☉江蘇省阜寧中學(xué) 丁敏春

合情化歸 探求創(chuàng)新試題

☉江蘇省阜寧中學(xué) 丁敏春

由于創(chuàng)新試題有很好的區(qū)分和選拔功能，所以在2012年高考數(shù)學(xué)試題中具有創(chuàng)新意識和創(chuàng)新思維的新題精彩紛呈.數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題具有以下鮮明的特點(diǎn)：背景新穎，內(nèi)涵豐富，數(shù)學(xué)本質(zhì)深刻，設(shè)問方式靈活等.高考數(shù)學(xué)創(chuàng)新試題主要題型有：（1）新定義型試題；（2）圖形信息型試題；（3）實(shí)際應(yīng)用型試題；（4）類比歸納型試題；（5）綜合知識型試題；（6）能力探究型試題.本文嘗試運(yùn)用合情化歸探求解答2012年高考中的部分?jǐn)?shù)學(xué)創(chuàng)新試題.

所謂“化歸”，就是轉(zhuǎn)化和歸納.在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，人們常常將待解決的問題甲，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一個(gè)已經(jīng)解決或者比較容易解決的問題乙，然后通過問題乙的解答返回去求得問題甲的解答.化歸就是問題的規(guī)范化和模式化.

一、化歸的基本要素

（1）化歸對象；（2）化歸目標(biāo)；（3）化歸途徑.

二、化歸的基本原則

1.熟悉化原則

將待解決的陌生問題化歸為一個(gè)比較熟悉的問題，就可以充分調(diào)動(dòng)已知的知識和經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用于面臨的新問題，從而有利于問題的解決.

2.簡單化原則

將一個(gè)復(fù)雜的問題化歸為一系列比較簡單的問題，可以通過分類、割補(bǔ)、特殊化、換元等具體方法使問題變得簡單.

例 （2012·新課標(biāo)理·11）已知三棱錐S－ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為（ ）。

3.直觀化原則

具體化就是把比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較具體直觀的問題，以便形象地把握問題涉及的各個(gè)對象之間的關(guān)系.

A.當(dāng)a＜0時(shí)，x1+x2＜0，y1+y2＞0 B.當(dāng)a＜0時(shí)，x1+x2＞0，y1+y2＜0 C.當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x2＜0，y1+y2＜0 D.當(dāng)a＞0時(shí)，x1+x2＞0，y1+y2＞0分析：先繪畫四圖：

圖1

圖2

圖3

圖4

觀察圖1（當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)），圖3（當(dāng)a＜0，b＞0時(shí)），兩個(gè)圖像各有兩個(gè)不同的公共點(diǎn).

圖5

由φ（x）x=1，推得4b3=27a3.

故答案為B.

4.本源化原則

我們應(yīng)善于從數(shù)學(xué)問題的條件和結(jié)論中概括出問題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想，回歸數(shù)學(xué)問題的源泉和本質(zhì).

圖6

設(shè)A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點(diǎn)P.

（ii）求證：PF1+PF2是定值.

如圖7，設(shè)∠xF1A=θ，C點(diǎn)極角為π+θ.

圖7

化歸：設(shè)點(diǎn)C與B關(guān)于原點(diǎn)O中心對稱，由條件AF1平行于BF2，知A，F(xiàn)1，C三點(diǎn)共線，且CF1與BF2平行且相等.

圖8

5.和諧化原則

這里的“和諧”是指對偶與勻稱，是指把條件和結(jié)論的表現(xiàn)形式轉(zhuǎn)化為更具有數(shù)與形內(nèi)部固有的和諧統(tǒng)一的特征.

觀測橫軸：求解二元變量的取值范圍常用方法.

觀測縱軸：線性規(guī)劃知識.

6.正難則反原則

當(dāng)正面討論問題遇到困難時(shí)，可設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲得解答.如反證法，求參數(shù)范圍時(shí)的補(bǔ)集思想，概率問題中的對立事件等.

三、化歸的基本途徑

1.等價(jià)轉(zhuǎn)化

將原題轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的命題.

例（2012·北京理·14）已知f（x）=m（x－2m）（x+m+3），g（x）=2x－2，若同時(shí)滿足條件：

則m的取值范圍是_______.

分析：①p∨q為真等價(jià)于p，q有一真，所以，當(dāng)?x∈［1，+∞）時(shí)，f（x）＜0；

結(jié)合二次函數(shù)圖像，列式f（1）＜0，f（－4）＞0，解得－4＜m＜－2.

2.數(shù)形結(jié)合

將問題中的數(shù)量關(guān)系（解析式）與空間形式（圖形）關(guān)系互相轉(zhuǎn)化.

3.退化處理

常用的方法為降元降維降冪.

4.構(gòu)造法

“構(gòu)造”一個(gè)合適的數(shù)學(xué)模型.

總之，解題者的“兵力”是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，解題者的“兵器”是數(shù)學(xué)基本方法.成功解題的基本要素是：知識結(jié)構(gòu)，思維能力，經(jīng)驗(yàn)題感，情感態(tài)度.化歸是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法，善于使用化歸是數(shù)學(xué)思維方式的一個(gè)重要特點(diǎn).合情化歸是有效解題的強(qiáng)力引擎，我們期待合情化歸一定會創(chuàng)造更多數(shù)學(xué)文化價(jià)值.

1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論［M］.西安：陜西師范大學(xué)出版社，1997.

2.趙小云，著.數(shù)學(xué)化歸思維論［M］.葉立軍，譯.北京：科學(xué)出版社，2006.