☉四川省資陽市外國語實(shí)驗(yàn)學(xué)校 蔡勇全

抽象函數(shù)是指既沒有給出具體的函數(shù)解析式，又沒有用列表或圖像的方法表示出來，只是給出一些特殊條件（如函數(shù)的定義域、函數(shù)圖像經(jīng)過的特殊點(diǎn)、解析遞推式、部分圖像特征等）的函數(shù).此類函數(shù)問題具有構(gòu)思新穎、概念抽象、隱蔽性強(qiáng)、解法靈活多變等特點(diǎn)，是考查學(xué)生對(duì)函數(shù)性質(zhì)的代數(shù)推理和論證能力、對(duì)數(shù)學(xué)語言的閱讀理解和轉(zhuǎn)譯能力以及學(xué)生的抽象思維能力的有效載體，因而歷年來備受高考命題者的青睞.本文結(jié)合實(shí)例介紹突破抽象函數(shù)問題的十一種策略，供大家參考.

一、特型探路

抽象函數(shù)問題的設(shè)計(jì)或編擬，常以某個(gè)基本函數(shù)為特型.在解題前，若能從所研究的抽象函數(shù)問題的條件入手，尋找其特型函數(shù)，通過分析、研究其圖像或性質(zhì)，找出問題的解法或證法，則可使解題少走許多彎路.

分析：由條件（3）知可用y=logax作為特型函數(shù)，又由條件（1）知0＜a＜1，從而y=logax在（0，+∞）上為減函數(shù)，故本題可先證f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，以此作為解題突破口.

由f（1）=f（1）+f（1），得f（1）=0.

f（x）+f（5－x）≥－2=2f（2）=f（4），則x＞0，5－x＞0，且x（5－x）≤4，解得0＜x≤1或4≤x＜5.

評(píng)注：由題中所給抽象函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，聯(lián)想學(xué)過的具有相同或相似結(jié)構(gòu)的“特型函數(shù)”，并由“特型函數(shù)”的相關(guān)性質(zhì)，預(yù)測(cè)、猜想抽象函數(shù)可能具有的性質(zhì)常常是解決抽象函數(shù)問題的突破口，但一定要注意不能直接用“特型函數(shù)”替代抽象函數(shù)，那樣將犯用特殊代替一般的錯(cuò)誤（解答客觀題還是允許的）.

二、構(gòu)造函數(shù)

抽象函數(shù)問題中常常會(huì)出現(xiàn)下面的情形：若函數(shù)f（x）、g（x）在區(qū)間（a，b）上均有意義，且對(duì)于任意x∈（a，b），f（x）≥g（x）恒成立.解決這類問題的較好思路是通過構(gòu)造差函數(shù)并結(jié)合導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識(shí).

例2設(shè)函數(shù)f（x）、g（x）在區(qū)間［a，b］上可導(dǎo)，且f′（x）＞g′（x），則當(dāng)a＜x＜b時(shí)，有（ ）.

A.f（x）＞g（x）B.f（x）＜g（x）

C.（fx）+g（a）＜g（x）+（fa）D.（fx）+g（b）＜g（x）+（fb）

解析：構(gòu)造函數(shù)F（x）=（fx）－g（x），由函數(shù)（fx）、g（x）在區(qū)間［a，b］上可導(dǎo)，得函數(shù)F（x）=f（x）－g（x）在區(qū)間［a，b］上可導(dǎo).又f′（x）＞g（′x），則F（′x）=f（′x）－g（′x）＞0在區(qū)間［a，b］上恒成立，即函數(shù)F（x）=（fx）－g（x）在區(qū)間［a，b］上單調(diào)遞增，故對(duì)任意x∈（a，b）恒有F（x）＜F（b），即f（x）－g（x）＜f（b）－g（b）.

故f（x）+g（b）＜g（x）+f（b）.應(yīng)選D.

評(píng)注：解答過程沒有過多考慮f（x）與g（x）在某具體點(diǎn)處的函數(shù)值的大小問題，而是從構(gòu)造差函數(shù)入手，并利用差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性，快捷地得到相應(yīng)的結(jié)論.

三、正難則逆

對(duì)于某些關(guān)于抽象函數(shù)的命題，當(dāng)利用直接法無從下手時(shí)，可考慮運(yùn)用反證法，這樣往往可以起到簡(jiǎn)捷明快、化難為易的解題效果.

例3已知函數(shù)f（x）對(duì)其定義域內(nèi)的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)a、b，當(dāng)a＜b時(shí)，都有f（a）＜f（b），求證：方程f（x）=0至多有一個(gè)實(shí)根.

分析：直接證明較難把理由說清，但若考慮用反證法，則可以迅速解決問題.

證明：假設(shè)方程f（x）=0至少有兩個(gè)不等的實(shí)根x1和x2，不妨設(shè)x1＜x2，則f（x1）=0，f（x2）=0，f（x1）=f（x2），這與由題設(shè)得到的“f（x1）＜f（x2）”矛盾，故假設(shè)不成立，即方程f（x）=0至多有一個(gè)實(shí)根.

四、適當(dāng)賦值

“賦值法”是指給變量賦以符合條件的一個(gè)或幾個(gè)值，亦可以是賦以符合條件的一個(gè)函數(shù)、一個(gè)方程、一個(gè)不等式、一個(gè)幾何圖形、一個(gè)函數(shù)圖像等，變“抽象”為“具體”，對(duì)解決抽象函數(shù)問題往往能起到柳暗花明、峰回路轉(zhuǎn)的功效.

例4（2008年陜西高考題）已知f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，而且滿足f（x+y）=f（x）+f（y）+2xy（x、y∈R），f（1）=2，則f（－3）等于（）.

A.2 B.3 C.6 D.9

解析：令x=－1，y=－2，則f（－3）=f（－1－2）=f（－1）+f（－2）+4，由此可見，需要先求出f（－2）、f（－1）.

令x=y=－1，得f（－2）=f（－1－1）=f（－1）+f（－1）+2；令x=1，y=－1，得f（0）=f（1－1）=f（1）+f（－1）－2=f（－1）；令x=y=0，得f（0）=f（0+0）=f（0）+f（0）+0?f（0）=0.逐步向上代入，得f（－3）=6，故應(yīng)選C.

評(píng)注：用“賦值法”探求抽象問題時(shí)應(yīng)注意兩個(gè)原則：當(dāng)需要求解抽象函數(shù)的具體函數(shù)值時(shí)，我們應(yīng)以需要為原則，給變量賦恰當(dāng)?shù)闹?；?dāng)需要研究抽象函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，我們可采用消元思想，給變量對(duì)稱賦值，求出抽象函數(shù)的解析式.

五、整體思考

這種策略適合解答兩類抽象函數(shù)問題：一是已知幾個(gè)抽象函數(shù)的奇偶性，求解由這幾個(gè)函數(shù)構(gòu)成的更復(fù)雜函數(shù)的某一函數(shù)值，可利用奇偶性整體思考解決；

二是已知一個(gè)函數(shù)方程求函數(shù)解析式，可將函數(shù)方程中的自變量x代換成別的自變量（應(yīng)注意函數(shù)的定義域不發(fā)生變化），得到一個(gè)或幾個(gè)新的函數(shù)方程，然后設(shè)法聯(lián)立原方程，通過整體消元求得函數(shù)的解析式.

例5已知f（x）、g（x）為奇函數(shù)，F(xiàn)（x）=af（x）+bg（x）+3（a、b為常數(shù)），若F（4）=－4，則F（－4）=_______.

分析：由于F（x）的解析式中含有兩個(gè)參數(shù)a、b，但只知F（4）=－4，無法用待定系數(shù)法確定a、b的值，因此解析式不確定，可利用奇偶性整體思考解決.

解析：設(shè)φ（x）=af（x）+bg（x），則φ（x）=F（x）－3.由題設(shè)可知φ（x）為奇函數(shù)，則φ（－4）=－φ（4）=－［F（4）－3］=7.又φ（－4）=F（－4）－3，則F（－4）=10.

評(píng)注 上述解法的實(shí)質(zhì)是運(yùn)用整體思想求解，即先化整體為局部，再由各局部的解決使問題獲解.

六、以直代曲

在解與抽象函數(shù)有關(guān)的不等式或其參數(shù)范圍時(shí)，可根據(jù)函數(shù)圖像經(jīng)過的特殊點(diǎn)或部分圖像特征，把函數(shù)圖像近似處理，采取“以直代曲”的方式，把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化.

例6已知（fx）是R上的減函數(shù)，且（fx）的圖像過點(diǎn)A（0，3）和點(diǎn)B（3，-1），則不等式＜2的解集為（ ）.

A（.－∞，3）B（.－∞，2）C（.0，3）D（.－1，2）

評(píng)注：上述思考問題的方法也經(jīng)常被用于研究一條曲線的某一小段上任意一點(diǎn)處的切線的斜率的近似值.

七、巧用結(jié)論

在平時(shí)學(xué)習(xí)中，留心識(shí)記并靈活運(yùn)用教材上的一些典型結(jié)論，往往會(huì)給解題帶來意想不到的效果.如以下兩例就是對(duì)教材上這樣一個(gè)結(jié)論的應(yīng)用：若函數(shù)y=（fx）（x∈A，y∈C）有反函數(shù)y=f-（1x）（x∈C，y∈A），則：（1）f-［1（fx）］=x（x∈A）；（2）［ff-（1x）］=x（x∈C）.

例7定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)f（x）存在反函數(shù)，而且對(duì)于任意x∈R恒有f（x）+f（-x）=2，則f-1（2008-x）+f-1（x-2006）的值為（ ）.

A.0 B.2 C.3 D.不能確定，與x有關(guān)

解析：設(shè)f-1（2008-x）=a，f-1（x-2006）=b，由結(jié)論（2）得f（a）=2008-x，f（b）=x-2006，則f（a）+f（b）=2，即f（a）=2-f（b）.又f（-b）=2-f（b），則f（a）=f（-b）.又由函數(shù)f（x）存在反函數(shù)，可知a=-b?a+b=0，即f-1（2008-x）+f-1（x-2006）=0，故應(yīng)選A.

評(píng)注：此題設(shè)計(jì)精致，是一道不折不扣的小綜合題，同時(shí)緊扣函數(shù)存在反函數(shù)的條件，源于課本，活而不難，解題的關(guān)鍵在于靈活應(yīng)用結(jié)論（2）引出“f（a）+f（b）=2“這一隱含要素.

八、形數(shù)轉(zhuǎn)換

根據(jù)題目所給的函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)和背景，作出函數(shù)大致符合條件的一個(gè)圖像，可化無形為有形，增強(qiáng)解題的直觀性.

例8若f（x）為奇函數(shù)，且在（-∞，0）上單調(diào)遞增，又f（-2）=0，則不等式xf（x）＜0的解集為（）.

A.（-2，0）∪（0，2）B.（-∞，-2）∪（0，2）

C.（-∞，-2）∪（2，+∞）D.（-2，0）∪（2，+∞）

評(píng)注：解決類似抽象函數(shù)問題，作出與條件大致吻合的草圖是解題的關(guān)鍵.

九、換元化歸

根據(jù)題目結(jié)構(gòu)與求解的問題，將題中的某些代數(shù)式替換成所需要的字母，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于該字母的代數(shù)或幾何問題，但要注意新字母的取值范圍.

評(píng)注：對(duì)于抽象函數(shù)的值域問題，通過換元變抽象為具體，化歸為具體函數(shù)的值域問題方可求解，同時(shí)要注意新元的取值范圍與原字母或代數(shù)式的取值范圍的區(qū)別和聯(lián)系.

十、兩邊夾法

兩邊夾法的原理是：若a≤b，且a≥b，則a=b.此法對(duì)解決一些含抽象不等式的求值問題極其有用.

例10設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，若f（0）=2010，對(duì)任意x∈R，滿足f（x+2）-f（x）≤3·2x，f（x+6）-f（x）≥63·2x，則f（2010）等于（ ）.

A.22008+2007 B.22009+2008 C.22010+2009 D.22011+2010

評(píng)注：除兩邊夾法外，聯(lián)想an-a1=（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1），得等式f（x+6）-f（x）=［f（x+6）-f（x+4）］+［f（x+4）-f（x+2）］+［f（x+2）-f（x）］是解答本題的另一個(gè)亮點(diǎn).

十一、歸納證明

此法適用于在已知解析遞推式的前提下求解函數(shù)解析式或證明函數(shù)的性質(zhì).

評(píng)注：通過若干數(shù)據(jù)實(shí)驗(yàn)，用不完全歸納法作出猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法證明，這是處理抽象函數(shù)遞推型問題的常用方法.