☉貴州省龍里中學(xué) 洪其強(qiáng)（特級(jí)教師）

高中“數(shù)學(xué)情境與提出問題教學(xué)實(shí)踐”與啟發(fā)式教學(xué)
——“圓錐曲線與對(duì)稱問題”的教學(xué)案例

☉貴州省龍里中學(xué) 洪其強(qiáng)（特級(jí)教師）

教學(xué)目的：

1.引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握中心對(duì)稱及軸對(duì)稱問題的解決方法.

2.通過對(duì)稱問題的研究求解，進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合的思想方法，提高分析問題和解決問題的能力.

3.通過對(duì)稱問題的探討，使學(xué)生進(jìn)一步會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，用化歸的思想處理問題.

教學(xué)重點(diǎn)：

兩曲線關(guān)于定點(diǎn)和定直線的對(duì)稱問題.

教學(xué)難點(diǎn)：

把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)稱問題，即用對(duì)稱的觀點(diǎn)解決實(shí)際問題是難點(diǎn).

教學(xué)過程：

師：前面學(xué)過了幾種常見的曲線方程，并討論了曲線的性質(zhì).今天這節(jié)課繼續(xù)討論有關(guān)對(duì)稱的問題.大家想一想：點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）關(guān)于點(diǎn)Q（x0，y0）對(duì)稱，那么它們的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？

師：點(diǎn)P1（x1，y1）、P2（x2，y2）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么它們的坐標(biāo)又滿足什么關(guān)系？

生：P1和P2的中點(diǎn)是原點(diǎn).即x1=－x2，且y1=－y2.

師：若P1和P2關(guān)于x軸對(duì)稱，它們的坐標(biāo)又怎樣呢？

生：x1=x2，且y1=－y2.

師：若P1和P2關(guān)于y軸對(duì)稱，它們的坐標(biāo)有什么關(guān)系？

生：x1=－x2，且y1=y2.

師：若P1和P2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，它們的坐標(biāo)又會(huì)怎樣？

生：y1=x2，且x1=y2.

師：若P1和P2關(guān)于直線y=x+a對(duì)稱，它們的坐標(biāo)又會(huì)怎樣？

生：y1=x2+a，且x1=y2－a.

師：若P1和P2關(guān)于直線y=－x對(duì)稱，它們的坐標(biāo)又會(huì)怎樣？

生：y1=－x2，且x1=－y2.

師：若P1和P2關(guān)于直線y=－x+a對(duì)稱，它們的坐標(biāo)又會(huì)怎樣？

生：y1=－x2+a，且x1=－y2+a.

師：下面哪位同學(xué)來歸納一下，P1和P2關(guān)于點(diǎn)以及上述有關(guān)的對(duì)稱問題？

生：橫變縱不變，關(guān)于y軸對(duì)稱；縱變橫不變，關(guān)于x軸對(duì)稱；橫縱都變負(fù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；橫縱都互換，關(guān)于y=x對(duì)稱.

生：它們關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

師：若點(diǎn)P1和點(diǎn)P2關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱，那么它們的位置有何關(guān)系？

生：點(diǎn)P1和點(diǎn)P2必須在直線Ax+By+C=0的異側(cè).

師：還有嗎？

生：P1P2的連線一定與直線Ax+By+C=0垂直.

師：點(diǎn)P1和點(diǎn)P2在直線Ax+By+C=0的異側(cè)且與直線垂直就能對(duì)稱了嗎？

生：還需要保證點(diǎn)P1和點(diǎn)P2的中點(diǎn)落在直線Ax+By+C=0上，也就是說P1和P2的中點(diǎn)坐標(biāo)滿足直線方程Ax+By+C=0.

師：下面哪位同學(xué)來歸納一下，兩點(diǎn)P1和P2關(guān)于直線Ax+By+C=0對(duì)稱應(yīng)滿足的條件？

生：應(yīng)滿足兩個(gè)條件.第一個(gè)條件是P1P2的連線垂直于直線Ax+By+C=0，第二個(gè)條件是P1和P2的中點(diǎn)應(yīng)落在直線Ax+By+C=0上.

師：這兩個(gè)條件能否用方程表示呢？（在黑板上可畫出圖形，以示直觀）

生：設(shè)P（x，y），則P點(diǎn)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)為P′（x1，y1），其方程組為：

師：這個(gè)方程組說明了什么？它能解決什么問題？

生：方程組中含有x1和y1，也可認(rèn)為這是一個(gè)含x1和y1的二元一次方程組．也就是說，給定一個(gè)點(diǎn)P（x，y）和一條定直線Ax+By+C=0，可以求出P點(diǎn)關(guān)于直線Ax+By+C=0的對(duì)稱點(diǎn)P′（x1，y1）的坐標(biāo)．

師：今后有很多有關(guān)對(duì)稱的問題都可以用此方法處理，很有代表性．但也還有其他方法，大家一起看下面的例題．

例1 已知直線l1和l2關(guān)于直線2x－2y+1=0對(duì)稱，若l1的方程是3x-2y+1=0，求l2的方程．

（選題目的：熟悉對(duì)稱直線方程）

師：哪位同學(xué)能談?wù)劊?/p>

生：先求出已知兩直線的交點(diǎn)，設(shè)l2的斜率為k，由兩條直線的夾角公式可求出k，再用點(diǎn)斜式求得l2的方程．

（讓這位同學(xué)在黑板上把解題的過程寫出來，大家訂正）

師：還有別的解法嗎？

生：在直線l1上任取一點(diǎn)，求出這點(diǎn)關(guān)于2x－2y+1=0對(duì)稱的點(diǎn)，然后再利用兩點(diǎn)式可求出l2的直線方程．

（讓這位學(xué)生在黑板上把解題過程寫出來，如有錯(cuò)誤，大家訂正）

師：還有別的解法嗎？

生：在l2上任取一點(diǎn)P（x，y），則P點(diǎn)關(guān)于2x-2y+1=0對(duì)稱的點(diǎn)P′（x′，y′）在l1上，列出方程組，解出x′、y′，代入l1，問題就解決了．

師：請(qǐng)你到黑板上把解題過程寫出來．

生：解：設(shè)P（x，y）為l2上的任意一點(diǎn)．

則P點(diǎn)關(guān)于直線2x－2y+1=0對(duì)稱點(diǎn)P′（x′，y′）在l1上．

師：很好，大家剛才的幾種解法是求對(duì)稱直線方程的常規(guī)方法．那么，如果把l1改為曲線，怎樣求曲線關(guān)于一條直線對(duì)稱的曲線方程呢？

推廣：已知曲線C：f（x，y）=0，求它關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱的曲線方程．

（選題目的：進(jìn)一步熟悉對(duì)稱曲線方程的一般方法）

師：例1中的幾種解法還都適用嗎？

生：第二種和第三種方法還能適用．

師：誰來試一試？

生：可先在曲線C：f（x，y）=0上任取一點(diǎn)P0（x0，y0），它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)P ′（x1，y1），可得直線P0P ′與x-y-2=0的交點(diǎn)，從中解出x0、y0，代入曲線C：f（x，y）=0即可．

（讓學(xué)生把他的解法寫出來）

解：設(shè)P0（x0，y0）是曲線C：f（x，y）=0上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱的點(diǎn)為P′（x1，y1），因此，連接P0（x0，y0）和P′（x1，y1）兩點(diǎn)的直線方程為y-y0=-（x-x0）．

師：還有不同的方法嗎？

生：用兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的方法也能解決．

師：把你的解法寫在黑板上．

生：解：設(shè)M（x，y）為所求的曲線上任一點(diǎn)，M0（x0，y0）是M關(guān)于直線x-y-2=0對(duì)稱的點(diǎn)，所以M0定在曲線C：f（x，y）=0上．

師：大家再看一個(gè)例子．

例2 已知點(diǎn)A（0，4）和圓C：（x－9）2+（y－8）2=16，一條光線從A點(diǎn)出發(fā)射到x軸上后，沿圓的切線方向反射，求這條光線從A點(diǎn)到切點(diǎn)所經(jīng)過的路程．（如圖1）

師：解這道題的關(guān)鍵是什么？

生：關(guān)鍵是找到光線與x軸的交點(diǎn)．

師：有辦法找到交點(diǎn)嗎？

（沒人回答）

圖1

師：交點(diǎn)不好找，那么我們先假設(shè)M就是交點(diǎn)，利用交點(diǎn)M對(duì)解決這個(gè)問題有什么幫助嗎？

生：既然AM是入射光線，MD為反射光線，D為切點(diǎn)，這樣入射角就等于反射角，從而能推出∠AMO=∠DMx.

（讓這位學(xué)生把解答寫在黑板上）

師：巧用對(duì)稱性，化簡了計(jì)算，很好.哪位同學(xué)能把這個(gè)題適當(dāng)改一下，變成另一個(gè)題目？

師：誰能解答這個(gè)問題？

生：先作點(diǎn)M（－3，0）關(guān)于直線l：x－y+9=0的對(duì)稱點(diǎn)M′（－9，6），連接M′N并延長交l于一點(diǎn)，易證該點(diǎn)即是所求的點(diǎn)P.

師：這題還能不能再做些變形，使之成為另一個(gè)題目？

師：哪位同學(xué)能夠解決？

圖2

師：你怎樣想到先找A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′的呢？

師：很好，大家一起動(dòng)筆算一算（同時(shí)讓這位學(xué)生上前面書寫）.

師：我們一起看下面的問題.

例3 若拋物線y=ax2－1上總存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱的兩點(diǎn)，求a的范圍.

師：這題的思路是什么？

圖3

師：很好，誰還有不同的解法嗎？

師：今天我們討論了有關(guān)點(diǎn)、直線、曲線關(guān)于定點(diǎn)、定直線對(duì)稱的問題.解決這些問題的關(guān)鍵所在就是牢固掌握靈活運(yùn)用兩點(diǎn)關(guān)于定直線對(duì)稱的思想方法，結(jié)合圖像利用數(shù)形結(jié)合思想解決問題.

作業(yè)：

1.一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓與圓：x2+y2+8x－4y=0關(guān)于直線l對(duì)稱，求直線l的方程.

2.四邊形ABCD是平行四邊形，已知點(diǎn)A（－1，3）和C（－3，2），點(diǎn)D在直線x－3y－1=0上移動(dòng)，則點(diǎn)B的軌跡方程是______.

3.若光線從點(diǎn)A（－3，5）射到直線3x－4y+4=0之后，反射到點(diǎn)B（3，9），則此光線所經(jīng)過的路程的長是______.

4.已知曲線C：y=－x2+x+2關(guān)于點(diǎn)（a，2a）對(duì)稱的曲線是C′，若C與C′有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，求a的取值范圍.

設(shè)計(jì)說明：

1.這節(jié)課是一節(jié)專題習(xí)題課，也可以認(rèn)為是復(fù)習(xí)題，通過討論對(duì)稱問題把有關(guān)的知識(shí)進(jìn)行復(fù)習(xí)，最重要的是充分突出以學(xué)生為主體．讓學(xué)生討論和發(fā)言，就是讓學(xué)生參加到數(shù)學(xué)教學(xué)中來，使學(xué)生興趣盎然，思維活躍，同時(shí)對(duì)自己也充滿了信心．這樣，才有利于發(fā)揮學(xué)生的主動(dòng)性，有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性和思維能力．因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要有一定的時(shí)間讓學(xué)生充分地發(fā)表自己的見解，從而來提高他們的興趣，發(fā)展他們的能力．

2．這節(jié)課自始至終貫穿數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生在腦海里留下一個(gè)深刻的印象，對(duì)稱問題歸根結(jié)底都可以化成點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問題，即可用方程組去解決．反過來，一直線與一曲線的方程組消元后得到一元二次方程，若這個(gè)二次方程的判別式大于0，也可得直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，這種從形到數(shù)，再由數(shù)到形的轉(zhuǎn)化為我們處理解析幾何問題帶來了便利．在解題時(shí)，只有站在一定的高度去處理問題，思路才能開闊，方法才能靈活，學(xué)生的能力才能真正的得到培養(yǎng)，同時(shí)水平才能提高得較快．

3．習(xí)題課的一個(gè)中心就是解題，怎樣才能讓學(xué)生做盡可能少的題，從而讓學(xué)生掌握通理通法，這是一個(gè)值得研究和探討的問題．本節(jié)課采取了讓學(xué)生把題目進(jìn)行一題多變，一題多解，從中使學(xué)生悟出一些解題辦法和規(guī)律，從而達(dá)到盡可能做少量的題，而達(dá)到獲取盡可能多的知識(shí)、方法和規(guī)律的目的，真正提高學(xué)生分析問題、提出問題、解決問題的能力，解決當(dāng)前學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)過重的問題，根除題海戰(zhàn)術(shù)給學(xué)生帶來的危害．

4．本課的例題可根據(jù)自己所教學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行選擇，下面幾個(gè)備用題可供參考．

題目1 過圓O：x2+y2=4與y軸正半軸的交點(diǎn)A作這圓的切線l，M為l上任一點(diǎn)，過M作圓O的另一條切線，切點(diǎn)為Q，求點(diǎn)M在直線l上移動(dòng)時(shí)，△MAQ的垂心的軌跡方程．

（選題目的：熟練用代入法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，活用平面幾何簡化計(jì)算）

圖4

題目2 若拋物線y=x2上存在關(guān)于直線y=m（x－3）對(duì)稱的兩點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

圖5

（選題目的：結(jié)合對(duì)稱問題，訓(xùn)練反證法的應(yīng)用）

此題證法很多．下面給出一種證法，供參考．

證明：如圖6，若P、Q兩點(diǎn)關(guān)于y=x對(duì)稱，可設(shè)P（a，b）、Q（b，a）且a≠b，a、b∈R．

由P、Q在拋物線上，得

圖6

其判別式Δ=4－8＜0，所以a?R，這與題設(shè)矛盾，說明P、Q兩點(diǎn)不存在．