魏 峰，王全九

（西安理工大學(xué)，西安710048）

工業(yè)“三廢”的排放，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中化學(xué)物質(zhì)（化肥、農(nóng)藥等）的大量施用導(dǎo)致了嚴(yán)重的環(huán)境污染，威脅到了人類的生命健康。許多專家學(xué)者越來越注重研究土壤水分及土壤溶質(zhì)的遷移規(guī)律，建立各種數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)和控制土壤溶質(zhì)的遷移過程，并估計(jì)溶質(zhì)遷移參數(shù)［1－7］。人們對(duì)土壤溶質(zhì)的遷移機(jī)理多以對(duì)流一彌散方程（Convection－Dispersion Equation，CDE）描述。而模型中參數(shù)的確定又成為土壤溶質(zhì)遷移研究的一個(gè)重要問題。國(guó)內(nèi)外學(xué)者投入大量精力，尋求土壤溶質(zhì)的遷移模式、遷移參數(shù)的確定方法［6－9］。Shao等［6］和Wang等［7］在分別假定溶質(zhì)濃度分布為二、三次多項(xiàng)式和四、五次多項(xiàng)式的基礎(chǔ)上，提出了確定CDE方程中參數(shù)及其近似解的邊界層理論模型，研究結(jié)果表明，邊界層理論可應(yīng)用于土壤溶質(zhì)遷移的研究。鄭紀(jì)勇等［9］從實(shí)驗(yàn)的角度對(duì)邊界層方法（三次邊界層解）進(jìn)行了研究，認(rèn)為隨時(shí)間的增加，邊界層方法計(jì)算的結(jié)果與精確方法計(jì)算的結(jié)果之間的誤差會(huì)逐漸增大。本文在此基礎(chǔ)上，假定土壤溶質(zhì)濃度剖面為指數(shù)函數(shù)，得到描述溶質(zhì)濃度分布的指數(shù)函數(shù)模型。分析各參數(shù)對(duì)邊界層距離的影響以及不同模型預(yù)測(cè)土壤溶質(zhì)分布情形。

1 相關(guān)理論

穩(wěn)態(tài)水流條件下，均質(zhì)土壤一維瞬態(tài)溶質(zhì)遷移通常由對(duì)流－彌散方程（CDE）來描述：

式中：c——土壤溶質(zhì)濃度；x——坐標(biāo)；t——時(shí)間；v——平均孔隙水流速；D——彌散系數(shù)；R——延遲因子。

初始條件和邊界條件為：

式中：c0——初始溶質(zhì)濃度。

Shao等假定土壤溶質(zhì)遷移存在邊界層，且土壤溶質(zhì)濃度分布可以用二次或三次冪函數(shù)表示。同時(shí)在邊界層處，土壤溶質(zhì)濃度應(yīng)符合下列條件：

由上述條件Shao等獲得了土壤溶質(zhì)濃度剖面表達(dá)式。對(duì)于二次冪函數(shù)，濃度剖面和邊界層距離為：

為進(jìn)一步比較描述土壤溶質(zhì)濃度的邊界層方法，Wang和Horton在假定一定邊界層距離條件的基礎(chǔ)上推求出了四次和五次冪函數(shù)的邊界層解。對(duì)于四次冪函數(shù)，濃度剖面和邊界層距離為：

對(duì)于五次冪函數(shù)，濃度剖面和邊界層距離為

基于Shao等與 Wang和Horton的思想，假定土壤溶質(zhì)遷移的濃度剖面為指數(shù)函數(shù)，得到了描述溶質(zhì)濃度分布的指數(shù)函數(shù)模型。

假定土壤溶質(zhì)濃度分布可以用指數(shù)函數(shù)表示：

在邊界層處，土壤溶質(zhì)濃度應(yīng)符合下列條件：

將式（18）代入方程（16）即得n次冪函數(shù)的土壤溶質(zhì)濃度剖面：

方程（19）當(dāng)0≤x＜d（t）時(shí)成立，當(dāng)x≥d（t）時(shí)設(shè)c（x，t）＝0。

結(jié)合方程（19）和（7）可得n次冪函數(shù)的土壤溶質(zhì)邊界層距離：

式（19）是對(duì)流—彌散方程（1）的一種廣義近似解，相比較邊界層解（19）比精確解（21）表示簡(jiǎn)單，應(yīng)用方便。

2 結(jié)果與分析

2.1 各參數(shù)對(duì)邊界層距離隨時(shí)間變化的影響

由式（20）可見邊界層距離是時(shí)間的增函數(shù)，但邊界層距離隨時(shí)間的增加受各參數(shù)的影響。

2.1.1 R對(duì)邊界層距離隨時(shí)間變化的影響 對(duì)于給定的水流速度（v）和彌散系數(shù)（D），隨著延遲因子的增加，溶質(zhì)鋒面運(yùn)動(dòng)曲線下移，邊界層距離減?。▓D1）。說明R的增加降低了溶質(zhì)遷移的速度。

2.1.2 D對(duì)邊界層距離隨時(shí)間變化的影響 對(duì)于較小的孔隙水流速度（v），當(dāng)彌散系數(shù)（D）較小時(shí)邊界層距離隨時(shí)間緩慢增加，而當(dāng)彌散系數(shù)（D）較大時(shí)邊界層距離隨時(shí)間增加比較快。這說明對(duì)較小的孔隙水流速度，彌散系數(shù)（D）對(duì)邊界層距離影響最大（圖2a）。對(duì)較大的孔隙水流速度（v），彌散系數(shù)（D）對(duì)邊界層距離影響不太大（圖2b和2c）。取v＝0.2時(shí)D＝0.1、D＝0.01和D＝0.0013條線幾乎重合，這時(shí)邊界層距離主要由孔隙水流速度（v）影響著（圖2b—2c）。

圖1 R對(duì)邊界層位置的影響

圖2 D對(duì)邊界層位置的影響

因?yàn)檫吔鐚泳嚯x也是關(guān)于彌散系數(shù)（D）增函數(shù)，而且有：

所以對(duì)于給定的孔隙水流速度（v），無論是惰性非吸附性溶質(zhì)（R＝1）還是吸附性溶質(zhì)（R≠1），隨著彌散系數(shù)（D）的減小，溶質(zhì)鋒面運(yùn)動(dòng)曲線逐漸下移，并越來越趨近于直線，d（t）（圖2）。

2.1.3 v對(duì)邊界層距離隨時(shí)間變化的影響 對(duì)較小的彌散系數(shù)（D），當(dāng)孔隙水流速度（v）較小時(shí)邊界層距離隨時(shí)間緩慢增加，而當(dāng)孔隙水流速度（v）較大時(shí)邊界層距離隨時(shí)間增加比較快。這說明對(duì)較小彌散系數(shù)（D），孔隙水流速度（v）對(duì)邊界層距離影響最大，如圖3a。對(duì)較大的彌散系數(shù)（D），孔隙水流速度（v）對(duì)邊界層距離影響不大（如圖3b—3c）。取D＝2時(shí)v＝0.01、v＝0.005和v＝0.001三條線幾乎重合，這時(shí)邊界層距離主要由彌散系數(shù)（D）影響著。

因?yàn)檫吔鐚泳嚯x也是關(guān)于孔隙水流速度（v）增函數(shù)，而且有：

所以對(duì)給定的彌散系數(shù)（D），無論是惰性非吸附性溶質(zhì)（R＝1）還是吸附性溶質(zhì)（R≠1），隨孔隙水流速度（v）的減小，溶質(zhì)鋒面運(yùn)動(dòng)曲線逐漸下移，并越來越趨近于拋物線（圖3）。

2.1.4 彌散度（D／v）對(duì)邊界層距離隨時(shí)間變化的影響 實(shí)驗(yàn)室土壤柱彌散度（a＝D／v）為0.5～2cm；田間土壤彌散度為5～20cm；而對(duì)于區(qū)域地下水彌散度可能達(dá)到很大的值。劉春平和邵明安［11］的研究表明，對(duì)于一個(gè)給定的孔隙水流速度v＝0.003cm／min，鋒面深度隨彌散度的增加而增加，彌散度在10～40cm比在0.5～10cm范圍溶質(zhì)鋒面深度增加要快；對(duì)給定的彌散系數(shù)D＝0.03cm2／min，當(dāng)彌散度從0.5cm到10cm增加時(shí)，鋒面深度有一個(gè)小的增加，當(dāng)彌散度從10cm到40cm，鋒面深度增加更快。這意味著當(dāng)v達(dá)到一個(gè)較大值時(shí)，對(duì)鋒面運(yùn)動(dòng)有一個(gè)較大的影響。實(shí)際上，對(duì)于一個(gè)給定的孔隙水流速度，鋒面深度隨彌散度的增加而增加（圖4）；對(duì)于一個(gè)給定的彌散系數(shù)，鋒面深度隨彌散度的增加而減?。▓D4）。由圖4可知，無論是惰性非吸附性溶質(zhì)（R＝1）還是吸附性溶質(zhì)（R≠1），彌散度對(duì)邊界層距離的影響沒有一定規(guī)律。

圖3 v對(duì)邊界層位置的影響

圖4 a對(duì)邊界層位置的影響（a）R＝1；（b）R＝2

2.2 邊界層解與精確解比較

邊界層解只是一個(gè)近似解，下面我們將其與精確解作一比較。Shao等比較了二、三次邊界層解與精確解，認(rèn)為邊界層解和精確解相近。Wang等分析了三、四、五次邊界層解與精確解，認(rèn)為它們大多情況下也與精確解相近，有些情況下五次邊界層解比其他較好。他們?cè)诙叹嚯x處并且只在某一時(shí)刻作了比較分析。在較大尺度且在多時(shí)刻對(duì)邊界層解與精確解作分析比較發(fā)現(xiàn)，對(duì)較小的孔隙水流速度，時(shí)間較短時(shí)三、五次和指數(shù)型邊界層解與精確解都很相近，指數(shù)模型要好于其它，但隨著時(shí)間的增加誤差越來越大，誤差的變化和延遲因子及彌散系數(shù)的變化又有很大關(guān)系（圖5a—c）。從圖5d—f可見，對(duì)較大孔隙水流速度，邊界層解與精確解誤差與彌散系數(shù)有很大關(guān)系。彌散系數(shù)越小邊界層解與精確解誤差越大，這時(shí)二次邊界層解要好于其它（圖5d—f）；而彌散系數(shù)越大邊界層解與精確解誤差越大小，特別是在小時(shí)間段，三、五次和指數(shù)模型邊界層解要好于其它（圖5e）。相同條件下，用邊界層方法對(duì)吸附性溶質(zhì)的濃度模擬要比非吸附型溶質(zhì)要好（圖5c—f）。

圖5 邊界層解與精確解比較

對(duì)邊界層與精確解的誤差作分析，對(duì)較小孔隙水流速度，在長(zhǎng)距離處，五次邊界層與精確解的誤差比其他小；而在短距離處，指數(shù)型邊界層幾乎比其他都要小。對(duì)較大孔隙水流速度，邊界層解與精確解受各因素影響較大，它們之間的誤差變化較大，沒有規(guī)律。

2.3 參數(shù)的確定

邊界層距離是時(shí)間、遷移參數(shù)的簡(jiǎn)單初等函數(shù)，因此容易通過邊界層運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化估計(jì)溶質(zhì)遷移參數(shù)。溶質(zhì)鋒面是一個(gè)遷移物質(zhì)在遷移過程中從無到有的界面，而時(shí)域反射儀（TDR）則是一種新的用于溶質(zhì)遷移研究的設(shè)備。溶質(zhì)鋒面未達(dá)到一定深度探測(cè)點(diǎn)前，TDR探針?biāo)綔y(cè)到的濃度值恒定不變，當(dāng)濃度值發(fā)生變化時(shí)，就認(rèn)為此時(shí)為溶質(zhì)鋒面遷移到此探測(cè)點(diǎn)的時(shí)間。根據(jù)不同探測(cè)點(diǎn)深度d（t）以及相應(yīng)的時(shí)間t，結(jié)合方程（20），經(jīng)過數(shù)據(jù)處理，得到用邊界層確定的運(yùn)移參數(shù)彌散系數(shù)和延遲因子。綜上，邊界層解只是一個(gè)近似解，雖然表述、計(jì)算簡(jiǎn)單，但也受各因素影響。特別是當(dāng)孔隙水流速度越大、彌散系數(shù)越小邊界層解與精確解誤差越大。因此運(yùn)用邊界層方法推求相關(guān)參數(shù)時(shí)，應(yīng)取較小的孔隙水流速度、短歷時(shí)。

3 結(jié)論

邊界層解是CDE方程的一個(gè)簡(jiǎn)單近似解，通過邊界層距離隨時(shí)間變化可以估計(jì)溶質(zhì)遷移參數(shù)。本文將描述土壤溶質(zhì)遷移的邊界層理論推廣到一般，得到了描述溶質(zhì)濃度分布的指數(shù)函數(shù)模型。從邊界層方法在各種參數(shù)組合不同時(shí)段內(nèi)的土壤溶質(zhì)分布模擬來看，在較短歷時(shí)具有較高的精度，對(duì)孔隙水流速度大、彌散系數(shù)小的情況模擬的誤差大。研究表明指數(shù)函數(shù)模型應(yīng)選取較小的孔隙水流速度、短歷時(shí)推求溶質(zhì)遷移參數(shù)。

［1］ van Genuchten M Th，Wagenet R J.Two－site／two－region models for pesticide transport and degradation：theoretical development and analytical solution［J］.Soil Sci.Soc.Am.J.，1989，53（5）：1303－1310.

［2］ Wallach R，Grigorin G，Rivlin J.A comprehensive mathematical model for transport of soil－dissolved chemicals by overland flow［J］.Journal of Hydrology，2001，247（1／2）：85－99.

［3］ Wang Q J，Horton R，Lee J.A simple model relating soil water characteristic curve and solution breakthrough curve［J］.Soil Science，2002，167（7）：436－443.

［4］ Gao Bin，Walter M T，Steenhuis T S，et al.Rainfall induced chemical transport from soil to runoff：theory and experiments［J］.Journal of Hydrology，2004，295（1／4）：291－304.

［5］ Pathak D R，Hiratsuka A.An integrated GIS based fuzzy pattern recognition model to compute groundwater vulnerability index for decision making［J］.Journal of Hydro－environment Research，2011，5（2）：93－99.

［6］Shao M，Horton R，Miller R K.An approximate solution to the convection－dispersion equation of solute transport in soil［J］.Soil Science，1998，163（5）：339－345.

［7］ Wang Q J，Horton R.Boundary layer theory description of solute transport in soil［J］.Soil Science，2007，172（11）：835－841.

［8］ Kool J B，Parker J C，van Genuchten M.Parameter estimation for unsaturated flow and transport model：a review［J］.Journal of Hydrology，1987，91（3／4）：255－293.

［9］ 鄭紀(jì)勇，邵明安.應(yīng)用邊界層方法確定溶質(zhì)遷移參數(shù)的實(shí)驗(yàn)研究［J］.水利學(xué)報(bào)，2002（1）：92－96.

［10］ Lindstrom F T，Haque R，F(xiàn)reed V H，et al.Theory on the movement of some herbicides in soil：linear diffusion and convection of chemicals in soils［J］.Environ.Sci.Technol.，1967，1（7）：561－565.

［11］ 劉春平，邵明安.土壤溶質(zhì)鋒運(yùn)移的解析解［J］.水土保持學(xué)報(bào)，2001，15（4）：82－86.