☉甘肅省渭源縣第一中學(xué) 曹平原（特級(jí)教師）

數(shù)列不等式證明方法歸類分析

☉甘肅省渭源縣第一中學(xué) 曹平原（特級(jí)教師）

*本文是甘肅省2012年省級(jí)規(guī)劃課題《信息技術(shù)環(huán)境下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的研究》成果之一.

數(shù)列不等式是含有數(shù)列的通項(xiàng)an或前n項(xiàng)和Sn的不等式．在近年來(lái)的全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)試題中，數(shù)列不等式證明問(wèn)題多次出現(xiàn)，已經(jīng)成為全國(guó)高考數(shù)學(xué)命題所特別關(guān)注的焦點(diǎn)．

數(shù)列不等式處于數(shù)列與不等式知識(shí)的交匯點(diǎn)，通常呈現(xiàn)遞推形式．?dāng)?shù)列不等式的證明問(wèn)題，所涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，是綜合性較強(qiáng)、靈活性較高、難度較大的數(shù)學(xué)證明問(wèn)題．

由于數(shù)列不等式與自然數(shù)有關(guān)，所以在證明數(shù)列不等式的過(guò)程中，最容易聯(lián)想到數(shù)學(xué)歸納法．雖然利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明一些數(shù)列不等式，但是在更多的情況下，用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式并不順利．解決數(shù)列不等式證明問(wèn)題，需要轉(zhuǎn)換思維方式，從多角度、多方位去思考，需要利用各種不同的方法．其中放縮法最為重要，應(yīng)當(dāng)把放縮法滲透在證明數(shù)列不等式的各個(gè)環(huán)節(jié)中．只有把各種方法巧妙地結(jié)合起來(lái)，才能夠較好地解決數(shù)列不等式的證明問(wèn)題．下面對(duì)2012年全國(guó)高考數(shù)學(xué)試題中的數(shù)列不等式的證明問(wèn)題，做以歸類總結(jié)和分析點(diǎn)評(píng)，供大家參考.

一、用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列不等式

例1 （全國(guó)Ⅱ卷第22題）函數(shù)f（x）=x2－2x－3，定義數(shù)列{xn}如下：x1=2，xn+1是過(guò)兩點(diǎn)P（4，5）、Qn（xn，f（xn））的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

（Ⅰ）證明：2≤xn＜xn+1＜3；

（Ⅱ）求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式.

解：（Ⅰ）用數(shù)學(xué)歸納法證明：2≤xn＜xn+1＜3.

所以2≤xk+1＜xk+2＜3，即當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立.

由（1）、（2）知對(duì)于任意的正整數(shù)n，2≤xn＜xn+1＜3.

二、用放縮法證明數(shù)列不等式

例2 （廣東A卷第19題）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn=an+1－2n+1+1，n∈N*，且a1、a2+5、a3成等差數(shù)列.

（Ⅰ）求a1的值；

三、利用等價(jià)關(guān)系證明數(shù)列不等式

例3 （安徽理第21題）數(shù)列{xn}滿足：

（Ⅰ）證明：數(shù)列{xn}是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；

（Ⅱ）求c的取值范圍，使數(shù)列{xn}是單調(diào)遞增數(shù)列.

四、利用函數(shù)單調(diào)性證明數(shù)列不等式

例4 （天津理第20題）已知函數(shù)f（x）=x－ln（x+a）的最小值為0，其中a＞0.

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若對(duì)任意x∈［0，+∞）有f（x）≤kx2成立，求實(shí)數(shù)k的最小值；

五、利用分類討論和分析法證明數(shù)列不等式

例5 （重慶理第21題）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn+1=a2Sn+a1，其中a2≠0.

（I）求證：{an}是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列；

六、利用化歸法和基本定理證明數(shù)列不等式

在（Ⅱ）和（Ⅲ）的解題過(guò)程中，都是先把要證明的數(shù)列不等式轉(zhuǎn)化歸結(jié)為比較簡(jiǎn)單的不等式，然后結(jié)合二項(xiàng)式定理、均值定理等有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)，利用放縮法進(jìn)行證明.