肖 闖 殷智宏

湖南大學(xué)汽車(chē)車(chē)身先進(jìn)設(shè)計(jì)制造國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長(zhǎng)沙，410082

0 引言

纜索是電梯系統(tǒng)中非常重要的部件，典型的電梯用纜索可分為兩種形式：一種是承載纜索，主要承受電梯轎廂和配重的載荷；另一種為非承載電纜索，包括隨行電纜和補(bǔ)償電纜。前者用于提供轎廂電源和控制信號(hào)，后者作為電梯配重使用。隨行電纜的一端固定在電梯間的墻壁上，另一端隨著電梯轎廂上下運(yùn)動(dòng)。隨行電纜的截面形式通常為圓形或矩形。

隨著建筑物高度的增加，電梯系統(tǒng)的纜索長(zhǎng)度也隨之增加，可達(dá)數(shù)百米。電梯上下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中伴隨著振動(dòng)而造成電纜自身打結(jié)或由于振幅過(guò)大而撞擊到電梯間的墻壁，非常危險(xiǎn)。商業(yè)用途建筑物的設(shè)計(jì)原則是最大化租用或使用面積，因此，電梯間的面積在設(shè)計(jì)中所占的比例越來(lái)越小，隨行電纜的允許活動(dòng)空間也會(huì)相應(yīng)地減小。因此，超長(zhǎng)隨行電纜的動(dòng)力學(xué)分析越來(lái)越受到電梯制造商和設(shè)計(jì)者的關(guān)注。對(duì)于繩索動(dòng)力學(xué)特性的研究，國(guó)外科研工作者曾對(duì)小張力的繩索進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析［1］。Howell［2］采用顯示有限差分計(jì)算和隱式有限差分計(jì)算方法分析了無(wú)張力或低張力的繩索的動(dòng)力學(xué)特性；Sun等［3］在廣義坐標(biāo)下建立了海底三維電纜的動(dòng)力學(xué)方程，研究了低張力的繩索特性。在過(guò)去的幾十年間，對(duì)低張力電纜的研究?jī)H限于理論的模型推導(dǎo)，并沒(méi)有實(shí)驗(yàn)研究。通常人們通過(guò)平面模型來(lái)研究隨行電纜的動(dòng)力學(xué)特性［4］。但實(shí)際上，隨行電纜的振動(dòng)來(lái)源于水平、垂直和側(cè)向三個(gè)方向的激勵(lì)，而且由于建筑物本身的搖擺，會(huì)造成繩索兩端同時(shí)被激發(fā)振動(dòng)，其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)更加復(fù)雜［5］。所以二維的平面模型并不能真正反映隨行電纜的動(dòng)力學(xué)特性。

本文以三菱電梯系統(tǒng)的隨行電纜（矩形截面）為例研究其動(dòng)態(tài)特性；利用細(xì)長(zhǎng)鋼帶模擬實(shí)際電梯系統(tǒng)中的隨行電纜；基于模態(tài)測(cè)試手段［6－7］，獲得模態(tài)參數(shù)；采用三維有限元模型研究隨行電纜的動(dòng)力學(xué)特性，并通過(guò)實(shí)際模態(tài)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行驗(yàn)證。

1 模態(tài)實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備

為了保證實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)確性，同時(shí)提高實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的質(zhì)量，實(shí)驗(yàn)初期首先確定合理的邊界條件，然后利用梁?jiǎn)卧⒓?xì)長(zhǎng)鋼帶系統(tǒng)粗略有限元模型，計(jì)算得到固有頻率和振型，作為模態(tài)測(cè)試的指導(dǎo)。

1.1 確定邊界條件

實(shí)驗(yàn)室中的桁架結(jié)構(gòu)作為細(xì)長(zhǎng)鋼帶模擬隨行電纜的邊界條件，如圖1所示。若直接將細(xì)長(zhǎng)鋼帶兩端完全固定在桁架上，由于系統(tǒng)的剛度較大，鋼帶將與桁架的振動(dòng)耦合在一起，從而造成實(shí)驗(yàn)結(jié)果不可靠。對(duì)于上述問(wèn)題，采用長(zhǎng)為0.01m的鋼絲焊接在鋼帶兩端，并將鋼絲的另一端利用夾具固定在桁架上。這種兩端固定的約束形式不僅克服了振動(dòng)耦合的問(wèn)題，減小了系統(tǒng)的剛度，而且便于在低頻范圍內(nèi)得到平面內(nèi)和平面外的模態(tài)。

圖1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置及邊界條件

1.2 梁?jiǎn)卧邢拊Ｐ皖A(yù)測(cè)

對(duì)于電梯隨行電纜而言，其低階頻率更為重要，所以選定的測(cè)量范圍為0～25Hz。梁?jiǎn)卧邢拊Ｐ偷姆抡娼Y(jié)果顯示，在此頻帶中有15階模態(tài)振型，其中包括平面內(nèi)11階、平面外4階。第15階模態(tài)中包含12個(gè)節(jié)點(diǎn)，因此在模態(tài)測(cè)試過(guò)程中至少要選擇24個(gè)測(cè)量點(diǎn)才能測(cè)量到前15階的所有模態(tài)振型。在本例中，選擇26個(gè)測(cè)量點(diǎn)，在鋼帶上均勻分布。此外在梁?jiǎn)卧Ｐ偷恼裥蛨D上可以得知每階振型的節(jié)點(diǎn)的位置，在測(cè)量和激振過(guò)程中應(yīng)該避開(kāi)節(jié)點(diǎn)，以免漏掉某階模態(tài)信息。

2 模態(tài)實(shí)驗(yàn)

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)置

模態(tài)測(cè)試采用PCB 086D80激振錘，利用Polytec OFV 353激光振動(dòng)測(cè)試儀收集鋼帶表面的振動(dòng)信號(hào)，并與OFV 3001控制器連接，用以調(diào)節(jié)靈敏度，避免速度信號(hào)過(guò)載。

簡(jiǎn)化的隨行電纜為一條長(zhǎng)2.53m的鋼帶，兩端焊接一段長(zhǎng)0.01m的鋼絲，固定在桁架的支撐梁上，如圖1所示。鋼帶截面為矩形，寬度為0.0127m，高度為4.015×10－4m；鋼絲的直徑為1.5mm；鋼絲和鋼帶的密度為7800kg／m3，彈性模量為2.06×1011Pa；焊錫的密度為728kg／m3，彈性模量為4×109Pa。鋼帶兩端焊接的鋼絲利用夾具被固定在桁架上，固定點(diǎn)的水平距離與垂直距離分別為0.61m和0.60m。鋼帶被固定好以后，其平衡位置的形狀被繪在一塊平板上，以驗(yàn)證有限元模型的平衡位置。

2.2 系統(tǒng)線性度檢查

由復(fù)模態(tài)理論可知，多自由度系統(tǒng)頻響函數(shù)矩陣H（ω）為對(duì)稱矩陣，即

其中，Hij＝Hji，i為激振點(diǎn)，j為測(cè)量點(diǎn)。此理論表明，線性系統(tǒng)交換激振點(diǎn)和測(cè)量點(diǎn)的位置，其頻響函數(shù)是一致的。

為了檢驗(yàn)系統(tǒng)線性度，對(duì)鋼帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行線性度相關(guān)性實(shí)驗(yàn)。在鋼帶上選取2個(gè)點(diǎn)，其編號(hào)為16和22，分別激發(fā)點(diǎn)16，測(cè)量點(diǎn)22，得到一條頻率范圍為0～25Hz的頻率響應(yīng)函數(shù)的曲線。交換測(cè)量點(diǎn)和激振點(diǎn)，得到另一條頻率響應(yīng)函數(shù)曲線，如圖2所示。兩條頻率響應(yīng)函數(shù)曲線基本重合，說(shuō)明系統(tǒng)的線性度很高。

圖2 線性度相關(guān)性檢查

2.3 模態(tài)測(cè)試

由于鋼帶系統(tǒng)的阻尼很小，利用激振錘進(jìn)行單次敲擊，其振動(dòng)維持50s左右，所以決定采用單次敲擊的實(shí)驗(yàn)方法。單次敲擊測(cè)量時(shí)間為32s，采樣分辨率為0.031 25Hz。平面內(nèi)的振型通過(guò)26個(gè)測(cè)量點(diǎn)的34個(gè)頻率響應(yīng)函數(shù)得到。采用移動(dòng)激振錘的方法用來(lái)敲擊不同測(cè)量點(diǎn)，激光振動(dòng)測(cè)試儀為參考點(diǎn)。這種方式被應(yīng)用于鋼帶豎直部分的測(cè)量，即0～5和14～25測(cè)量點(diǎn)。如圖3a所示，在鋼帶底部環(huán)形區(qū)域，用移動(dòng)激振錘的方法不能分別激發(fā)其水平和垂直方向的振動(dòng)。為測(cè)試底部環(huán)形部分的水平和垂直兩個(gè)方向的振動(dòng)信號(hào)，采用移動(dòng)激光傳感器，激振錘作為參考點(diǎn)的方法進(jìn)行測(cè)量，如圖3b所示，其測(cè)量點(diǎn)為6～13。為了分別測(cè)量垂直和水平方向的振動(dòng)信號(hào)，在鋼帶的測(cè)量點(diǎn)處貼有不同方向的反光片。對(duì)于平面外的模態(tài)測(cè)試，即z方向的模態(tài)測(cè)試，采用移動(dòng)激振錘，激光振動(dòng)儀作為參考點(diǎn)的方式進(jìn)行測(cè)量。兩個(gè)參考點(diǎn)分別為8和16。

圖3 實(shí)驗(yàn)方法示意圖

由于系統(tǒng)的線性特性，交換激振點(diǎn)與測(cè)量點(diǎn)所得到的頻率響應(yīng)函數(shù)在理論上是一致的，所以可以采用兩種方法相結(jié)合的方式來(lái)測(cè)量整個(gè)鋼帶的模態(tài)參數(shù)。模態(tài)實(shí)驗(yàn)中，每次敲擊實(shí)驗(yàn)采用三次平均，以確保實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性。

3 有限元模型分析

本文的有限元模型為精細(xì)模型，不同于量單元的粗略有限元模型。

利用ABAQUS 6.9建立鋼帶與連接用的鋼絲和焊錫的有限元模型。鋼帶與焊錫利用殼單元模擬，鋼絲用梁?jiǎn)卧M，其中的連接采用tie約束，如圖4所示。求解其固有頻率和模態(tài)振型圖分為兩個(gè)步驟：第一步為求解一個(gè)非線性靜態(tài)過(guò)程，固定細(xì)長(zhǎng)鋼帶有限元模型的兩個(gè)端點(diǎn)，并施加重力對(duì)鋼帶的作用，然后將細(xì)長(zhǎng)鋼帶右端點(diǎn)移動(dòng)到圖5所示位置形成簡(jiǎn)化隨行電纜的有限元模型。第二步是利用perturbation的方法來(lái)計(jì)算其固有頻率和振型。圖5為靜態(tài)平衡位置示意圖，由圖可見(jiàn)，有限元曲線和實(shí)驗(yàn)曲線幾乎重合。

圖4 邊界條件有限元模型

圖5 平衡位置比較

實(shí)驗(yàn)和有限元得到的固有頻率如表1所示，兩者之間最大誤差不大于1.9%。模態(tài)置信度準(zhǔn)則（modal assurance criterion）是評(píng)估實(shí)驗(yàn)和分析模型振型相關(guān)程度的常用評(píng)價(jià)指標(biāo)。在有限元模型中取出與實(shí)驗(yàn)中測(cè)量點(diǎn)的位置對(duì)應(yīng)的振型參數(shù)，其計(jì)算方法如下：

其中，φxT，i為第i階實(shí)驗(yàn)得到振型參數(shù)，φAm，i是第j階有限元模型的振型參數(shù)。經(jīng)計(jì)算，平面內(nèi)所有的模態(tài)置信準(zhǔn)則不低于90%，平面外不低于85%。

表1 實(shí)驗(yàn)與有限元分析固有頻率比較

有限元分析與實(shí)驗(yàn)得到的振型圖如圖6和圖7所示。其中第2階、第5階、第6階和第15階為平面內(nèi)的模態(tài)，第1階、第3階、第7階和第12階為平面外的模態(tài)。由圖6可見(jiàn)，第2階、第5階和第6階模態(tài)處在低頻區(qū)域，而這三階模態(tài)最有可能使電纜撞擊到電梯間墻壁。更高階的平面內(nèi)的模態(tài)形式類(lèi)似于第15階模態(tài)。

由圖7可見(jiàn)，平面外第1階和第7階模態(tài)產(chǎn)生橫擺和彎曲運(yùn)動(dòng)，容易造成電纜在平面外的方向上撞擊電梯間墻壁。而第3階與第12階模態(tài)容易使隨行電纜產(chǎn)生打結(jié)、纏繞的趨勢(shì)。一旦電梯系統(tǒng)的振動(dòng)頻率或者建筑物的搖擺頻率與這些頻率相近時(shí)，便可能產(chǎn)生“撞墻”和“打結(jié)”的現(xiàn)象。由此可見(jiàn)，三維有限元模型能夠更加全面地描述隨行電纜的動(dòng)態(tài)特性。

圖6 平面內(nèi)的模態(tài)

圖7 平面外的模態(tài)

本文從電梯轎廂上下運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的隨行電纜的某一位置分析其動(dòng)態(tài)特性。當(dāng)電梯轎廂運(yùn)行到不同位置時(shí)，隨行電纜的固定端與運(yùn)動(dòng)端的相對(duì)位置也會(huì)相應(yīng)變化，不同狀態(tài)下的隨行電纜其模態(tài)參數(shù)也是不同的。為了避免由于建筑物本身的搖晃，使轎廂運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的激振頻率與隨行電纜的固有頻率（特別是“擊打墻壁”與“打結(jié)”的模態(tài)頻率）相近，設(shè)計(jì)過(guò)程中應(yīng)該校驗(yàn)隨行電纜不同位置的固有頻率和振型。

以矩形截面的隨行電纜為例，為了能夠在設(shè)計(jì)階段就避讓共振頻率，定性分析幾何參數(shù)的變化對(duì)較敏感模態(tài)頻率的影響，見(jiàn)表2。

表2 幾何參數(shù)對(duì)固有頻率的影響

也可以采取以下措施來(lái)改善隨行電纜的動(dòng)態(tài)特性：優(yōu)化隨行電纜的總長(zhǎng)度及固定在墻體上的高度位置；改變邊界條件，這種方式對(duì)于較短的電纜有效，但對(duì)于超長(zhǎng)隨行電纜其效果不顯著；端部增加阻尼器衰減振動(dòng)；優(yōu)化電纜截面形狀、布線方式及材料，用以改變平面內(nèi)和平面外的彎曲剛度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文利用殼單元和梁?jiǎn)卧⒘撕?jiǎn)化隨行電纜的三維有限元模型，采用移動(dòng)激振錘和移動(dòng)激光測(cè)振儀相結(jié)合的方式進(jìn)行了模態(tài)實(shí)驗(yàn)，模型計(jì)算結(jié)果和實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致，驗(yàn)證了有限元模型的可靠性，指出了三維有限元模型能夠更全面描述隨行電纜的動(dòng)力學(xué)特性。由模態(tài)振型圖分析了隨行電纜撞擊墻壁及打結(jié)或纏繞現(xiàn)象，指出隨行電纜的敏感共振頻率應(yīng)該避開(kāi)電梯系統(tǒng)振動(dòng)和建筑物自身?yè)u擺的激振頻率，并提出了改善其動(dòng)力學(xué)特性的方法。

［1]Leonard J W.Nonlinear Dynamics of Cables with Low Initial Tension［J］.Journal of the Engineering Mechanics Division，1972，98（2）：293－309.

［2]Howell C T.Numerical Analysis of 2－D Nonlinear Cable Equations with Applications to Low－tension Problems［J］.International Journal of Offshore and Polar Engineering，1992，2（2）：1053－1058.

［3]Sun Y，Leonard J W.Dynamics of Ocean Cables with Local Low－tension Regions［J］.Ocean Engineering，1998，25（6）：443－463.

［4]Zhu W D，Ren H，Xiao C.A Nonlinear Model of a Slack Cable with Bending Stiffness and Moving Ends with Application to Elevator Traveling and Compensation Cables［J］.Journal of Application Mechanics，2011，78（4）：245－258.

［5]Virgin L.Effect of Weight on the Experimental Modal Analysis of Slender Cantilever Beams［C］／／ASME 2009International Design Engineering Techni－cal Conferences ＆Computers and Information in Engineering Conference.San Diego：ASME，2009：557－560.

［6]金棟平，文浩，胡海巖.繩索系統(tǒng)的建模、動(dòng)力學(xué)和控制［J］.力學(xué)進(jìn)展，2004，34（3）：304－313.

［7]邱明，廖振強(qiáng)，焦衛(wèi)東，等.基于剛?cè)狁詈系母叻狡胶Y動(dòng)力學(xué)建模與振動(dòng)模態(tài)分析［J］.中國(guó)機(jī)械工程，2008，19（24）：2960－2964.