接收信號(hào)的能量，因此式(4)中的第2項(xiàng)可以忽略。如果子載波數(shù)足夠大，期望值可以近似為在所有子載波上求平均，價(jià)值函數(shù)進(jìn)一步改寫為:

式中:M為OFDM符號(hào)數(shù)。

定時(shí)誤差可能值為μ∈{-(1/2)(N+Ng)，…，(1/2)(N+Ng)}，為了得到定時(shí)誤差估計(jì)值，需要計(jì)算價(jià)值函數(shù)在所有可能值處的取值，其中的最小值即對(duì)應(yīng)符號(hào)定時(shí)點(diǎn)。

表1給出了本文算法與文獻(xiàn)［9］算法的復(fù)雜度對(duì)比，利用兩個(gè)連續(xù)的OFDM符號(hào)求平均值。可以發(fā)現(xiàn)本文算法的復(fù)雜度約為文獻(xiàn)［9］算法的1/3。為了更進(jìn)一步說明問題，這里給出文獻(xiàn)［9］算法的價(jià)值函數(shù)并且展開得到:

分析可以發(fā)現(xiàn)，本文算法的價(jià)值函數(shù)實(shí)際上只是式(6)的第1項(xiàng)，因此可以降低復(fù)雜度。

表1 本文算法與文獻(xiàn)［9］算法的復(fù)雜度對(duì)比Table 1 Complexity comparison between proposed and reference［9］

2.2 優(yōu)化性能

圖2是算法價(jià)值函數(shù)的歸一化實(shí)現(xiàn)樣本，采用 AWGN信道，QPSK調(diào)制，N=64，Ng=16。由于是AWGN信道，因此，安全區(qū)域長度為16。正如圖2中的平坦區(qū)域，證明了前面分析的正確性。

圖2 不同滑動(dòng)窗口長度下歸一化價(jià)值函數(shù)Fig.2 Normalized cost function with different sliding windows

在安全區(qū)域邊界處價(jià)值函數(shù)的取值和安全區(qū)域內(nèi)的取值是比較相近的，存在噪聲的情況下，其取值很可能小于安全區(qū)域內(nèi)的取值，這種情況是算法估計(jì)出現(xiàn)錯(cuò)誤的主要原因。為了提高算法的有效性，筆者采用滑動(dòng)窗口(Sliding Window，SW)的方法。具體實(shí)現(xiàn)步驟為:首先計(jì)算每個(gè)可能定時(shí)點(diǎn)的價(jià)值函數(shù);然后針對(duì)每一點(diǎn)的取值，用其左右兩邊SW長度的所有值之和代替當(dāng)前值。圖2也給出了采用滑動(dòng)窗口后的歸一化價(jià)值函數(shù)。可以發(fā)現(xiàn)隨著滑動(dòng)窗口長度的增加，曲線變得更加尖銳，價(jià)值函數(shù)的最小值離安全區(qū)域的邊界越來越遠(yuǎn)，從而提高估計(jì)的精度。

3 算法仿真

為驗(yàn)證算法，筆者給出了計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果。仿真采用的OFDM系統(tǒng)總共包含64個(gè)子載波，循環(huán)前綴長度為16;無線信道采用5徑瑞利多徑衰落模型，歸一化延遲為［0，1，2，6，11］，增益為［0.34，0.28，0.23，0.11，0.04］dB。所有結(jié)果都是經(jīng)過 5 000 次蒙特卡洛仿真得到。

采用學(xué)術(shù)界通用的鎖定概率Plock-in來衡量算法性能，鎖定概率定義為同步算法將定時(shí)點(diǎn)設(shè)在安全區(qū)域內(nèi)的概率［11］。圖3給出了本文算法與Dweik算法［9］的鎖定概率性能對(duì)比。利用20個(gè)OFDM符號(hào)求平均，滑動(dòng)窗口長度為5，假設(shè)信道恒定不變，即多普勒頻移fd=0。本文算法采用多種調(diào)制方式，Dweik方法采用QPSK調(diào)制。

圖3 fd=0 Hz時(shí)兩種算法Plock-in性能對(duì)比Fig.3 Performance comparison with fd=0 Hz

從圖3中可以發(fā)現(xiàn)，Dweik方法有最低的鎖定概率。由于信道恒定不變，因此，Dweik方法可以有效利用最小化相鄰符號(hào)相同子載波上的數(shù)據(jù)能量差，但是只適用于恒定包絡(luò)調(diào)制。本文算法適用于任意星座圖映射，但是性能不如Dweik算法，這是因?yàn)榉宥仁且粋€(gè)統(tǒng)計(jì)量，要準(zhǔn)確地表征需要利用無窮多個(gè)OFDM符號(hào)，采用有限的符號(hào)數(shù)必然帶來差錯(cuò)。同時(shí)注意到隨著星座圖點(diǎn)數(shù)增加，本文算法性能有所下降。

圖4給出了當(dāng)fd=200Hz的情況下，兩種算法的性能對(duì)比。

圖4 fd=200 Hz時(shí)兩種算法Plock-in性能對(duì)比Fig.4 Performance comparison with fd=200 Hz

首先發(fā)現(xiàn)由于信道存在時(shí)變性，相鄰符號(hào)間的信道不完全相等，Dweik算法的前提假設(shè)不再成立，所以其性能明顯下降。當(dāng)SNR=0 dB時(shí)，鎖定概率由圖3的0.87降為圖4的0.7左右。同時(shí)，本文算法的性能也有所下降，但是相比于Dweik算法來說，本文算法更加不易受信道時(shí)變性的干擾。比如，當(dāng)SNR=0 dB時(shí)，算法采用QPSK調(diào)制，鎖定概率由圖3的0.84降為圖4的0.82。這是由于本文算法是基于最大化接收信號(hào)的非高斯性，而不是假設(shè)信道保持不變。

4 結(jié)語

提出了一種適用于OFDM系統(tǒng)的符號(hào)定時(shí)盲同步算法。研究發(fā)現(xiàn)如果符號(hào)定時(shí)點(diǎn)位于安全區(qū)域內(nèi)，接收信號(hào)有最大非高斯性，用統(tǒng)計(jì)學(xué)上的峰度表征;接收機(jī)通過最大化接收信號(hào)的峰度估計(jì)定時(shí)誤差。算法不需要訓(xùn)練符號(hào)，頻譜利用率較高。通過滑動(dòng)窗口技術(shù)可以提高估計(jì)精度。仿真結(jié)果表明較之于現(xiàn)有方法，該估計(jì)算法具有普適性;同時(shí)可以更加有效地對(duì)抗信道的時(shí)變性。

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