陳 凱，符龍彪，錢(qián)基宏，金新陽(yáng)

(中國(guó)建筑科學(xué)研究院，北京 100013)

風(fēng)作用下的結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)一直是工程界關(guān)心的問(wèn)題。通常認(rèn)為作用于建筑結(jié)構(gòu)表面的風(fēng)荷載時(shí)程是完全隨機(jī)的平穩(wěn)過(guò)程。因此，結(jié)構(gòu)物的風(fēng)致響應(yīng)習(xí)慣上根據(jù)經(jīng)典的線性結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)理論進(jìn)行分析。以往的風(fēng)振分析出于計(jì)算量的考慮，大多采用“平方－總和－開(kāi)方”法，即所謂的SRSS方法，忽略了振型之間的耦合項(xiàng)。這種方法對(duì)于振型密集、阻尼很小的復(fù)雜結(jié)構(gòu)會(huì)帶來(lái)較大誤差［1］。

目前應(yīng)用最廣泛、準(zhǔn)確度較高的算法是CQC完全二次型組合算法［2］。但CQC方法的計(jì)算比較繁瑣，對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)而言運(yùn)算量極大。林家浩等［3］提出了“虛擬激勵(lì)法”用于隨機(jī)振動(dòng)計(jì)算，在大幅縮減計(jì)算量的前提下獲得了與CQC完全等價(jià)的結(jié)果。該方法在風(fēng)工程領(lǐng)域也已得到不少應(yīng)用［4－6］。虛擬激勵(lì)法對(duì)給定激勵(lì)源頻譜特征的隨機(jī)振動(dòng)較為有效。復(fù)雜結(jié)構(gòu)的風(fēng)振響應(yīng)往往基于風(fēng)洞試驗(yàn)獲得的風(fēng)壓時(shí)程進(jìn)行計(jì)算，在運(yùn)用虛擬激勵(lì)法之前，首先要進(jìn)行功率譜估計(jì)，再進(jìn)行譜矩陣分解，該過(guò)程的運(yùn)算量仍然較大。謝壯寧［7－8］提出了風(fēng)振分析的“諧波激勵(lì)法”，在對(duì)復(fù)雜結(jié)構(gòu)進(jìn)行風(fēng)振分析時(shí)，相比傳統(tǒng)的CQC方法運(yùn)算量和運(yùn)算時(shí)間都有明顯改善。

虛擬激勵(lì)和諧波激勵(lì)本質(zhì)上都是基于CQC完全二次型組合算法的改進(jìn)，最終仍通過(guò)響應(yīng)功率譜矩陣求解結(jié)構(gòu)風(fēng)振響應(yīng)。

與此不同，本文提出了基于時(shí)程計(jì)算風(fēng)振響應(yīng)的廣義坐標(biāo)合成法，通過(guò)廣義坐標(biāo)的協(xié)方差矩陣求解響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值。該方法大幅減少了結(jié)構(gòu)風(fēng)振分析的計(jì)算規(guī)模和計(jì)算量，典型結(jié)構(gòu)的計(jì)算規(guī)模和計(jì)算量不到CQC改進(jìn)算法(諧波激勵(lì)法)的1/10，而通過(guò)該方法得到的風(fēng)振響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)值與CQC方法完全等價(jià)，具有快速、高效、準(zhǔn)確的特點(diǎn)。

另外，CQC的傳統(tǒng)和改進(jìn)算法通常只能獲得響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)值。而若需獲得響應(yīng)時(shí)程，則要進(jìn)行極耗資源的時(shí)程分析。因而除了非常重要的工程之外［9］，很少被采用。這使得在進(jìn)行關(guān)于背景響應(yīng)與共振響應(yīng)研究時(shí)，計(jì)算過(guò)程十分復(fù)雜［10］。而運(yùn)用本文介紹的計(jì)算方法可以運(yùn)用振型疊加直接得出風(fēng)振響應(yīng)時(shí)程，這為開(kāi)展響應(yīng)三分量分析(平均、背景、共振)和概率分析等研究創(chuàng)造了有利條件。

1 計(jì)算原理

1.1 CQC方法及其改進(jìn)算法概述

建筑結(jié)構(gòu)在風(fēng)荷載作用下的運(yùn)動(dòng)方程可表示為:

利用振型疊加法，取對(duì)質(zhì)量矩陣歸一化的振型，可得出解耦后的廣義坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程:

其中fj(t)為第j階振型廣義力。根據(jù)隨機(jī)振動(dòng)理論，可以推導(dǎo)出響應(yīng)x(t)的功率譜密度為:

其中Hj為j階振型的頻率響應(yīng)函數(shù)，［Sfjfk］為廣義力的功率譜矩陣，它可以用激勵(lì)力的譜矩陣表達(dá)，如下式:

［SPmPn］是激勵(lì)力P(t)的功率譜矩陣。對(duì)響應(yīng)的功率譜積分后，即可得出各點(diǎn)位移的方差。式(3)和式(4)就是所謂的CQC方法，若在求和過(guò)程中忽略交叉項(xiàng)則是SRSS方法。

當(dāng)式(3)包含了全部振型時(shí)，該式得出的是精確解。在實(shí)際工程中，通常要進(jìn)行振型截?cái)嘁詼p小計(jì)算量，計(jì)算時(shí)僅考慮結(jié)構(gòu)的前若干階(通常不超過(guò)100階)振型。

虛擬激勵(lì)法針對(duì)式(3)的計(jì)算采用了改進(jìn)算法，從而減小了CQC方法的計(jì)算量。而諧波激勵(lì)法的主要思路則是根據(jù)功率譜估計(jì)的周期圖算法，不直接計(jì)算激勵(lì)的功率譜矩陣，而是將相關(guān)項(xiàng)組合后，直接求得響應(yīng)的協(xié)方差矩陣。其過(guò)程［7］簡(jiǎn)述如下:

(1)對(duì)激勵(lì)力P(t)取傅里葉變換(實(shí)際上是快速傅里葉變換FFT)，得到P(ω);

(2)計(jì)算諧波激勵(lì)的頻率響應(yīng)Y(ω)=Hs(ω)P(ω)，其中 Hs=ФHФT為結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)矩陣，這里的Ф是振型矩陣［φj］，H為振型頻響函數(shù)矩陣，該矩陣為對(duì)角陣，第j個(gè)對(duì)角元素為j振型的頻響函數(shù)Hj。

(3)根據(jù)功率譜的周期圖估計(jì)，響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)可表示為SYjYk=Yj(ω)Y*k(ω)/L(L為進(jìn)行FFT計(jì)算的時(shí)點(diǎn)數(shù))，將響應(yīng)功率譜密度矩陣求積分就可以得出響應(yīng)的協(xié)方差矩陣。實(shí)際上，由于Y(ω)是N×L的矩陣(N為節(jié)點(diǎn)總自由度數(shù))，由矩陣乘法Y(ω)Y*T(ω)/L可直接得到協(xié)方差矩陣。

以上就是諧波激勵(lì)法的基本計(jì)算方法。諧波激勵(lì)法之所以能夠節(jié)約計(jì)算量，是因?yàn)樗鼘s(ω)P(ω)作為一個(gè)整體來(lái)處理，避免了在計(jì)算激勵(lì)譜矩陣之后再做多次矩陣乘法。

1.2 廣義坐標(biāo)合成法

結(jié)合風(fēng)洞試驗(yàn)進(jìn)行的風(fēng)振分析，激勵(lì)時(shí)程(即表面風(fēng)壓時(shí)程)通常是已知的。針對(duì)這一特點(diǎn)，本文提出了廣義坐標(biāo)合成法，根據(jù)振型疊加法和廣義坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程得出風(fēng)致響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值。同時(shí)，對(duì)數(shù)據(jù)處理和計(jì)算過(guò)程進(jìn)行了優(yōu)化，使計(jì)算規(guī)模主要由參與計(jì)算的振型數(shù)量決定，一定程度上擺脫了結(jié)構(gòu)體系規(guī)模造成的計(jì)算瓶頸。

1.2.1 風(fēng)振響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值的計(jì)算公式

由振型疊加原理，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)由下式表示:

而振型廣義力則表示為:

對(duì)式(5)取時(shí)間平均，可得出響應(yīng)平均值:

扣除平均量后，對(duì)式(5)進(jìn)行矩陣乘法，可得:

對(duì)式(8)求取數(shù)學(xué)期望，即可得:

其中Vxx和Vqq分別是響應(yīng)和廣義坐標(biāo)的協(xié)方差矩陣。Vxx的對(duì)角元即為對(duì)應(yīng)響應(yīng)的自方差，而其他元素則為不同響應(yīng)之間的協(xié)方差。式(9)是廣義坐標(biāo)合成法的核心公式，它通過(guò)振型的廣義坐標(biāo)統(tǒng)計(jì)值的合成得出節(jié)點(diǎn)響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值。由于Vqq的階數(shù)與振型階數(shù)相同，用上式計(jì)算響應(yīng)均方根非常方便快捷。

1.2.2 廣義坐標(biāo)協(xié)方差矩陣Vqq的計(jì)算

當(dāng)隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題由激勵(lì)功率譜矩陣刻畫(huà)時(shí)，Vqq可通過(guò)功率譜矩陣的頻域積分得出。而對(duì)于具備風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)的風(fēng)振問(wèn)題，Vqq可通過(guò)對(duì)時(shí)程統(tǒng)計(jì)得到。這需要對(duì)廣義坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程，即式(2)進(jìn)行求解。

式(2)為單自由度方程。該方程可在時(shí)域和頻域求解。時(shí)域的求解可采用杜哈梅積分方法，而頻域的求解則可借助傅里葉變換。對(duì)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，fj(t)通常不滿足平方可積條件，因而不能直接對(duì)式(2)兩端施以傅里葉變換。但由于風(fēng)洞試驗(yàn)得出的是有限個(gè)離散數(shù)據(jù)點(diǎn)，因此運(yùn)用單自由度運(yùn)動(dòng)方程的頻域數(shù)值分析方法［11］，可利用快速傅里葉變換FFT對(duì)方程求解。從而廣義坐標(biāo)的時(shí)程可由下式得到:

其中F+{}和F－{}分別表示快速傅里葉正變換和逆變換。在得到各階振型的廣義坐標(biāo)時(shí)程后，即可根據(jù)Vqjqk=∑qj(t)qk(t)/L計(jì)算其協(xié)方差矩陣。求和號(hào)表示對(duì)所有離散時(shí)間點(diǎn)求和。

1.2.3 其他風(fēng)振響應(yīng)的計(jì)算

式(9)給出了節(jié)點(diǎn)位移響應(yīng)協(xié)方差矩陣的計(jì)算公式。對(duì)于其他可由廣義坐標(biāo)線性疊加得出的響應(yīng)，也可仿照式(9)的推導(dǎo)過(guò)程得出其方差計(jì)算公式。假定響應(yīng)r可用下式表示:

其中AT為行向量，其第j個(gè)元素Aj為j階振型對(duì)r的貢獻(xiàn)。由A的定義可知，振型矩陣只是A的一種特殊形式。易知r的方差可由下式計(jì)算:

對(duì)于速度和加速度等響應(yīng)，無(wú)法通過(guò)廣義坐標(biāo)的疊加獲得，但注意到:

因此，可首先計(jì)算廣義坐標(biāo)的加速度時(shí)程，再根據(jù)式(13)得出節(jié)點(diǎn)加速度時(shí)程響應(yīng)。利用FFT特性，j階振型的廣義坐標(biāo)加速度時(shí)程可通過(guò)下式計(jì)算:

1.3 風(fēng)振響應(yīng)計(jì)算的前處理與后處理

1.2節(jié)建立了廣義坐標(biāo)合成法的基本計(jì)算框架。但是，風(fēng)洞試驗(yàn)得到的壓力時(shí)程僅分布在少數(shù)測(cè)點(diǎn)上，需首先將其作用于所有結(jié)構(gòu)受風(fēng)節(jié)點(diǎn)。由此得出的結(jié)構(gòu)激勵(lì)力P(t)包含了N個(gè)行向量，每個(gè)向量均有L個(gè)時(shí)程點(diǎn)的數(shù)據(jù)。由P(t)直接計(jì)算廣義力，計(jì)算量非常大，需要進(jìn)一步的優(yōu)化。

1.3.1 廣義力時(shí)程的計(jì)算

式(6)給出了廣義力的計(jì)算公式。在一般的風(fēng)振分析中，經(jīng)常將測(cè)點(diǎn)的風(fēng)荷載時(shí)程直接作為集中力加載于距離最近的節(jié)點(diǎn)上，這種處理方式對(duì)于結(jié)構(gòu)剛度分布不均勻的體系而言誤差很大。更為合理的方法是將測(cè)點(diǎn)的風(fēng)荷載時(shí)程通過(guò)不同的插值方法作用于所有受風(fēng)節(jié)點(diǎn)。本文采用了反距離加權(quán)方法計(jì)算節(jié)點(diǎn)風(fēng)荷載。其公式為:

其中wk(t)為測(cè)點(diǎn)k的壓力時(shí)序，而lkj為結(jié)構(gòu)受風(fēng)節(jié)點(diǎn)j與測(cè)點(diǎn)k的距離。式(15)的計(jì)算中，事先挑選離節(jié)點(diǎn)最近的3個(gè)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行插值。將式(15)以矩陣形式表示，并代入式(6)，得出:

其中R為插值矩陣。根據(jù)本文所采用的插值方法，R為每行僅有3個(gè)非零元素的稀疏矩陣，T為最終轉(zhuǎn)換矩陣。利用式(16)可由測(cè)點(diǎn)壓力時(shí)程直接得出振型廣義力時(shí)程。因?yàn)門(mén)僅取決于結(jié)構(gòu)振型和測(cè)點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)的相對(duì)位置關(guān)系，因此只需要計(jì)算一次。且其為K×M階矩陣(K為振型數(shù)，M為測(cè)點(diǎn)數(shù))，比起直接用振型函數(shù)計(jì)算廣義力，減小的運(yùn)算量相當(dāng)可觀。1.3.2 背景響應(yīng)與共振響應(yīng)的計(jì)算

風(fēng)振響應(yīng)的平均分量、背景分量和共振分量可以由方程(1)的下述形式予以說(shuō)明:

其中平均分量是由荷載的平均部分引起的響應(yīng)。而在扣除平均荷載之后，式(17)右端第一項(xiàng)引起的響應(yīng)即為背景分量。后兩項(xiàng)表示結(jié)構(gòu)體系振動(dòng)的附加力，由此附加力引起的響應(yīng)，稱(chēng)為共振響應(yīng)。

廣義坐標(biāo)合成法首先得出所有振型的廣義坐標(biāo)時(shí)程，因而需要時(shí)可根據(jù)振型疊加法式(11)計(jì)算節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)時(shí)程，該時(shí)程包含了上述全部三個(gè)分量。

結(jié)構(gòu)的平均響應(yīng)和背景響應(yīng)可分別由廣義坐標(biāo)時(shí)程的對(duì)應(yīng)分量給出。對(duì)應(yīng)P(t)的廣義坐標(biāo)時(shí)程可由下式得出:

平均分量和背景分量之和通常也稱(chēng)為準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)。在得出響應(yīng)中不同分量的時(shí)程后，即可求得響應(yīng)的功率譜及其在時(shí)間上的概率分布，這為開(kāi)展相關(guān)研究創(chuàng)造了便利條件。

1.4 廣義坐標(biāo)合成法的深入討論

1.4.1 與CQC方法的等價(jià)性

廣義坐標(biāo)合成法得出的結(jié)果與CQC方法的等價(jià)性，可結(jié)合式(12)和式(3)加以說(shuō)明。對(duì)于某個(gè)特定的響應(yīng)r(t)，其方差可由(9)式計(jì)算得:

上式的推導(dǎo)過(guò)程中，在第三和第四步分別利用了帕斯瓦爾等式和廣義坐標(biāo)與廣義力的頻域關(guān)系式。而根據(jù)CQC方法的基本公式，在利用式(3)求取響應(yīng)均方根時(shí)，要對(duì)響應(yīng)功率譜在頻域積分，離散情況下就是在信號(hào)頻譜范圍內(nèi)求和。如下式:

對(duì)比式(20)和式(21)即可發(fā)現(xiàn)，二者完全相同。這就證明了運(yùn)用本文的廣義坐標(biāo)合成法，得到的結(jié)果與CQC方法是完全等價(jià)的。

1.4.2 精度的討論

CQC方法需要先行估算譜密度矩陣。在結(jié)構(gòu)風(fēng)振分析中最常用的是周期圖方法，它是譜密度的漸近無(wú)偏估計(jì)。其估計(jì)的準(zhǔn)確程度與采樣頻率和截?cái)嚅L(zhǎng)度有關(guān)，采樣頻率越高、截?cái)嚅L(zhǎng)度越長(zhǎng)，準(zhǔn)確程度越高，但相應(yīng)的計(jì)算量就越大。由于廣義坐標(biāo)合成法的計(jì)算公式與CQC方法是等價(jià)的，因此截?cái)嚅L(zhǎng)度和采樣頻率對(duì)這兩種方法也會(huì)產(chǎn)生相同的影響。

為了提高譜估計(jì)的準(zhǔn)確程度，在CQC的計(jì)算過(guò)程中往往會(huì)采用加窗處理或者分段周期圖平均法。加窗處理是對(duì)原始時(shí)程數(shù)據(jù)進(jìn)行了濾波，此時(shí)可以用濾波后的時(shí)程數(shù)據(jù)采用廣義坐標(biāo)合成法進(jìn)行計(jì)算，得出與CQC方法等價(jià)的結(jié)果;而分段周期圖平均法，相當(dāng)于將廣義力時(shí)程劃分為若干對(duì)應(yīng)段落進(jìn)行計(jì)算最后取平均。簡(jiǎn)言之，在CQC方法中采取的各種譜密度估計(jì)方法，都可得出與之等價(jià)的廣義坐標(biāo)合成法，并由此得到與CQC方法完全等價(jià)的計(jì)算結(jié)果。

另一方面，根據(jù)單自由度運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)值分析原理，由廣義坐標(biāo)頻域求解公式得到的響應(yīng)時(shí)程，實(shí)際上與時(shí)域采用差分法得到的時(shí)程等價(jià)，其精度也與時(shí)域差分的計(jì)算結(jié)果相同。

1.4.3 廣義坐標(biāo)合成法的計(jì)算量和計(jì)算規(guī)模

本節(jié)將對(duì)廣義坐標(biāo)合成法的計(jì)算量和計(jì)算規(guī)模進(jìn)行估算。鑒于諧波激勵(lì)法是目前風(fēng)振分析中計(jì)算速度最快、計(jì)算量最小的CQC算法，將對(duì)兩種方法進(jìn)行比較。在此過(guò)程中，忽略了對(duì)計(jì)算量影響較小的因素。

設(shè)結(jié)構(gòu)體系的受風(fēng)節(jié)點(diǎn)總自由度數(shù)為N，風(fēng)壓測(cè)點(diǎn)數(shù)量為M，每個(gè)壓力時(shí)序共有L個(gè)時(shí)點(diǎn)。計(jì)算過(guò)程共選取K階振型參與計(jì)算。表1給出了兩種算法的基本流程及其需要的乘法次數(shù)。

表1 兩種算法的主要步驟及所需乘法次數(shù)Tab.1 The counts of multiplication in the main steps of the two methods

除此之外諧波激勵(lì)法還需進(jìn)行N次離散傅里葉變換(若對(duì)測(cè)點(diǎn)進(jìn)行變換后再乘轉(zhuǎn)換矩陣則為M次)，廣義坐標(biāo)合成法需要進(jìn)行2K次離散傅里葉變換，一般情況下都會(huì)有M＞2K，因此忽略該因素不會(huì)高估諧波激勵(lì)法的計(jì)算量。另外在表1對(duì)諧波激勵(lì)法計(jì)算量的估算中，已經(jīng)考慮了 P(ω)=P*(－ω)對(duì)計(jì)算量的影響。

由于大多數(shù)情況下，N?L＞M＞K，因此諧波激勵(lì)法的計(jì)算量大致為N×L×N，而廣義坐標(biāo)合成法的計(jì)算量大致由最后一步(N×K×K+N×K×N)所決定?？紤]到這幾個(gè)量的大小關(guān)系，后者的計(jì)算量將會(huì)小很多。

而且在工程實(shí)踐中，往往并不需要得出不同節(jié)點(diǎn)響應(yīng)的協(xié)方差。如果只計(jì)算節(jié)點(diǎn)的自方差，諧波激勵(lì)法仍然要計(jì)算出所有的Y(ω)，只是在最后一步減小了計(jì)算量。但廣義坐標(biāo)合成法卻只需要式(20)計(jì)算N次。因此兩種方法所需計(jì)算量分別為N×N×L/2+N×L/2和N×K×(K+1)次。此時(shí)廣義坐標(biāo)合成法的計(jì)算量更要小得多。

如果只需要對(duì)部分節(jié)點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算——比如只計(jì)算測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的M個(gè)節(jié)點(diǎn)自由度的響應(yīng)——廣義坐標(biāo)合成法最后一步所需乘法次數(shù)為M×K×K+M×K×M;而諧波激勵(lì)法為了得出同樣的結(jié)果，需要計(jì)算M個(gè)點(diǎn)的諧波激勵(lì)頻率響應(yīng)，乘法次數(shù)M×N×L/2，計(jì)算響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值時(shí)，還需要再進(jìn)行M×L×M/2次乘法。

為直觀比較兩種算法計(jì)算量的差別，取一種典型情況(受風(fēng)節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)N=30 000，壓力測(cè)點(diǎn)數(shù)M=1 000，時(shí)序點(diǎn)數(shù)L=2 000，振型K=100)進(jìn)行了估算，并將結(jié)果列于表2。廣義坐標(biāo)合成法的計(jì)算量包含了表1中的所有步驟。

表2 兩種算法對(duì)典型結(jié)構(gòu)計(jì)算所需的乘法次數(shù)Tab.2 The counts of multiplication for a typical structure with the application of the two methods

可見(jiàn)，只要滿足N?L＞M＞K，廣義坐標(biāo)合成法的計(jì)算量都要比諧波激勵(lì)法小得多。尤其是只需要計(jì)算響應(yīng)自方差時(shí)，廣義坐標(biāo)合成法所需計(jì)算量甚至比諧波激勵(lì)法低3個(gè)數(shù)量級(jí)。

廣義坐標(biāo)合成法不但大大節(jié)約了計(jì)算量，對(duì)計(jì)算規(guī)模和內(nèi)存的要求也非常低。從表1可以看到，若完全按照矩陣乘法進(jìn)行計(jì)算，諧波激勵(lì)法中的最大矩陣是Hs(ω)，它是N×N的方陣，即使稍小的Y(ω)，其階數(shù)也是N×L;而廣義坐標(biāo)合成法的最大矩陣是振型矩陣Ф，其階數(shù)為N×K。以表2列舉的情況為例，兩種方法的最大矩陣所需內(nèi)存分別為120 MB和12 MB(已考慮Y(ω)的對(duì)稱(chēng)性)，諧波激勵(lì)法的矩陣規(guī)模要比廣義坐標(biāo)合成法高出一個(gè)數(shù)量級(jí)，這樣的差距對(duì)計(jì)算時(shí)間的影響相當(dāng)可觀。當(dāng)內(nèi)存開(kāi)銷(xiāo)過(guò)大時(shí)，勢(shì)必要頻繁進(jìn)行內(nèi)外存的數(shù)據(jù)交換，其耗費(fèi)的時(shí)間甚至遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于實(shí)際計(jì)算時(shí)間。

1.4.4 廣義坐標(biāo)合成法實(shí)現(xiàn)高效計(jì)算的物理根源

從物理背景來(lái)考察，廣義坐標(biāo)合成法之所以能夠減少計(jì)算規(guī)模、實(shí)現(xiàn)高效運(yùn)算，是因?yàn)樗⒉恢苯忧蠼馕锢砜臻g變量的時(shí)域和頻域特征，而是將計(jì)算轉(zhuǎn)移到振型空間來(lái)進(jìn)行。在得出廣義坐標(biāo)的統(tǒng)計(jì)特征后，再由廣義坐標(biāo)的統(tǒng)計(jì)特征合成物理空間所需統(tǒng)計(jì)值。

實(shí)際上在風(fēng)振計(jì)算過(guò)程中，真正獨(dú)立的數(shù)據(jù)信息只有測(cè)點(diǎn)的風(fēng)壓時(shí)程和結(jié)構(gòu)的振型。因此，當(dāng)把問(wèn)題轉(zhuǎn)移到振型空間來(lái)分析時(shí)，自由度大大縮減，計(jì)算過(guò)程也不再包含冗余信息，計(jì)算規(guī)模自然就得以縮減。

比如用傳統(tǒng)CQC方法及其改進(jìn)算法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，即使只需要求解1個(gè)點(diǎn)的響應(yīng)，也必須考慮所有節(jié)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的影響。也就是求一個(gè)Y(ω)也需要進(jìn)行N×L/2次乘法。計(jì)算過(guò)程中有大量的冗余信息也參與了運(yùn)算。當(dāng)采用廣義坐標(biāo)合成法求解時(shí)，這樣的冗余信息被全部過(guò)濾了，因此對(duì)計(jì)算量的縮減是不言而喻的。

2 算例分析

2.1 算例一:響應(yīng)中不同分量的計(jì)算

針對(duì)一個(gè)大型火車(chē)站運(yùn)用廣義坐標(biāo)合成法計(jì)算其風(fēng)振響應(yīng)。風(fēng)洞同步測(cè)壓試驗(yàn)在中國(guó)建筑科學(xué)研究院的大型邊界層風(fēng)洞中進(jìn)行。風(fēng)洞試驗(yàn)段截面尺寸4 m×3 m。同步測(cè)壓點(diǎn)998個(gè)，采樣頻率400 Hz(換算到原型約 7.3 Hz)，采樣時(shí)間21 s。圖1為風(fēng)洞試驗(yàn)照片。

圖1 模型試驗(yàn)照片F(xiàn)ig.1 Test model in wind tunnel

結(jié)構(gòu)模型共有18 451個(gè)節(jié)點(diǎn)，其中受風(fēng)面節(jié)點(diǎn)有8 981個(gè)。取600階振型進(jìn)行分析。需要說(shuō)明的是，車(chē)站第600階振型的自振頻率達(dá)7.1 Hz，超過(guò)了風(fēng)洞測(cè)壓試驗(yàn)的頻率分辨率，對(duì)于超出頻率分辨率的這些高階振型，計(jì)算結(jié)果只包括背景響應(yīng)，基本沒(méi)有共振響應(yīng)。但選取如此多的振型參與分析的主要原因是:在運(yùn)用振型分解法進(jìn)行風(fēng)振分析時(shí)，結(jié)構(gòu)的平均響應(yīng)往往也通過(guò)振型疊加法獲得。由于大跨結(jié)構(gòu)的特殊性，必須選取足夠多的振型才能得出較為精確的平均響應(yīng)。其次，廣義坐標(biāo)合成法計(jì)算效率非常高，即使選取的振型多達(dá)600階，計(jì)算速度也非常快。將某風(fēng)向下的平均風(fēng)荷載作用于結(jié)構(gòu)模型上，并對(duì)靜力分析和振型分解法得出的節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行了比較，選取前600階振型進(jìn)行計(jì)算的精度已達(dá)95%以上。

采用廣義坐標(biāo)合成法，計(jì)算測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值(包括平均值、均方根和協(xié)方差)只需要4 s時(shí)間，計(jì)算所有受風(fēng)節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值也只需要10 s時(shí)間。文獻(xiàn)［8］中采用諧波激勵(lì)法進(jìn)行響應(yīng)計(jì)算，其計(jì)算規(guī)模遠(yuǎn)小于本文(18 600個(gè)節(jié)點(diǎn)，270個(gè)測(cè)點(diǎn)，100階振型)，計(jì)算一個(gè)風(fēng)向的響應(yīng)所需時(shí)間約60 s。由此可見(jiàn)廣義坐標(biāo)合成法的巨大優(yōu)勢(shì)。

根據(jù)式(11)計(jì)算了雨棚邊緣最大位移點(diǎn)(18 449號(hào)節(jié)點(diǎn))的豎向位移響應(yīng)時(shí)程，并根據(jù)式(19)計(jì)算了其準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)時(shí)程，結(jié)果示于圖2。從圖2(a)中可明顯看到在準(zhǔn)靜態(tài)響應(yīng)之上疊加了較高頻率的共振響應(yīng)。總響應(yīng)的均方根為6.4 mm，而背景分量和共振分量則分別為 5.8 mm和 2.9 mm，二者相關(guān)系數(shù)接近 0(－0.001)。若采用傳統(tǒng)的CQC方法計(jì)算，背景和共振分量的計(jì)算過(guò)程將是相當(dāng)繁瑣和復(fù)雜的。而由圖2(b)可見(jiàn)，背景分量反映的是脈動(dòng)風(fēng)荷載本身的頻譜特征，而總響應(yīng)的功率譜中有4個(gè)峰值，分別對(duì)應(yīng)4階不同的振型，可觀察到的被激起的最高階振型為第90階振型。

節(jié)點(diǎn)響應(yīng)時(shí)程不但可以獲得響應(yīng)的頻域信息，還可據(jù)此進(jìn)行更多深入的分析。比如在計(jì)算極值響應(yīng)時(shí)，多認(rèn)為節(jié)點(diǎn)響應(yīng)接近平穩(wěn)高斯分布，并據(jù)此選擇峰值因子進(jìn)行計(jì)算。但以往大量研究表明大跨結(jié)構(gòu)的脈動(dòng)風(fēng)壓時(shí)程的概率分布與高斯分布偏離較遠(yuǎn)［12］。在這種非高斯的激勵(lì)源作用下，線性系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)程也應(yīng)當(dāng)是非高斯的。

圖3分別給出了位移背景響應(yīng)和共振響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)概率密度分布?？梢园l(fā)現(xiàn)共振響應(yīng)的概率密度非常接近高斯分布，而背景響應(yīng)的概率密度則有明顯的正向長(zhǎng)尾。與高斯隨機(jī)過(guò)程的偏離，對(duì)于極值響應(yīng)的估計(jì)有多大影響，是一個(gè)值得深入探討的問(wèn)題。通過(guò)本文方法獲得的響應(yīng)時(shí)程，為開(kāi)展這類(lèi)研究創(chuàng)造了有利條件。

2.2 算例二:加速度響應(yīng)的計(jì)算

高層建筑在風(fēng)荷載作用下的振動(dòng)加速度涉及到舒適度問(wèn)題，因而也是工程界所關(guān)心的。以往的風(fēng)振分析，振動(dòng)加速度的計(jì)算通常參照CQC方法首先計(jì)算加速度頻譜再積分。而根據(jù)式(13)和式(14)可以方便的得出加速度響應(yīng)時(shí)程，且計(jì)算量也較小。

對(duì)某436 m高的超高層建筑進(jìn)行了風(fēng)洞同步測(cè)壓試驗(yàn)，模型縮尺比1:450。結(jié)構(gòu)前3階周期分別為7.96 s(y方向)、6.74 s(x方向)和4.13 s(扭轉(zhuǎn))。利用廣義坐標(biāo)合成法計(jì)算了該建筑的風(fēng)振響應(yīng)。圖4給出了在10年重現(xiàn)期風(fēng)壓作用下，某風(fēng)向角結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)的準(zhǔn)靜態(tài)位移、總位移、速度和加速度信號(hào)。

由圖4(a)可見(jiàn)，位移、速度和加速度信號(hào)之間的相位差大致為180°，符合結(jié)構(gòu)振動(dòng)規(guī)律。準(zhǔn)靜態(tài)位移并無(wú)明確的振動(dòng)周期，而總位移則大致以結(jié)構(gòu)在y方向的一階頻率振動(dòng)。加速度信號(hào)除了可觀察到的低頻振動(dòng)外，信號(hào)中還疊加了較高頻率的振動(dòng)成分，反映了高階振型對(duì)加速度信號(hào)的影響更為顯著。這一現(xiàn)象在圖4(b)的功率譜中表現(xiàn)更為明顯，在加速度信號(hào)中，高頻分量所占的比例更高。

利用得出的加速度時(shí)程，可通過(guò)極值分析等方法得出結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)最大加速度，也可開(kāi)展其他基于時(shí)程的分析研究工作。

圖4 結(jié)構(gòu)頂點(diǎn)響應(yīng)Fig.4 Response at the structural top

3 結(jié)論

本文介紹了風(fēng)振響應(yīng)計(jì)算的快速算法——廣義坐標(biāo)合成法。該方法針對(duì)風(fēng)洞試驗(yàn)中風(fēng)壓時(shí)程為已知這一有利條件，首先利用快速傅里葉變換求解單自由度的廣義坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程，再通過(guò)時(shí)程統(tǒng)計(jì)得出廣義坐標(biāo)的協(xié)方差矩陣，最后由該矩陣計(jì)算節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值。對(duì)于加速度等不能由廣義坐標(biāo)疊加而成的響應(yīng)，則通過(guò)廣義坐標(biāo)的加速度時(shí)程來(lái)計(jì)算。理論推導(dǎo)表明該方法得出的計(jì)算結(jié)果與CQC方法完全等價(jià)。

該方法的計(jì)算規(guī)模主要取決于參與計(jì)算的振型數(shù)量。由于通常情況下選取的振型數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于節(jié)點(diǎn)數(shù)量，因此不但縮短了計(jì)算時(shí)間，而且由于大大降低了計(jì)算規(guī)模，使一般臺(tái)式機(jī)也可以開(kāi)展大型結(jié)構(gòu)的風(fēng)振分析。對(duì)于只需得出響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值的問(wèn)題，廣義坐標(biāo)合成法的計(jì)算量和計(jì)算規(guī)模都不到CQC算法及其改進(jìn)算法的1//10。尤其是當(dāng)只求解響應(yīng)自方差時(shí)，其所需計(jì)算量比CQC改進(jìn)算法的小3個(gè)數(shù)量級(jí)。

廣義坐標(biāo)合成法的另一個(gè)優(yōu)點(diǎn)是可以通過(guò)廣義坐標(biāo)時(shí)程得出響應(yīng)時(shí)程，為開(kāi)展基于時(shí)程的分析研究提供了有利條件。

本文通過(guò)兩個(gè)實(shí)例計(jì)算證明了廣義坐標(biāo)合成法的有效性。算例一是有上萬(wàn)節(jié)點(diǎn)規(guī)模的結(jié)構(gòu)體系，包含近千個(gè)測(cè)點(diǎn)和數(shù)百階振型，其每個(gè)風(fēng)向角的響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值計(jì)算時(shí)間僅需數(shù)秒鐘;算例二則通過(guò)廣義坐標(biāo)的加速度時(shí)程得出了高層建筑的頂部加速度響應(yīng)時(shí)程，不同響應(yīng)之間的計(jì)算結(jié)果符合結(jié)構(gòu)振動(dòng)的基本規(guī)律。實(shí)例分析中還給出了利用響應(yīng)時(shí)程進(jìn)行概率分析和功率譜分析得出的主要結(jié)果。

除了風(fēng)振響應(yīng)的計(jì)算之外，廣義坐標(biāo)合成法可廣泛應(yīng)用于各類(lèi)已知激勵(lì)時(shí)程的隨機(jī)振動(dòng)問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)高效、快速、準(zhǔn)確地計(jì)算。

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