孟亞偉

(重慶師范大學數(shù)學學院，重慶401331)

0 引言

近年來，由于多智能體系統(tǒng)具有靈活性、魯棒性和可擴展性，多智能體系統(tǒng)引起了專家學者廣泛的關注，并已應用于多智能體編隊控制［1］、傳感器網(wǎng)絡［2］等領域.“一致性”表示多個智能體狀態(tài)達成一致，而這個達成一致依賴于所有智能體的狀態(tài).一致性是多智能體系統(tǒng)研究的一個重要研究部分.

多智能體系統(tǒng)離散時間一致性的研究目前結果不多.Vicsek等［3］提出了一種離散時間分布式模型，證明了該模型在群體密度足夠大且噪聲較小的情況下可以使多智能體達到一致.文獻［4］中研究了一階離散狀態(tài)多智能體系統(tǒng)的一致性問題，得出了每個單智能體的狀態(tài)趨于一致需要滿足的必要或充分條件.Olfati等［5］提出并解決了一階多智能體系統(tǒng)的一致性問題，并且研究了具有時滯的條件下一致性.文獻［6］研究了一階離散多智能體系統(tǒng)的一致性，給出了系統(tǒng)達到一致的矩陣不等式.文獻［7］研究了在固定拓撲網(wǎng)絡中一類多智能體系統(tǒng)的一致;文獻［8］研究了在文獻［7］中的控制下的系統(tǒng)在離散時間的一致性.

現(xiàn)實中大多工作關注多智能體系統(tǒng)無領導者或沒有考慮時滯因素，在文獻［8］中的控制協(xié)議基礎上添加了時滯，本文針對具有領導者的二階多智能體系統(tǒng)，研究了系統(tǒng)在離散時間一致性協(xié)議控制下的一致性.利用離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論分析系統(tǒng)的一致性，得到矩陣不等式，使得研究的系統(tǒng)達到一致性.

1 模型描述及預備知識

考慮n+1個智能體，其中智能體r被稱之為領導者，其余的智能體作為跟隨者跟隨領導者運動即每個跟隨者的行為都受領導者的狀態(tài)影響，智能體可以描述為1，2，…，n.領導者是獨立的，其它的智能體之間有一定的聯(lián)系，位置和速度的變換相互影響.假設每個智能體都是有向圖G的一個節(jié)點.因此可以用圖G來描述智能體之間的信息交互關系.有向圖G=(V，E，A)由一個有限結點集合 V={1，2，…，n}，一個有向邊的集合和E?V×V權重矩陣A所構成.eij=(i，j)∈E叫做邊，i稱為邊的起點，j稱為邊的終點，邊的方向從i指向j，連接權值矩陣為 A= ［aij］，對于 ?i∈ I，aii=0，當 i≠ j，aij= eij＞ 0.D = diag{deg(1)，deg(2)，…，deg(n)}，D稱為G的度矩陣.

對于二階離散時間的多智能體一致性系統(tǒng)可表示為

其中k=1，2，…，n，xi(k)表示第i個智能體在時刻k的位置;vi(t)表示是第i個智能體在時刻k的速度;ui表示系統(tǒng)的控制輸入.

對于領導者的動力系統(tǒng)為

智能體之間的系統(tǒng)控制可以描述為

式中:α ＞ 0，β ＞ 0，0≤ τ(t)≤ τ，τ是一個非負的常數(shù).τ(t)是時變時延，智能體與領導者之間的連接元素ci(i∈I)，ci=air(i∈I).如果智能體與領導者沒有獲得相關信息，那么，ci=0若智能體與領導者之間有信息的傳遞則ci＞0.

定義 假定帶有領導者的多智能體系統(tǒng)，對于智能體的狀態(tài) xi，vi，當，則多智能體系統(tǒng)達到一致.

2 主要結果

對于在控制(2)下的多智能體系統(tǒng)(1)可以重寫為

在固定拓撲網(wǎng)絡中，系統(tǒng)(1)在控制(3)的情況下，

定理1 多智能體系統(tǒng)(1)達到一致的充分條件是對于矩陣

式中，

證明構造Lyapuouov函數(shù)

其中V1(t)=eT(t)Pe(t)

定義差分方程

其中 e［k］=y［k］－ y［k － 1］

則有

上式可以變換為

將式(9)和(10)加入式(8)中得到

當系統(tǒng)(1)滿足矩陣不等式(6)，(7)時，V是正定的，ΔV是負定的，根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理，系統(tǒng)(1)是漸近穩(wěn)定的，多智能體系統(tǒng)(1)達到一致.

3 結論

本文主要運用矩陣不等式得到具有時滯和領導者的二階離散多智能體系統(tǒng)(1)最終達到一致的充分條件，得到的結果有待于進一步簡化，系統(tǒng)考慮的時滯是相同的，對于當系統(tǒng)中每個智能體所考慮不同時滯的研究還需要進一步研究.

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