鄒 劍，董廣明，陳 進(jìn)

(1.青島農(nóng)業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，青島 266109;2.上海交通大學(xué) 機(jī)械系統(tǒng)與振動(dòng)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，上海 200240)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是航空、電力、機(jī)械、化工、紡織等工業(yè)部門旋轉(zhuǎn)機(jī)械的關(guān)鍵性部件，隨著旋轉(zhuǎn)機(jī)械日益向高速、輕型、復(fù)雜結(jié)構(gòu)、重載、大功率、長周期運(yùn)行方向的發(fā)展，導(dǎo)致轉(zhuǎn)子的振動(dòng)形態(tài)多變、應(yīng)力狀態(tài)復(fù)雜、軸向溫度剃度分布過大以及工作介質(zhì)的腐蝕加劇等，從而使轉(zhuǎn)子在運(yùn)行過程中極有可能出現(xiàn)橫向裂紋并造成機(jī)毀人亡的災(zāi)難性事故，因而有必要深入地研究裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，利用現(xiàn)代振動(dòng)測(cè)試與分析技術(shù)對(duì)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行在線監(jiān)測(cè)與故障診斷。

為計(jì)算轉(zhuǎn)軸橫向裂紋的柔度，將應(yīng)變能釋放率理論與線性斷裂力學(xué)、轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)相結(jié)合獲得較理想的結(jié)果;Papadopoulos［1］描述了應(yīng)變能釋放率的基本理論與使用中的延伸與限制，給出了多種不同的裂紋識(shí)別方法。林言麗等［2］對(duì)現(xiàn)有裂紋轉(zhuǎn)子剛度模型進(jìn)行了簡略的總結(jié)，提出了兩種原理不同、裂紋張開區(qū)域不同的確定剛度方法，試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)應(yīng)力強(qiáng)度因子為零法能更好地反映裂紋轉(zhuǎn)子的剛度變化。Gasch［3］提出了簡單鉸鏈裂紋模型，將裂紋的張開與閉合狀態(tài)表示為方波函數(shù)，很好地描述了裂紋轉(zhuǎn)子周期變化的剛度及其穩(wěn)定性，在裂紋轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)建模和無損檢測(cè)中得到了廣泛的應(yīng)用。冷小磊等［4］應(yīng)用Monte-Carlo隨機(jī)模擬法，分析了白噪聲擾動(dòng)下裂紋轉(zhuǎn)子剛度變化、轉(zhuǎn)速比等參數(shù)對(duì)系統(tǒng)分岔及混沌行為的影響，發(fā)現(xiàn)在擬周期與混沌解及其臨近的分叉參數(shù)區(qū)間，隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)有著較為顯著的影響，而周期解處則較小。DAI等［5］考慮了周期激勵(lì)作用下不對(duì)稱粘彈性支撐下的非線性裂紋轉(zhuǎn)子，采用 Floquet-Lyapunov理論研究了系統(tǒng)的線性、非線性動(dòng)力穩(wěn)定性，討論了不同因素對(duì)主不穩(wěn)定區(qū)的影響。羅躍綱等［6］利用求解非線性非自治系統(tǒng)周期解的延拓打靶法和Floquet理論，研究帶有裂紋——碰磨耦合故障的具有三軸承支承的雙跨彈性轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性與失穩(wěn)規(guī)律，認(rèn)為雙跨裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以倍周期分叉形式失穩(wěn)，雙跨碰磨轉(zhuǎn)子系統(tǒng)以Hopf分叉形式失穩(wěn)。

工程實(shí)際中，由于制造安裝誤差或運(yùn)行中熱效應(yīng)的原因，會(huì)使轉(zhuǎn)軸存在著一定的初始彎曲，進(jìn)而導(dǎo)致轉(zhuǎn)子動(dòng)撓度增加，機(jī)組的振動(dòng)加劇，甚至引發(fā)轉(zhuǎn)子與靜子之間的碰磨?；诤唵毋q鏈裂紋模型，建立了含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子的無量綱動(dòng)力學(xué)模型;對(duì)比了含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子與無初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子諧波頻率成分的差異，研究了系統(tǒng)的亞臨界共振特性，采用Floquet理論分析了含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性。

圖1 裂紋轉(zhuǎn)子橫截面Fig.1 Cross section of cracked rotor

1 動(dòng)力學(xué)模型的建立

質(zhì)量 m的 de Laval轉(zhuǎn)子，簡支于長L無質(zhì)量的彈性軸上。假定，裂紋位于轉(zhuǎn)子的根部并且重力占優(yōu)。建立圖1所示裂紋轉(zhuǎn)子的動(dòng)力學(xué)方程:

轉(zhuǎn)子的剛度矩陣為:

式中，對(duì)于勻變速裂紋轉(zhuǎn)子有φ=ωt。

裂紋開閉修正函數(shù)Θ可表示為［3］:

式中，θ=φ+β，研究中只考慮了級(jí)數(shù)的前四項(xiàng)。

令［x y］T=［Δx Δy］T+［xst0］T，在重力占優(yōu)的情形下，式(1)轉(zhuǎn)變?yōu)?

引入變量 τ=ωnt，Ω =ω/ωn，將式(2)轉(zhuǎn)變?yōu)闊o量綱形式:

2 亞臨界共振

等式右邊各項(xiàng)依次為裂紋激勵(lì)、質(zhì)量偏心激勵(lì)、與裂紋無關(guān)以及與裂紋相耦合的初始彎曲激勵(lì)。

將裂紋開閉修正函數(shù)Θ按歐拉方程展開，有:

將式(5)代入式(4)，得:

利用含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子的解析表達(dá)式，可以對(duì)比無初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子與含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子頻率成分的差異。無初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子僅僅存在著由裂紋引起的1，2，2n－1，…(n=2，3，4，…)等諧波成分，而含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子則同時(shí)還存在著由初始彎曲導(dǎo)致的1，2，2n，…(n=2，3，4，…)等諧波成分。由于含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)存在著1，2，n，…(n=3，4，…)等高次諧波分量，相應(yīng)的必然存在著高次諧波的1/n(n=1，2，3，…)亞臨界共振。含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子的1/2，1/3亞臨界共振的頻譜如圖2所示，可知在亞臨界共振時(shí)1次諧波分量占主導(dǎo)作用，而相應(yīng)的高次諧波分量起著次之的作用。不考慮不平衡、直流分量以及與裂紋無關(guān)的初始彎曲激勵(lì)，令α=β=0，分別得到裂紋激勵(lì)、與裂紋相耦合的初始彎曲激勵(lì)各諧波分量的參與因子ck、dk，如表1與表2所示;可以看出:裂紋激勵(lì)與初始彎曲激勵(lì)的1，2次諧波的參與因子大于3，4次諧波的，并且正進(jìn)動(dòng)分量的參與因子大于反進(jìn)動(dòng)的。

圖2 含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子的頻譜分析Fig.2 Frequency spectra of cracked rotor with initial deflection

表1 裂紋激勵(lì)的參與因子Tab.1 Participation factor of crack excitation

表2 初始彎曲激勵(lì)的參與因子Tab.2 Participation factor of initial deflection

3 穩(wěn)定性分析

為了研究含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性，考慮式(2)所示運(yùn)動(dòng)微分方程的齊次方程:

對(duì)式(7)進(jìn)行無量綱化處理，得:

采用狀態(tài)空間表示法，式(8)改寫為:

式中，狀態(tài)矢量X為:

系統(tǒng)矩陣B為:

結(jié)合Floquet理論，可得:

數(shù)值積分可計(jì)算得到含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的周期轉(zhuǎn)換矩陣 ΦA(chǔ)(T，0)。

為研究狀態(tài)矢量之間的關(guān)系，假定:

將式(11)代入式(10)，得到Floquet特征值問題:求解式(12)可得到周期轉(zhuǎn)換矩陣 ΦA(chǔ)(T，0)的特征值μ。

利用式(9)～式(12)可以研究含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性隨裂紋相對(duì)剛度變化Δkξ、轉(zhuǎn)速比Ω以及阻尼比ζ的變化關(guān)系，如圖3所示(圖中陰影部分表示轉(zhuǎn)速不穩(wěn)定區(qū))。由圖3可見，裂紋的存在導(dǎo)致轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性發(fā)生變化，主要區(qū)別在于含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)由單一不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速變?yōu)椴环€(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)，并且不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)的寬度隨著相對(duì)剛度變化Δkξ的增大而增加;阻尼則有抑制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不穩(wěn)定的作用，隨著阻尼比ζ的增加不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)變窄甚至消失。進(jìn)一步深入分析圖3發(fā)現(xiàn):在淺裂紋情形下，含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)速比 Ω =1/4，1/3，2/5，1/2，2/3，1，2 附近出現(xiàn)不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)，并且不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)在轉(zhuǎn)速比Ω=2/5，2/3，1，2附近比較明顯;而阻尼對(duì)于抑制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不穩(wěn)定作用顯著，即便是在小阻尼的情形下含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子也僅僅在轉(zhuǎn)速比Ω=2/3，1，2附近出現(xiàn)不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)。穩(wěn)定性分析表明:當(dāng)裂紋轉(zhuǎn)子系統(tǒng)啟停車時(shí)，必須保證較大的加速度才能通過參數(shù)不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)(Ω=2/3)、主臨界不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)(Ω=1)以及二次臨界不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)(Ω=2)。

4 結(jié)論

(1)基于簡單鉸鏈裂紋模型，建立了含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子的無量綱動(dòng)力學(xué)模型。

(2)經(jīng)解析求解對(duì)比了含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子與無初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子諧波頻率成分的差異，發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)存在著 1，2，n，…(n=3，4)等高次諧波分量，相應(yīng)的必然存在著高次諧波的1/n(n=1，2，3，…)亞臨界共振。

圖3 含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性Fig.3 Stability of cracked rotor with initial deflection

(3)采用Floquet理論分析了含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子的穩(wěn)定性，發(fā)現(xiàn):在淺裂紋情形下，含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子在轉(zhuǎn)速比 Ω =1/4，1/3，2/5，1/2，2/3，1，2 附近出現(xiàn)不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)，并且不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)在轉(zhuǎn)速比Ω=2/5，2/3，1，2附近比較明顯，而阻尼對(duì)于抑制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的不穩(wěn)定作用顯著，即便是在小阻尼的情形下含初始彎曲裂紋轉(zhuǎn)子也僅僅在轉(zhuǎn)速比Ω=2/3，1，2附近出現(xiàn)不穩(wěn)定轉(zhuǎn)速區(qū)。

附 錄

符 號(hào)

B——系統(tǒng)矩陣

c——阻尼

ck——裂紋激勵(lì)參與因子

dk——初始彎曲激勵(lì)參與因子

e——質(zhì)量偏心

I——單位矩陣

k——無裂紋轉(zhuǎn)子的剛度

kx、ky——x、y 方向的彎曲剛度

kxy、kyx—— x、y 方向的交叉剛度

Δkξ——裂紋轉(zhuǎn)子ξ方向剛度變化量

Δk——?jiǎng)偠认鄬?duì)變化率ξ

rs——初始彎曲

X——狀態(tài)矢量

xoy——慣性坐標(biāo)系

xst——靜態(tài)彎曲

T——周期

ω——角頻率

ωn——系統(tǒng)固有頻率

α——初始彎曲角

β——裂紋法向與質(zhì)量偏心間的夾角

γs——相對(duì)初始彎曲

φ——轉(zhuǎn)角

ζ——阻尼比

Θ——裂紋開閉修正函數(shù)

ε——相對(duì)質(zhì)量偏心

ΦA(chǔ)(T，0)——周期轉(zhuǎn)換矩陣

μ——特征值

下標(biāo) τ、ττ——對(duì) τ的一階、二階導(dǎo)數(shù)

ξoη——旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系

［1］ Papadopoulos C A.The strain energy release approach for modeling cracks in rotors:a state of the art review ［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22(4):763－789.

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