嚴(yán) 鈞

（揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225002）

基于Esscher變換的指數(shù)Ornstein－ Uhlenbeck過(guò)程的定價(jià)

嚴(yán) 鈞

（揚(yáng)州大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，江蘇揚(yáng)州225002）

考慮指數(shù)Ornstein－Uhlenbeck過(guò)程作為標(biāo)的價(jià)格過(guò)程，通過(guò)Esscher變換給出該價(jià)格過(guò)程歐式期權(quán)的價(jià)格.

Ornstein－Uhlenbeck過(guò)程；Esscher變換；期權(quán)定價(jià)

期權(quán)定價(jià)問(wèn)題是金融數(shù)學(xué)研究的熱點(diǎn)，很多文獻(xiàn)曾探討過(guò)基于Esscher變換的證券定價(jià)問(wèn)題.GERBER和SHIU［1］研究了基于Esscher變換的標(biāo)的價(jià)格過(guò)程的歐式期權(quán)定價(jià)問(wèn)題，討論了對(duì)數(shù)維納過(guò)程、帶漂移的泊松過(guò)程、隨機(jī)游動(dòng)等價(jià)格過(guò)程，還考慮了多風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的情形；MOLLER［2］考慮了基于Esscher變換的巨災(zāi)（PCS）保險(xiǎn)期權(quán)的定價(jià)問(wèn)題，通過(guò)Esscher變換給出各個(gè)時(shí)期PCS期權(quán)的價(jià)格；CHRISTENSEN［3］考慮了更為一般的PCS期權(quán)定價(jià)模型，同樣通過(guò)Esscher變換給出了期權(quán)價(jià)格；還有諸多研究期權(quán)定價(jià)的報(bào)道可以參見(jiàn)文獻(xiàn)［4－10］.不同于以上文獻(xiàn)報(bào)道，本文考慮的是指數(shù)Ornstein－Uhlenbeck過(guò)程的期權(quán)定價(jià)問(wèn)題.

1 預(yù)備知識(shí)

其中b（＞0）是一個(gè)常數(shù)，σ是一個(gè)正的常數(shù)，｛W（t）；0≤t≤T｝是標(biāo)準(zhǔn)維納過(guò)程.在概率空間（Ω；F；P）上賦予一個(gè)σ代數(shù)流Ft＝σ（X（s），0≤s≤t），且FT＝F.通過(guò)X定義如下的價(jià)格過(guò)程：S（t）＝S（0）exp［X（t）］，那么基于標(biāo)的價(jià)格過(guò)程S｛S（t），0≤t≤T｝的期權(quán)價(jià)格過(guò)程為

其中h（x）稱(chēng)為支付函數(shù)，T是期權(quán)的執(zhí)行日期，r是利率，E＃表示關(guān)于某個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度的期望，所以需要通過(guò)一種方法來(lái)決定一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度以作為定價(jià)測(cè)度.

下面運(yùn)用Esscher變換來(lái)構(gòu)造風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度，具體做法如下.令

相應(yīng)的概率密度函數(shù)為ft（x）.對(duì)任意的實(shí)數(shù)θ，定義X的矩母函數(shù)如下：

對(duì)任意函數(shù)ρt：［0，＋∞）R，定義

稱(chēng)ft（x，ρt）為原始概率密度函數(shù)ft（x）的Esscher變換，由概率密度函數(shù)的特征性質(zhì)易知ft（x，ρt）也是概率密度函數(shù).X關(guān)于ft（x，ρt）的矩母函數(shù)可以定義為

隨機(jī)微分方程（1）的解有如下形式：

顯然，X（t）是一個(gè)Gauss過(guò)程，且X（t）的期望為0，方差為1－exp（－2bt）］，所以有

由逆轉(zhuǎn)定理可知，關(guān)于密度函數(shù)ft（x，ρt），X（t）～N）.根據(jù)資產(chǎn)定價(jià)理論，折扣價(jià)格過(guò)程｛exp（－rt）S（t），0≤t≤T｝應(yīng)該滿(mǎn)足如下的鞅條件：

為方便起見(jiàn)，記E＊為關(guān)于密度函數(shù)ft（x）的期望.

2 期權(quán)定價(jià)公式和數(shù)值計(jì)算

定理1 價(jià)格過(guò)程S關(guān)于支付函數(shù)h（x）的期權(quán)價(jià)格為

證明 由定義得pt（S）＝exp［－（T－t）］E＊（h（exp［X（T）－X（t）＋X（t）］）｜Ft），由Ft的定義知道X（t）∈Ft，X（T）－X（t）與Ft獨(dú)立，所以

在期望E＊下，X（T）和X（t）的密度函數(shù)分別為fT（x，）和ft（x，），記X（T）和X（t）在期望E＊下的相關(guān)系數(shù)為κt，T，即對(duì)任意的s≤t，

所以可得到如下的等式：

最后，可以得到期權(quán)的價(jià)格

下面考慮一個(gè)特殊情形：歐式看漲期權(quán)，即支付函數(shù)h（x）＝（x－K）＋max｛x－K，0｝，其中K是執(zhí)行價(jià)格，那么價(jià)格過(guò)程｛S（t），0≤t≤T｝的無(wú)套利價(jià)格為

表1是歐式看漲期權(quán)數(shù)值計(jì)算的例子，其中S（0）＝100，r＝0.1，b＝0.5，σ＝0.1.

表1 歐式看漲期權(quán)價(jià)格的數(shù)值計(jì)算Tab.1 Numerical calculation for the price of European call option

［1］ GERBER H U，SHIU E S W.Option pricing by Esscher transforms［J］.Insur：Math ＆Econs，1995，16（3）：287.

［2］ MLLER M.Pricing PCS－options with the use of Esscher－transforms［C］／／Trans 26th Internat Congr Actuaries（Nuremberg，1996）.Karlsruhe：［s.n.］，1998：1299－1310.

［3］ CHRISTENSEN C V.A new model for pricing catastrophe insurance derivatives［M］.Aarhus：Centre for Analytical Finance，University of Aarhus，1999：1－20.

［4］ BIAGINI F，BREGMAN Y，MEYER－BRANDIS T.Pricing of catastrophe insurance options written on a loss index with reestimation［J］.Insur：Math ＆Econs，2008，43（2）：214－222.

［5］ 王志煥，林建偉.跳－擴(kuò)散模型下一類(lèi)房產(chǎn)期權(quán)模型及計(jì)算分析［J］.揚(yáng)州大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2011，14（3）：23－26.

［6］ DASSIOS A，JANG J W.Pricing of catastrophe reinsurance and derivatives using the Cox process with shot noise intensity［J］.Financ Stochastics，2003，7（1）：73－95.

［7］ KUNG J J，LEE L S.Option pricing under the Merton model of the short rate［J］.Math Comput Simul，2009，80（2）：378－386.

［8］ ANDREOU P C，CHARALAMBOUS C，MARTZOUKOS S H.Generalized parameter functions for option pricing［J］.J Bank Financ，2010，34（3）：633－646.

［9］ LAU J W，SIU T K.On option pricing under a completely random measure via a generalized Esscher transform［J］.Insur：Math ＆Econs，2008，43（1）：99－107.

［10］ HSU W W Y，LYUU Y D.Efficient pricing of discrete Asian options［J］.Appl Math Comput，2011，217（24）：9875－9894.

Abstract：The exponential Ornstein－Uhlenbeck process is considered as an underlying price process.The value of European option is obtained by Esscher transform.

Keywords：Ornstein－Uhlenbeck process；Esscher transform；option pricing

（責(zé)任編輯 時(shí) 光）

Pricing of exponential Ornstein－Uhlenbeck process on Esscher transform

YAN Jun
（Sch of Math Sci，Yangzhou Univ，Yangzhou 225002，China）

O 211.6；F 830.9

A

1007－824X（2012）02－0017－03

2011－06－23

國(guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元青年基金資助項(xiàng)目（11026114）；揚(yáng)州大學(xué)創(chuàng)新培育基金資助項(xiàng)目（2011CXJ003）

E－mail：junyan＠yzu.edu.cn