丁信忠， 張承瑞，2， 李虎修， 于樂華， 胡天亮，2

(1.山東大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，山東濟(jì)南 250061;

2.山東大學(xué)高效潔凈機(jī)械制造教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東濟(jì)南 250061;

3.山東大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院，山東濟(jì)南 250061)

0 引言

永磁同步電機(jī)(Permanent Magnet Synchronous Motor，PMSM)精確的速度及位置反饋是實(shí)現(xiàn)高性能低速控制的重要保證。通常，借助軸向編碼器的采樣計(jì)數(shù)估算出電機(jī)的平均速度。但是，受到編碼器分辨率的限制，在超低速范圍，速度反饋信息容易丟失，如果通過延長采樣周期以保證速度分辨率，將降低速度環(huán)的帶寬，且過長的反饋延時(shí)將使伺服系統(tǒng)變得不穩(wěn)定。

目前，瞬時(shí)觀測器理論［1］和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［2］被深入研究，并應(yīng)用于伺服系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)?；谒矔r(shí)觀測器理論的狀態(tài)估計(jì)方法能夠估計(jì)電機(jī)的瞬時(shí)狀態(tài)，具有較好的實(shí)時(shí)性，但抗干擾能力不佳，在噪聲環(huán)境中，位置和速度檢測可能失效［3］。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法擺脫了對(duì)電機(jī)模型的依賴，具有良好的魯棒性，但需要大量樣本對(duì)神經(jīng)元的權(quán)值和偏置進(jìn)行訓(xùn)練，學(xué)習(xí)時(shí)間過長，而且網(wǎng)絡(luò)的穩(wěn)定性和收斂性的證明也比較困難［4］。擴(kuò)展卡爾曼濾波器(Extended Kalman Filter，EKF)是一種最優(yōu)隨機(jī)狀態(tài)估計(jì)器，可對(duì)非線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行在線估計(jì)，并具有較強(qiáng)的抗干擾和平滑噪聲能力，因而適用于非線性、強(qiáng)耦合且高噪聲的伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。隨著嵌入式計(jì)算技術(shù)的發(fā)展，EKF計(jì)算量大的問題已被良好解決。

本文提出了一種使用低精度編碼器條件下獲得PMSM良好低速性能的控制方法。其中，EKF用于對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速、角位移和負(fù)載轉(zhuǎn)矩進(jìn)行瞬時(shí)估計(jì)，并在估計(jì)過程中利用辨識(shí)出的敏感參數(shù)對(duì)估計(jì)器的狀態(tài)矩陣進(jìn)行迭代修正，以保證估計(jì)器在多種工況下均可獲得滿意的估計(jì)結(jié)果。估計(jì)出的電機(jī)瞬時(shí)轉(zhuǎn)速和位置值替代編碼器檢測值進(jìn)行伺服閉環(huán)控制，由此保證電機(jī)低速運(yùn)行下的轉(zhuǎn)速和位置反饋精度。為驗(yàn)證該方法的有效性，本文設(shè)計(jì)仿真和試驗(yàn)與使用改進(jìn)型M/T速度檢測方法［5］下的低速控制性能進(jìn)行了對(duì)比。

1 EKF瞬時(shí)狀態(tài)估計(jì)器

1.1 估計(jì)器建模

在未飽和狀態(tài)下，PMSM的電壓方程為

式中:iα、iβ、uα和uβ——分別為定子電流、電壓在Clarke坐標(biāo)系下α、β軸的分量;

Rs——定子相電阻;

Ls——等效同步電感;

ψf——永磁體基波磁鏈;

ωe——轉(zhuǎn)子電角速度;

θe——電角位移。

轉(zhuǎn)子和所帶負(fù)載組成機(jī)械子系統(tǒng)，根據(jù)牛頓定律，可得PMSM的轉(zhuǎn)矩平衡方程為

式中:np——電機(jī)極對(duì)數(shù);

J——系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，其中包括電機(jī)轉(zhuǎn)子及負(fù)載折算到電機(jī)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;

B——黏滯摩擦系數(shù);

Te——電機(jī)輸出的電磁轉(zhuǎn)矩;

Tl——等效負(fù)載轉(zhuǎn)矩，其中包括負(fù)載轉(zhuǎn)矩以及由于黏滯摩擦系數(shù)非線性變化、電流給定偏差等因素造成的轉(zhuǎn)矩波動(dòng)。

由于電流環(huán)的采樣頻率遠(yuǎn)高于等效負(fù)載轉(zhuǎn)矩變化的頻率，故可認(rèn)為負(fù)載轉(zhuǎn)矩在一個(gè)采樣周期內(nèi)保持不變，即

聯(lián)合式(1)～式(4)，得到狀態(tài)估計(jì)器的狀態(tài)方程和輸出方程，即

式中:x——狀態(tài)矢量，即預(yù)估計(jì)量;

u——輸入矢量;

y——輸出矢量。

狀態(tài)函數(shù)f(x)是狀態(tài)矢量和輸入矩陣的耦合項(xiàng)。

實(shí)際系統(tǒng)中，需要考慮由于估計(jì)模型不準(zhǔn)確和外界干擾等不利因素造成的影響，因此在EKF的狀態(tài)方程和輸出方程中分別引入系統(tǒng)噪聲矩陣V和測量噪聲矩陣W，并將估計(jì)方程離散化以便用于數(shù)字控制系統(tǒng)，可得

式中:x(k)、u(k)、y(k)和f［x(k)］——分別為狀態(tài)矢量、輸入矢量、輸出矢量和狀態(tài)函數(shù)的離散形式;

V(k)和W(k)——分別為離散化的系統(tǒng)噪聲矢量和測量噪聲矢量。

通常，系統(tǒng)噪聲和測量噪聲為零均值高斯白噪聲，由此可得到EKF算法中需要的噪聲協(xié)方差對(duì)角矩陣Q和R，即

式中:Qi——定子電流系統(tǒng)噪聲協(xié)方差值;

Qω、Qθ和QT——分別為轉(zhuǎn)子電角速度、電角位移和負(fù)載轉(zhuǎn)矩的系統(tǒng)噪聲協(xié)方差值;

Ri——定子電流測量噪聲協(xié)方差值;

Rθ——轉(zhuǎn)子電角位移測量噪聲協(xié)方差值。綜合以上各式，即得到用于EKF伺服系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)的狀態(tài)模型。

1.2 EKF狀態(tài)估計(jì)與魯棒性分析

基于EKF的伺服系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)是由第k次的估計(jì)結(jié)果(k)來獲得第k+1次的估計(jì)結(jié)果，即由當(dāng)前的系統(tǒng)狀態(tài)來估計(jì)下一周期的狀態(tài)，從而解決了M/T速度檢測方法速度反饋滯后一個(gè)周期的問題，加之算法中綜合考慮了系統(tǒng)噪聲和測量噪聲的影響，因此可以為伺服閉環(huán)控制系統(tǒng)提供實(shí)時(shí)、準(zhǔn)確的狀態(tài)反饋，有助于提高伺服系統(tǒng)的動(dòng)、靜態(tài)性能。

估計(jì)過程分為預(yù)測和校正兩大階段，通過以下遞推過程［6］逼近系統(tǒng)真實(shí)狀態(tài):

經(jīng)過以上6個(gè)步驟的遞推計(jì)算，即可得到本周期內(nèi)的狀態(tài)矢量中的預(yù)估計(jì)變量值，基于EKF的伺服系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)過程如圖1所示。

式中:Ts——電流環(huán)采樣周期;

?

P?(k)和P^(k)——分別為預(yù)測協(xié)方差矩陣和估計(jì)協(xié)方差矩陣。

F(k)為梯度矩陣，定義如下:

圖1 離散擴(kuò)展卡爾曼濾波器結(jié)構(gòu)圖

當(dāng)電動(dòng)機(jī)在零速附近運(yùn)行時(shí)，繞組電壓將降到很低，此時(shí)電機(jī)定子電阻、等效電感及系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J等因素將對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)模型產(chǎn)生主要影響，從而影響EKF的估計(jì)效果。但是，EKF的系統(tǒng)模型中綜合了定子電流采樣這一因素，在超低速區(qū)域，霍爾電流傳感器依舊可以提供準(zhǔn)確的電流反饋，從而彌補(bǔ)了繞組電壓過低產(chǎn)生的影響。當(dāng)負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化時(shí)，EKF的動(dòng)態(tài)性能將相對(duì)降低，文獻(xiàn)［7］中指出，無法將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化引起的轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)等價(jià)到等效負(fù)載轉(zhuǎn)矩Tl中，通過轉(zhuǎn)矩前饋加以改善，且無法通過調(diào)整系統(tǒng)噪聲矩陣中轉(zhuǎn)矩協(xié)方差值QT來減小轉(zhuǎn)動(dòng)慣量變化對(duì)估計(jì)精度的影響。

為解決上述問題，在伺服系統(tǒng)狀態(tài)估計(jì)中，需要對(duì)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)行在線辨識(shí)，并根據(jù)辨識(shí)結(jié)果對(duì)EKF的狀態(tài)方程系數(shù)矩陣進(jìn)行在線參數(shù)自整定。

2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量在線辨識(shí)

對(duì)于表貼型永磁同步電機(jī)，將式(3)所示的轉(zhuǎn)矩平衡方程改寫為

式中:ωm——轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度;

Kt——轉(zhuǎn)矩常數(shù);

iq——交軸電流。

令J'=1/J，T'=Ktiq－Tl，式(24)可簡化為

式(25)中包含待辨識(shí)參數(shù)J的信息，且與PMSM具有相同的外部激勵(lì)輸入iq以及相同的機(jī)械轉(zhuǎn)速ωm輸出。將ωm和J'分別以其估計(jì)值^ωm和J^'表示，可得模型參考自適應(yīng)系統(tǒng)(Model Reference Adaptive System，MRAS)可調(diào)模型的微分方程:

選擇PMSM本身作為參考模型，式(25)為表征參考模型動(dòng)態(tài)特征的差分方程，當(dāng)方程(26)中的估計(jì)值與實(shí)際值相等時(shí)，差分方程(26)就轉(zhuǎn)變?yōu)楸硎綪MSM本身的真實(shí)方程，兩個(gè)模型將等價(jià)。待辨識(shí)參數(shù)J^'為MRAS狀態(tài)變量，將參考模型的差分方程(25)減去可調(diào)模型(26)，可得

式中，e為廣義誤差，定義如下:

對(duì)于數(shù)字控制系統(tǒng)，伺服電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)小于其機(jī)械時(shí)間常數(shù)，故在一個(gè)速度環(huán)控制周期內(nèi)，假定轉(zhuǎn)子機(jī)械轉(zhuǎn)速ωm和系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J不變。根據(jù)式(27)，MRAS辨識(shí)系統(tǒng)可等價(jià)為一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)反饋系統(tǒng)，其中包含一個(gè)線性時(shí)不變前饋?zhàn)酉到y(tǒng)和一個(gè)非線性時(shí)變反饋?zhàn)酉到y(tǒng)。

MRAS的關(guān)鍵問題之一是自適應(yīng)機(jī)構(gòu)中所執(zhí)行的自適應(yīng)規(guī)律的確定。自適應(yīng)規(guī)律保證廣義誤差漸近穩(wěn)定且待辨識(shí)參數(shù)收斂到真實(shí)值［8］。根據(jù)Popov超穩(wěn)定理論，若保證自適應(yīng)系統(tǒng)穩(wěn)定，其中的非線性時(shí)變反饋環(huán)節(jié)需要滿足

其中，F(xiàn)=()();是當(dāng)t1＞0時(shí)不隨時(shí)間變化的有限正數(shù)。

為了避免廣義誤差趨近于零時(shí)算法失效，自適應(yīng)規(guī)律通常設(shè)計(jì)為比例積分(PI)結(jié)構(gòu)。因此，將預(yù)估計(jì)量J^'的自適應(yīng)規(guī)律取為PI形式，即

式中，(0)為初始值。將F和式(30)代入式(29)，經(jīng)推導(dǎo)可得自適應(yīng)規(guī)律:

結(jié)合式(27)，MRAS轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)系統(tǒng)的等效非線性結(jié)構(gòu)如圖2所示。依據(jù)自適應(yīng)規(guī)律，狀態(tài)變量驅(qū)動(dòng)可調(diào)模型趨向于參考模型。因此，在廣義誤差趨近于零的過程中待辨識(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量將逐漸趨近于真實(shí)值。

圖2 MRAS參數(shù)辨識(shí)等效非線性反饋系統(tǒng)

MRAS辨識(shí)出的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量用于在線更新EKF狀態(tài)估計(jì)器的系統(tǒng)矩陣，從而實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的魯棒控制。EKF估計(jì)出的狀態(tài)變量中，角速度^ωm和角位移θ^m分別用于速度環(huán)和位置環(huán)的反饋值，等效負(fù)載轉(zhuǎn)矩T^l用于前饋控制以消除電機(jī)轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量自適應(yīng)EKF狀態(tài)估計(jì)用于PMSM伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，構(gòu)成帶有速度估計(jì)和轉(zhuǎn)矩前饋的速度伺服系統(tǒng)，如圖3所示。

圖3 EKF狀態(tài)估計(jì)速度伺服系統(tǒng)

3 仿真及試驗(yàn)分析

仿真和試驗(yàn)中所用PMSM及所帶負(fù)載的參數(shù)如表1所示。圖4顯示了不同轉(zhuǎn)動(dòng)慣量初始值下的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)結(jié)果，其間速度指令和轉(zhuǎn)矩指令分別在0.15 s和0.3 s時(shí)刻階躍變化?？梢钥闯觯瑧T量辨識(shí)值快速收斂于真實(shí)值，且在轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩突變時(shí)沒有發(fā)生振蕩。

圖4 階躍指令下不同初始值的慣量辨識(shí)效果

圖5所示的仿真試驗(yàn)中，設(shè)定速度指令為±100 r/min，負(fù)載轉(zhuǎn)矩恒定在8 N·m。在0.5 s時(shí)刻將EKF輸入矩陣中定子電阻修改為準(zhǔn)確值的2倍，而同步電感為準(zhǔn)確值的1/2，并在1 s和2 s時(shí)刻分別將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)定為真實(shí)值的2倍和1/3。從仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)定子電阻和等效電感取值不準(zhǔn)確時(shí)，估計(jì)器并未受到影響。相比之下，從仿真結(jié)果可以看出，當(dāng)EKF系數(shù)矩陣中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的取值偏離準(zhǔn)確值時(shí)，電機(jī)轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)矩的瞬態(tài)估計(jì)結(jié)果將出現(xiàn)較大的超調(diào)和波動(dòng)。由此可見，EKF估計(jì)器對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較為敏感，而對(duì)電阻和電感具有較好的魯棒性。在實(shí)際系統(tǒng)中，需要利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)結(jié)果對(duì)EKF的系數(shù)矩陣進(jìn)行在線整定。

圖5 被控對(duì)象電氣參數(shù)對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響

本文所用試驗(yàn)系統(tǒng)如圖6所示。電機(jī)同軸安裝一個(gè)SICK公司生產(chǎn)的32 768線高精度光電編碼器，并連接至專用控制器捕捉倍頻后的編碼器脈沖，測量電機(jī)的實(shí)時(shí)轉(zhuǎn)速，作為比對(duì)參考。其中，速度環(huán)和電流環(huán)的控制周期分別設(shè)定為400 μs和 80 μs，得益于 STM32F4 處理器的強(qiáng)勁性能，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量辨識(shí)、EKF狀態(tài)估計(jì)以及PI電流控制器的總計(jì)算時(shí)間約為30 μs，加上約20 μs FOC算法執(zhí)行時(shí)間，所有的電機(jī)控制算法可在一個(gè)電流環(huán)周期內(nèi)執(zhí)行完畢。

表1 仿真和試驗(yàn)中所用電機(jī)參數(shù)

圖6 試驗(yàn)平臺(tái)配置

圖7所示試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比了超低速下使用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量自適應(yīng)狀態(tài)估計(jì)器ωest和M/T速度檢測ωenc方法時(shí)的電機(jī)速度響應(yīng)。試驗(yàn)結(jié)果表明，在超低速度下，由于編碼器反饋信息的缺失，使用M/T方法時(shí)的速度響應(yīng)趨于不穩(wěn)定。相比之下，本文提出的方法仍舊能夠提供準(zhǔn)確的速度反饋，獲得良好的低速控制性能。

圖8所示為動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)速響應(yīng)的對(duì)比波形。試驗(yàn)中，速度給定ωref為頻率70 Hz，幅值20 r/min的正弦指令。使用編碼器檢測轉(zhuǎn)速作為速度反饋時(shí)，速度響應(yīng)ωenc存在約30°的相位滯后，而使用自適應(yīng)EKF速度估計(jì)作為速度反饋值時(shí)，速度響應(yīng)ωest沒有明顯的相位滯后，動(dòng)態(tài)跟隨特性良好。

4 結(jié)語

本文提出了一種使用常規(guī)編碼器條件下獲得PMSM良好速度特性的控制方法。仿真和試驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)PMSM運(yùn)行于低速或超低速區(qū)域時(shí)，本文提出的EKF狀態(tài)估計(jì)策略依舊可以提供準(zhǔn)確、實(shí)時(shí)的速度反饋，從而在寬調(diào)速范圍內(nèi)實(shí)現(xiàn)良好速度控制性能，有效改善了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能并增大了調(diào)速范圍。此外，通過MRAS在線辨識(shí)出的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)EKF系數(shù)矩陣實(shí)施自整定后，自適應(yīng)EKF估計(jì)算法對(duì)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、定子電阻、等效電感的變化以及環(huán)境噪聲均有很好的魯棒性，與使用M/T速度檢測方法相比具有調(diào)速范圍寬、實(shí)時(shí)性好及抗干擾能力強(qiáng)等優(yōu)勢。

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