胡 愛，邸繼征

（浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023）

關(guān)于緊支集多元小波的一種算法

胡 愛，邸繼征

（浙江工業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，浙江 杭州 310023）

在小波分析的實(shí)際應(yīng)用中，多元小波對分解和重構(gòu)圖形圖像等是很有用的，然而小波系數(shù)的計(jì)算是一個困難問題.眾所周知，小波系數(shù)是由所考查的函數(shù)與小波基函數(shù)乘積的積分定義的.由于函數(shù)往往只由抽樣值給出，所以前述積分需要用近似計(jì)算的方法得到，如果大量小波系數(shù)都通過這種方法計(jì)算，必將帶來巨大的工作量，而如果把一元小波Mallat算法的思想推廣到多元的情形就可以得出緊支集多元小波系數(shù)的計(jì)算方法，即相應(yīng)于這類小波的Mallat分解和重構(gòu)算法.在一個積分極限定理的基礎(chǔ)上，由函數(shù)抽樣值得到了近似計(jì)算這些系數(shù)的公式.通過這些公式可以直接由函數(shù)抽樣值算出小波系數(shù)，得到抽樣值算法.

多元小波；分解；重構(gòu)；Mallat算法；抽樣值

在圖像處理中平面圖像和立體圖像都需要用多元函數(shù)來描述，尤其是二維平面圖像是基本組成部分，所以多元小波在分析圖像材料等方面顯得尤為重要，然而計(jì)算小波系數(shù)不是一件容易的事情.一元情形的分解和重構(gòu)已經(jīng)討論過［1］，將一元Mallat算法的思想推廣到多元的情形，給出了多元Mallat算法的分解和重構(gòu)公式.正如一元小波的情況，對一些函數(shù)f，我們需要知道“幾個系數(shù)”，其他的就可以通過公式計(jì)算出來.而f常常是不知道的，所以連幾個系數(shù)也很難獲得，因此對大多數(shù)小波來說沒有明確的表述，而Mallat算法還是難免積分，所以計(jì)算起來相當(dāng)困難.在實(shí)際問題中，基本上都是通過函數(shù)在抽樣點(diǎn)處的值對其進(jìn)行了解的，因此函數(shù)抽樣值［1］近似計(jì)算緊支集多元小波系數(shù)［2］的方法對解決上述難題也是很有效的.

1 基本結(jié)論、符號和概念

令｛Vj｝j∈z為L2（R）上對于尺度函數(shù)φ 的一個多分辨分析，相應(yīng)的小波ψ滿足

其中：Z為整數(shù)集；R＝（－∞，∞）hk為實(shí)數(shù)；N＝2K－1，K 為正整數(shù)，gk＝（－1）kh－k＋1.

令V2j＝Vj?Vj，那么｛V2j｝j∈z是L2（R2）上的一個多分辨分析［3］.因?yàn)?/p>

2 多元小波的Mallat算法

考慮到圖像處理中二維圖像是基本組成部分，因此下面以二元小波的Mallat算法為例說明其分解與重構(gòu)過程.

與一元情形一樣，根據(jù)函數(shù)f的實(shí)際情況，大致選取一個整數(shù)j，記該函數(shù)為f＝fj∈V2j.比如，若

因此在上述二元情形下，對hi為實(shí)數(shù)，且hi＝0，i?Z0，N，其 中 Z0，N＝ ｛0，1，…，N－1，N｝，N＝2 K－1，K為正整數(shù)，尺度函數(shù)是由式（1）定義，小波是由式（2）定義的緊支集函數(shù)時(shí)，有如下分解定理.

定理1

式（3－6）構(gòu)成二元情形的Mallat分解算法，下列定理給出相應(yīng)的重構(gòu)公式.

定理2 當(dāng)k＝2p－1，m＝2q－1，p，q為整數(shù)

3 抽樣值算法

與一元情形一樣，Mallat算法是在假定一些系數(shù)已知的前提下求另一些系數(shù)，不能免除積分.如果能夠用函數(shù)在一些點(diǎn)的值直接計(jì)算出系數(shù)，必會為Mallat算法的應(yīng)用帶來極大的方便.

以下討論這個問題，并在尺度方程為式（1），小波表示為式（2）的條件下進(jìn)行.

首先介紹兩個記號.記

由以上定理，并令f－j∈V2－j，可得定理4.

定理4 當(dāng)j＞0足夠大時(shí)，f－j在（2－jk，2－jm）附近連續(xù)時(shí)，

利用式（19，20），如果用－j或－j＋1分別取代式（3—10）的j或j＋1，我們就能得出分解和重構(gòu)公式.

4 結(jié) 論

通過將一元小波的Mallat算法推廣到多元的情形，構(gòu)造出了緊支集多元小波的Mallat算法，并給出了具體計(jì)算小波系數(shù)的分解和重構(gòu)公式.在很大程度上已經(jīng)克服了原來所有系數(shù)都通過抽樣值計(jì)算的高復(fù)雜性和誤差大的缺點(diǎn).在Mallat分解和重構(gòu)公式里也需要先知道一些系數(shù)的值.對此，用函數(shù)在一些點(diǎn)的抽樣值先直接計(jì)算出部分系數(shù)的方法又免除了一些積分的計(jì)算，這不僅大大降低了Mallat算法近似計(jì)算積分的冗余度，也為它的應(yīng)用帶來了很大的方便.

［1］成禮智，王紅霞，羅永.小波的理論與應(yīng)用［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.

［2］DI Ji-zheng.Construction of a kind of wavelets［J］.Journal of Mathematical Research and Exposition，2001，21（4）：495-499.

［3］DAUBECHIES I.小波十講［M］.李建平，譯.北京：國防工業(yè)出版社，2004.

［4］陳仲英，巫斌.小波分析［M］.北京：科學(xué)出版社，2007.

［5］徐利治.函數(shù)逼近的理論與方法［M］.上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1983.

An algorithm for compactly supported multivariate wavelets

HU Ai，DI Ji-zheng
（Collage of Science，Zhejiang University of Technology，Hangzhou 310023，China）

In the practical application of wavelet analysis，multivariate wavelet is useful for decomposition and reconstruction of graphs and images.However，it is quite difficult to calculate the wavelet coefficients.It may be well-known that wavelet coefficient is defined by integral of the product of the discussed functions and the wavelet basis functions.Since the function is often given by the sample values，the integral mentioned above need to be calculated approximately.If a large number of wavelet coefficients are calculated in this way，it will be a heavy workload.If the idea of Mallat algorithm of univariate wavelet is applied to multivariate wavelet，we can deduce Mallat algorithm of compactly supported multivariate wavelet.Based on an integral limit theorem，an approximate formula is obtained for the calculation of coefficients by sampling values.With the help of these formulas，we can get the wavelet coefficients directly by sampling value of function.

multivariate wavelets；decomposition；reconstruction；Mallat algorithm；sample value

OS1.86

A

1006-4303（2012）01-0115-04

2010-10-22

胡 愛（1984—）女，山西朔州人，碩士研究生，主要從事小波分析應(yīng)用研究，E-mail：huaixin.xin＠163.com.通信作者：邸繼征教授，E-mail：dijiz＠zjut.edu.cn.

（

劉 巖）