景 妮，楊 錄，張艷花

（中北大學(xué)信息與通信工程學(xué)院，電子測試技術(shù)國家重點(diǎn)實驗室，山西太原 030051）

科學(xué)計算可視化（VISC），即運(yùn)用計算機(jī)圖形學(xué)和圖像處理技術(shù)，將科學(xué)計算過程中產(chǎn)生的數(shù)據(jù)及計算結(jié)果轉(zhuǎn)化成圖形和圖像顯示出來進(jìn)行交互式處理的理論、方法、技術(shù)，直觀的圖形圖像更有利于人們對于抽象數(shù)據(jù)的理解和分析。超聲場的分布關(guān)系到超聲成像，超聲檢測等多個工程實際問題，目前在這一方面的研究很多但要準(zhǔn)確地模擬換能器發(fā)射超聲波聲場比較困難，超聲場的三維模擬及可視化也比較困難，有待進(jìn)一步的深入研究。本文利用MATLAB強(qiáng)大的圖形可視化功能對超聲場進(jìn)行三維模擬可視化，能夠很方便地進(jìn)行交互控制和管理研究超聲換能器發(fā)射聲場的分布特征，掌握各變量，以及換能器各參數(shù)對聲場產(chǎn)生的影響。

1 圓形活塞超聲換能器聲場的數(shù)學(xué)模型及三維圖形的建立

我們要將一種物理現(xiàn)象（尤其是看不到、摸不到的物理現(xiàn)象如超聲聲場），通過科學(xué)計算可視化將其變成一種直觀的、易于人們理解的圖形圖像形式通常有以下幾個步驟，首先要建立一個物理模型（物理定律），然后將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型（數(shù)學(xué)表達(dá)式），再通過數(shù)學(xué)模型提出計算模型送入計算機(jī)計算（計算機(jī)的模擬），模擬結(jié)果數(shù)據(jù)經(jīng)可視化處理轉(zhuǎn)換成可視圖形或圖像信息，提供給人們作分析和研究。本文即按照以上步驟分別對處于標(biāo)準(zhǔn)大氣壓強(qiáng)中圓形活塞換能器的中心軸線上聲壓、軸向聲場、聲軸橫截面聲場進(jìn)行數(shù)學(xué)建模并用MATLAB對其進(jìn)行可視化模擬。

超聲探頭的輻射聲場可以用克希霍夫積分定理描述如下:

其中Φq是聲場中任意一點(diǎn)Q處的速度勢，Φs是包圍Q點(diǎn)曲面S上的速度勢，（）為曲面S上振動速度的法向分量，k=2π/λ，r為某積分面元ds到Q點(diǎn)的矢量。

通過這個式子出發(fā)，我們可以推導(dǎo)出超聲換能器聲場的數(shù)學(xué)模型。

1.1 超聲換能器聲場中心軸線上聲壓分布的數(shù)學(xué)模型以及可視化圖形

超聲場聲壓p是某一點(diǎn)在某一瞬間的壓強(qiáng)P1與沒有超聲場時的靜態(tài)壓強(qiáng)P0之差即p=P1-P0，單位Pa。

在圓形活塞表面上每一點(diǎn)都可視為單一點(diǎn)源，每一點(diǎn)源都以相同的振幅和相位作簡諧運(yùn)動，軸線上任一點(diǎn)處的聲壓只要把換能器上所有點(diǎn)輻射到這一點(diǎn)的聲壓疊加即可。

其中，P0為靜態(tài)壓強(qiáng)，Rs為圓形活塞半徑，r為活塞中心到軸線上某一點(diǎn)的距離，k=2π/λ。

由上式我們不難看出聲場中心軸線上的聲壓是隨時間做周期性變化的，在工程實際應(yīng)用中我們只需要考慮其幅值的情況，因此我們?nèi)∑浞导?

本文選取半徑Rs為3 mm，發(fā)射頻率f為40 kHz的圓形活塞，研究其超聲聲場中心軸線上的聲壓分布，通過（3）式的數(shù)學(xué)模型提出相應(yīng)的計算模型，運(yùn)用MATLAB強(qiáng)大的圖形可視化功能，將抽象的聲場聲壓轉(zhuǎn)化成我們可視的圖形方便我們對其進(jìn)行分析應(yīng)用。

圖1 為聲場軸向聲壓分布

由于我們所選的探頭參數(shù)小圖形變化會比較集中，變化陡急，因此將坐標(biāo)變換為以分貝作為單位，更有利于我們觀察分析。同時我們能夠很方便地進(jìn)行交互式處理和控制，如將其活塞半徑、發(fā)射頻率等參數(shù)進(jìn)行修改研究其聲場聲壓特征強(qiáng)度。

1.2 超聲換能器軸向聲場聲壓分布的數(shù)學(xué)模型及三維可視化圖形

首先我們來研究軸線外任意點(diǎn)的聲壓分布（見圖1）。

圖2 圓形活塞聲源聲場的示意圖

把活塞上每個微元看成一個單一的點(diǎn)源，則在換能器軸向空間任一點(diǎn)的聲壓則為，活塞中所有微元到這一點(diǎn)源聲壓的疊加和。經(jīng)過積分變化我們得到探頭足夠遠(yuǎn)（r＞3R2s/λ）處的聲壓:

其中Fs=πR2s，為圓盤面積，J1為第一類一階貝塞爾函數(shù)，MATLAB提供強(qiáng)大的函數(shù)功能，可在其函數(shù)庫中直接調(diào)用。同樣我們工程中只需要研究聲壓幅值即:

我們將上式中的球坐標(biāo)變換成笛卡爾坐標(biāo)系，其轉(zhuǎn)化公式為:

將（5）進(jìn)行變化得到聲軸軸向表達(dá)式:

其中k1=P0π

圖3為半徑Rs為3 mm，發(fā)射頻率f為40 kHz的，通過（7）式建立的數(shù)學(xué)模型，用MATLAB仿真出超聲換能器聲壓分布的三維圖形:

圖3中第一幅圖為探頭軸向聲場聲壓的三維分布圖形，第二幅圖為第一幅圖沿垂直Z軸方向上的視圖，第三幅圖為第一幅圖的俯視圖。圖中色軸坐標(biāo)表示聲壓的大小。同樣聲壓軸以分貝作為單位，更有利于我們研究分析。由圖中我們可以看出在遠(yuǎn)場區(qū)（r＞3R2s/λ）聲壓逐漸變小，同時在換能器的軸線附近聲壓比較大。

1.3 超聲換能器聲軸截面聲場聲壓分布的數(shù)學(xué)模型及三維可視化圖形

我們要研究距離超聲換能器一定遠(yuǎn)處平面上的聲壓分布情況，就需要作出該平面的聲壓分布圖。同理我們先來研究其數(shù)學(xué)模型。由上文中（5）式和（6）式我們可以得到聲軸截面聲壓分布的數(shù)學(xué)模型:

圖3 超聲聲場軸向聲壓分布圖

其中，z0為換能器中心到截面的距離。

圖4為半徑Rs為3 mm，發(fā)射頻率f為40 kHz的，z0取1.1 mm，通過（8）式建立的數(shù)學(xué)模型，用MATLAB仿真出超聲換能器聲壓分布的三維圖形:

圖4 聲軸截面聲場的聲壓分布

圖4中第一幅圖距探頭z0處聲軸截面聲場聲壓分布的三維圖形，第二幅圖為第一幅圖x軸方向的視圖，第三幅圖是第一幅圖的俯視圖。圖中色軸坐標(biāo)表示聲壓的大小。同樣聲壓軸以分貝作為單位。由圖中我們可以看出截面上聲場呈軸對稱分布，在中心軸線附近聲壓最高，軸線附近聲場衰減較慢，軸線兩側(cè)聲場聲壓呈快速振蕩衰減趨勢。聲場的能量主要集中在軸線附近。

2 結(jié)論

利用MATLAB我們將聲場聲壓圖形方便快捷地繪制出來，可以通過變換系統(tǒng)中的各種參數(shù)的交互式操作，直觀形象地研究系統(tǒng)中各個變量、參數(shù)對聲場聲壓分布的影響，為工程實際上的操作提供了相應(yīng)的依據(jù)。

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