張凌空牛安福吳利軍

1）中國北京100045中國地震臺網中心

2）中國北京100036中國地震局地震預測研究所

地殼應變場觀測中體應變與面應變轉換系數(shù)的計算＊

張凌空1），牛安福1）吳利軍2）

1）中國北京100045中國地震臺網中心

2）中國北京100036中國地震局地震預測研究所

將鉆孔體應變儀與分量式應變儀的觀測資料在面應變平臺上進行整合，對于解決目前兩種應變儀觀測數(shù)據(jù)的評估、分析、處理和地震預報問題有實際意義.根據(jù)潘立宙－陳沅俊和Evertson理論及彈性力學知識，分別建立了平面應力作用下體應變和面應變觀測的力學模型，推導了觀測鉆孔、空孔和無孔巖石體應變與面應變轉換系數(shù)的計算公式，發(fā)現(xiàn)它們都可以歸結為同一公式描述，差異僅在于k（體應變儀鋼筒內壁或無孔巖石面應變與空孔巖石面應變之比）的取值不同.用Evertson理論推導的公式與空孔巖石情形相近，當巖石彈性模量為4 ×1010—8×1010Pa時，二者都可以看成是對潘－陳公式的一種簡化、近似計算；無孔巖石的情況則相當于在巖石彈性模量為1×1010Pa時對該式的一種估計.文中結合實際情況對轉換系數(shù)的各種影響因素進行了詳細分析.

體應變 面應變 轉換系數(shù) 彈性模量 泊松系數(shù)

Abstract：This study aims at integrating the observational data recorded by borehole volume strainmeters and component borehole strainmeters on the area strain basis.This is helpful for current data evaluation，data processing and analysis，and earthquake prediction.Based on the Pan－Chen model（Pan；Chen and Yang），Evertson theory and theory of elasticity，both volume strain and area strain models were set up under area stress.In addition，we have derived similar formulas for calculating transform coefficient between volume strain and area strain in observation hole，empty hole and non－porous rock condition，respectively.The difference only lies in the factor k（ratio of volume strain gauge on the steel cylinder wall or non－porous rock surface strain to area strain of the empty hole rock）.The theoretical formula derived from Evertson model is close to the case of empty hole rock with the rock elastic modulus ranged from 4×1010Pa to 8×1010Pa.Both results may be regarded as a simplified Pan－Chen model.For non－porous rock，the factor k may be predicted by taking rock modulus as 1×1010Pa.This paper discussed some factors related to transform coefficient based on real observation data.

Key words：volume strain；area strain；transform coefficient；elastic modulus；Poisson coefficient

引言

鉆孔應變儀具有觀測精度高、響應頻帶寬和產出數(shù)據(jù)質量好等突出優(yōu)點，現(xiàn)已成為國際上地殼應變場觀測的主流儀器.該種儀器分為兩大類：一類是體應變儀，另一類是分量式應變儀.“十五”期間受美國“板塊邊界觀測計劃（PBO）”的激勵（張寶紅，2004，2010），中國地震局進行了大規(guī)模數(shù)字化地震觀測網絡建設，鉆孔應變儀作為重要的形變前兆觀測儀器開始了大發(fā)展時期，從2007年起陸續(xù)在全國許多臺站投入使用.據(jù)中國地震臺網中心前兆數(shù)據(jù)庫統(tǒng)計，TJ－2型體應變儀建立了80個測點，YRY－4型和RZB型分量式應變儀分別建立了40個和12個測點，主要分布在首都圈、山西地震帶、東南沿海和南北地震帶等重要地震監(jiān)測區(qū)，目前臺點還在不斷增加.如果根據(jù)有關數(shù)理模型（潘立宙，1981；陳沅俊，楊修信，1990），將體應變觀測數(shù)據(jù)轉換成面應變，分量式應變儀經過兩組相互垂直的測項加組合和校正（邱澤華等，2005a）也換算成面應變，就可以將這兩種應變儀測得的巖石面應變進行比較，這對解決鉆孔應變儀觀測數(shù)據(jù)的評估、分析、處理和地震預報問題有實際意義.目前，將體應變轉換成面應變的工作在國內外還基本是個空白，主要原因是以前使用的分量式應變儀比較少，中國大陸大約有8套，美、日兩國大約分別有4套和8套，因而當時開展這項研究工作沒有太大的實用價值.有關學者（蘇愷之等，2003；邱澤華，石耀霖，2004；邱澤華，2010；歐陽祖熙等，2009；牛安福等，2011）對國內外鉆孔應變儀的發(fā)展狀況已分別進行了系統(tǒng)的總結和闡述.近些年隨著分量式應變儀在中、美兩國的大量布設，體應變與面應變的轉換問題隨之提到議事日程，尤其是2008年汶川地震以后，如何將體應變觀測資料在地震監(jiān)測、預報中更加合理、有效地使用就愈發(fā)顯得重要和緊迫.

1 觀測井和儀器概況

目前，我國使用的鉆孔體應變儀分為兩種：一種是20世紀80年代中期從美國引進的Sacks－Evertson型（Sacks，Evertson，1971；劉瀾波等，1986），應變靈敏度可達1×10－11，井孔深度在250—400 m；另一種是國產TJ型，“九五”以后大量使用的是TJ－2型，它是在Sacks－Evertson型基礎上加以改進的產品（蘇愷之等，2003），其應變靈敏度達0.5×10－9，鉆孔深度一般在60—100 m.兩種探頭與井下巖石耦合均采用膨脹水泥固結方式，當巖石對儀器鋼筒產生擠壓作用時，筒內硅油的壓力會發(fā)生改變，通過波紋管或液壓傳感器的微小位移可測得體應變變化.

2 鉆孔應變觀測力學模型的建立

2.1 基于潘－陳理論建立的力學模型

設有一塊無限大的巖石平板，該平板在無窮遠處承受兩項均勻拉應力（σ1，σ2），平板中有一半徑為r3的井孔，安置其中的體應變儀鋼筒內半徑為r1，外半徑為r2，中間通過膨脹水泥與巖石耦合，因而鉆孔的實際情況為雙襯套結構.設鋼筒、水泥、巖石的彈性模量和泊松比分別為E1，ν1，E2，ν2，E3，ν3.假定鉆孔所處介質近似為各向同性彈性體，遵從虎克定律，且井口及井底對傳感器的影響可以忽略，鉆孔的軸向應力為0.在這種條件下，陳沅俊和楊修信（1990）根據(jù)潘立宙（1981）的工作進一步推導出鋼筒內壁上的面應變?yōu)?/p>

M1是與各層材料的彈性參數(shù)及半徑有關的一個常數(shù)，稱為測量系統(tǒng)的特征系數(shù)，其值為

x4由下列四元一次線性方程組確定

其中系數(shù)為

解得

將式（2）代入式（1），得

考慮到鋼筒、水泥和巖孔耦合的邊界條件，并忽略鋼筒形狀和尺寸等因素的影響，可以認為鋼筒沿其軸向的相對變化量近似等于其周圍巖體的軸向應變，即

則鉆孔體應變儀測得的體應變?yōu)?/p>

又知，在平面應力作用下，空孔巖石的徑向位移為（王仁，1979）

θ為任意方向孔徑與最大主應力之間的夾角，求得的徑向應變?yōu)?/p>

因為面應變等于任意兩組相互垂直的線應變之和（θ，θ＋90°），所以空孔巖石的面應變?yōu)?/p>

于是

該式表明k的物理含義是鋼筒內壁面應變與空孔巖石面應變之比.略作變換，有

將式（11）分別代入式（6）和式（10）

式（12）、式（13）就是在平面應力作用下，基于潘－陳理論建立的鉆孔面應變和體應變觀測的力學模型.

2.2 基于Evertson理論建立的力學模型

美國Sacks－Evertson體應變儀研制者之一Evertson（1977）總結出，在三向空間應力σ1，σ2，σ3作用下，探頭鋼筒內壁上的體應變可以寫成

式中，εV，εH分別是空孔垂直應變和面應變，0.9是平面應力作用下鋼筒內壁面應變（εm）與空孔巖石面應變（εm0）之比（精確值為0.87195），也就是前面所說的k值（k＝εm/εm0）.如果0.9用k表示，則式（14）可以改寫成

在平面應力作用下（σ3＝0），式（15）變?yōu)?/p>

其面應變?yōu)?/p>

式（16）、式（17）就是基于Evertson理論建立的鉆孔體應變和面應變觀測的力學模型.

2.3 兩組模型的比較

基于兩種理論建立的面應變和體應變的力學模型表述形式完全一樣，差異僅在于k的取值不同.一個是由潘－陳理論推導出的比較復雜的函數(shù)關系式k＝（x4E3）/E1；另一個是Evertson根據(jù)拉梅厚壁圓筒方程得出的常數(shù)0.87195，比較的焦點在于哪個k值更符合實際情況.將Sacks體應變井有關參數(shù)（E1＝19.6×1010Pa，ν1＝0.3；E2＝2×1010Pa，ν2＝0.35；r1＝54mm，r2＝57mm，r3＝76mm）代入k式，則k只與巖石彈性參數(shù)有關.圖1顯示k值并非常量，當E3不變時k與ν3近似呈線性關系，隨其增加而減?。划敠?不變時，k隨E3增加而增大；當E3＝1×1010—3×1010Pa時，k隨E3增加快速上升，幅度達到0.3525，之后速率逐漸減小，各條曲線相互靠近.Evertson理論假定，鋼的彈性模量（E1）是巖石（E3）的3倍（E1＝3E3），并且兩者的泊松系數(shù)（ν1＝ν3）相等.事實上，E1＝19.6× 1010Pa，ν1＝0.3，E3＝1×1010—8×1010Pa，ν3＝0.20—0.35，假設條件不是嚴格成立，尤其是E3波動范圍較大，因此模型只是通常情況下的平均估計，0.87195近似等于由圖1得到的平均k值（0.8453）.當巖石較軟，即E3＝1×1010—3×1010Pa時，兩數(shù)值明顯偏離很多.潘－陳模型考慮了各種因素對k值的影響，理論公式推導比較嚴格，不存在此類假設問題，從這個角度分析，潘－陳模型應更為合理.

圖1 鋼筒內壁面應變和空孔巖石面應變之比（k）與巖石彈性參數(shù)（E3，ν3）的關系Fig.1 Relation between the ratio of steel tube wall plane strain to strain outside a borehole in an infinite rock plate（k）and the rock elastic parameters（E3，ν3）

3 鉆孔體應變與面應變轉換系數(shù)的計算

根據(jù)式（12）、（13）或式（16）、（17），可以得到

式中，f是鉆孔體應變與面應變的轉換系數(shù)，利用這一關系可以將體應變測量值換算成面應變，從而可與分量式應變儀測得的面應變進行比較.

當k＝（x4E3）/E1時，就是基于潘－陳力學模型下的體應變與面應變的轉換系數(shù)

當k＝0.9時，就是基于Evertson力學模型下的體應變與面應變的轉換系數(shù)

將Sacks井有關參數(shù)代入式（20），以ν3為自變量、f1為因變量作曲線（圖2a），可知f1隨ν3增加而增大.當E3＝4×1010—8×1010Pa時，f1各條曲線近于重合；而由式（21）算得的f2曲線（虛線）也恰恰分布于這一區(qū)域，說明f2是f1的一種特殊情況.通常巖石的E3在4×1010—8×1010Pa，ν3在0.20—0.35，這時k值接近0.87195，f2≈f1，所以一般情況下f2可以取代f1，并且計算簡單，只涉及一個參數(shù).但當巖石較軟、易于發(fā)生彈性變形時，即E3＜3×1010Pa，f2與f1誤差較大.國產體應變儀研制者蘇愷之等（2003）給出了TJ－2型體應變觀測井的有關參數(shù)，E1＝21×1010Pa，ν1＝0.3；E2＝3×1010Pa，ν2＝0.25；r1＝42mm，r2＝44.5mm，r3＝65mm，將這些參數(shù)代入式（20），同樣可以做出類似圖2a的曲線（圖2b），只是k值略小、f1值略大.

圖2 兩種體應變儀的f1與f2（圖中4與8之間的虛線）比較（a）Sacks－Evertson型；（b）TJ－2型Fig.2 Comparison between f1and f2（dashed line in two figures）for two kinds of borehole volume strainmeters（a）Sacks－Evertson type；（b）TJ－2 type

根據(jù)寶坻等臺巖石彈性參數(shù)實際測定結果，分別對各臺站f1和f2進行計算（表1）.昌平臺k值明顯偏小，導致f1大于f2，E3過小是造成這種差距的主要原因；其余6個臺站k值與0.87195比較接近，因而求得的f2值與f1誤差較小.

表1 用兩個公式計算的實際臺站體應變與面應變轉換系數(shù)的對比Table 1 Comparison between conversion factors from volume to area strain estimated by two formulas for several stations

4 鉆孔體應變與面應變轉換系數(shù)的影響因素分析

4.1 與巖石彈性參數(shù)的關系

圖2b表明f1隨ν3的增加而增大，隨E3的增加而減小，說明巖石的剛度越小、橫向變形越大，體應變與面應變的轉換系數(shù)越大；當E3＝1×1010—2×1010Pa時，f1隨ν3的增加上升速率很快，之后速率迅速減?。划擡3＝4×1010—8×1010Pa時，f1各曲線接近線性，且近于重合.一般實測鉆孔巖石E3＝4×1010—8×1010Pa，ν3＝0.25—0.32，則f1＝1.138—1.226，f2＝1.167—1.224，平均值f1＝1.182，f2＝1.195.

4.2 與膨脹水泥彈性參數(shù)的關系

假定巖石的彈性參數(shù)不變，取E3＝5×1010Pa，ν3＝0.25，分析f1與E2，ν2的關系.圖3表明，f1隨ν2的增加而減小，隨E2的增加而增大，且基本呈線性關系，即水泥剛度越大、橫向變形越小，體應變與面應變的轉換系數(shù)越大.一般E2＝2×1010Pa（水泥較稀）—3.5×1010Pa（水泥較硬），ν2＝0.25—0.35.水泥彈性參數(shù)發(fā)生變化時，f1＝1.167—1.157，最大改變量是0.01，說明膨脹水泥對體應變與面應變轉換系數(shù)的影響不是很大.

圖3 轉換系數(shù)（f1）與膨脹水泥彈性參數(shù)（E2，ν2）的關系Fig.3 Relation between conversion factor（f1）and elastic parameters（E2，ν2）of expanding cement

4.3 與儀器鋼筒半徑和鉆孔孔徑的關系

兩代TJ型體應變儀鋼筒內半徑變化范圍是r1＝42—54mm，外半徑r2＝44—57mm，鉆孔半徑r3＝55—75mm，若保持n＝r2/r1＝1.060不變（蘇愷之等，2003），則由式（19）可做出圖4.f1與r1近似呈線性關系，隨其增大而增大，在1.164—1.174之間變化；f1與r3呈非線性關系，隨其增大而減小，在1.161—1.173之間變化.可見，r1和r3增減對f1最多影響0.01.

圖4 轉換系數(shù)（f1）與儀器鋼筒半徑（r1）（a）和鉆孔孔徑（r3）（b）的關系Fig.4 Relation between conversion factor（f1）and strainmeter steel tube radius（r1）（a）and borehole radius（r3）（b）

5 空孔巖石體應變與面應變轉換系數(shù)的計算

根據(jù)式（9）可知，在平面應力作用下空孔巖石的面應變?yōu)?/p>

又根據(jù)式（5）可知，空孔巖石體應變?yōu)?/p>

故體應變與面應變的轉換系數(shù)為

顯然，f0也可以寫成式（18）的形式，只是這時k＝1.

6 完整的無孔巖石體應變與面應變轉換系數(shù)的計算

在平面應力作用下，無孔巖石的線應變有

其面應變?yōu)?/p>

體應變?yōu)?/p>

故體應變與面應變的轉換系數(shù)為

說明fw同樣也可以寫成式（18）形式，這時k＝（1－ν3）/2，其物理含義是巖石面應變與空孔巖石面應變之比.如果取ν3＝0.25，則fw＝1.5，故εT＝2εm/3，2/3就是由面應變固體潮理論值計算體應變固體潮理論值時常用的轉換系數(shù).

7 三組體應變與面應變轉換系數(shù)之間的比較

圖5顯示fw與ν3呈非線性關系，隨其增加而增大，并且當ν3＞0.32后速率明顯加快.與圖2b比較，fw曲線類似于E3＝1×1010Pa時f1的情況.當ν3＝0.2—0.32時，fw與f1近于重合，之后兩曲線差距才逐漸拉大；f2與f0曲線很接近，數(shù)值平均比f0大0.032，兩者都可以近似看成是E3＝4×1010—8×1010Pa時f1的特殊情況.

圖5 三種體應變與面應變轉換系數(shù)的對比Fig.5 Comparison between three conversion factors from volume to area strain in crustal strain observation

8 討論與結論

無論是地殼觀測鉆孔、空孔還是無孔巖石，其體應變與面應變的轉換系數(shù)都可以表述成fi＝1/［1－ν3/（2k）］的形式（i＝1，2，0，w），k的物理意義是儀器鋼筒內壁面應變或無孔巖石面應變與空孔巖石面應變之比.

1）當k＝（x4E3）/E1，且觀測鉆孔有關參數(shù)（r1，r2，r3，E1，E2，ν1，ν2）為定值時，k只與巖石彈性模量（E3）和泊松系數(shù)（ν3）有關，為一變量，f1就是基于潘立宙－陳沅俊力學模型推導出的鉆孔體應變與面應變轉換系數(shù)的計算式.

2）當k＝0.87195時，f2就是基于Evertson力學模型推導出的鉆孔體應變與面應變轉換系數(shù)計算式.0.87195近似等于用k＝（x4E3）/E1公式計算得到的平均k值，f2相當于E3＝4×1010—8×1010Pa時f1的一種特殊情況.當E3＜3×1010Pa時f2與f1誤差較大，這主要是源于“鋼的彈性模量是巖石的3倍，并且二者的泊松系數(shù)相等”的假定.因此，f2不夠準確、全面地反映實際情況，它是在一般情況下對f1的一種近似、簡化計算.

3）當k＝1時，f0是空孔巖石體應變與面應變轉換系數(shù)的計算式.f0與f2曲線很接近，但數(shù)值略小.

4）當k＝（1－ν3）/2時，fw是無孔巖石體應變與面應變轉換系數(shù)的計算式.在E3＝1 ×1010Pa，ν3＝0.2—0.32時，fw與f1曲線比較接近.

5）fi公式是在平面應力作用下推導出來的，對潮汐觀測研究完全適用，但當巖石平板存在垂直向應力時（如大氣壓）需要另作考慮.大氣壓對鉆孔應變觀測是一個不間斷的長期干擾源，這是今后在進行臺站數(shù)據(jù)處理時需要深入加以研究的問題，如作潮汐分析以前要首先排除日波、半日波氣壓的干擾.已知氣壓影響系數(shù)與氣壓周期、鉆孔深度和巖石彈性參數(shù)等因素有關（張凌空等，2011），下一階段的任務是如何以現(xiàn)有的氣壓干擾模型為基礎，進一步推導在三向空間大氣壓力作用下體應變與面應變轉換系數(shù)的計算式.美國實施PBO計劃后，近年來在西部地區(qū)已安裝了80多臺GTSM型分量式鉆孔應變儀，Roeloffs（2010）對華盛頓、俄勒岡和南加州12個臺站的資料進行了分析，發(fā)現(xiàn)應變儀4個分量元件對氣壓變化的響應范圍約在1.5×10－9—11.7×10－9hPa，這與中國和日本體應變儀（蘇愷之等，2003；未廣重二，1979）的觀測結果大體一致.隨著體應變儀和分量式應變儀觀測資料的不斷積累，中美兩國今后都應加強兩種應變儀面應變觀測資料的比對研究，深入分析二者之間的共性和細節(jié)上的差異，并做出合理解釋.

6）當儀器鋼筒、膨脹水泥和鉆孔的有關參數(shù)確定后，f1只與巖石彈性模量E3和泊松系數(shù)ν3有關，f1隨ν3的增加而增大，隨E3的增加而減小，并且在E3＜3×1010Pa時對f1影響很大；當膨脹水泥的彈性模量E2和泊松系數(shù)ν2有變化，而其它參數(shù)確定后，f1隨ν2的增加而減小，隨E2的增加而增大，并且對f1的最大改變量是0.01；若保持鋼筒的內外半徑比不變，則f1隨內半徑r1增大而增大，隨孔徑r3增大而減小，并且二者對f1最大影響量都是0.01.

7）體應變轉換成面應變后還不能直接與其它臺站的面應變資料進行比較（除非它們的觀測條件相近），還需要求出各自的耦合系數(shù)（理論觀測面應變/無孔巖石面應變＝2k/（1－ν3）），再將實測面應變除以耦合系數(shù)就得到真實的巖石面應變，這一步又稱作面應變觀測的實地絕對標定（邱澤華等，2005b），至此各臺站之間的面應變才具有絕對的可比性.

8）井下探頭附近巖石彈性參數(shù)的測定是一項非常重要的基礎工作，不僅鉆孔體應變與面應變的轉換系數(shù)計算要用到它，而且二者的耦合系數(shù)計算也要用到它.目前除少數(shù)臺站外大部分臺站還沒有開展這項工作，這是今后需要專項基金給與大力支持的科研項目.

邱澤華研究員和審稿專家對本文進行了認真審閱，并提出了建設性的修改意見，在此謹致誠摯謝意.

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Conversion factors from volume to area strain in crustal strain observation

Zhang Lingkong1），Niu Anfu1）Wu Lijun2）
1）China Earthquake Networks Center，Beijing 100045，China
2）Institute of Earthquake Science，China Earthquake Administration，Beijing 100036，China

10.3969/j.issn.0253－3782.2012.04.005

P315.72＋7

A

地震行業(yè)科研專項（201108009）資助.

2011－08－24收到初稿，2011－12－23決定采用修改稿.

e－mail：zhll1023＠163.com

張凌空，牛安福，吳利軍.2012.地殼應變場觀測中體應變與面應變轉換系數(shù)的計算.地震學報，34（4）：476－－486.

Zhang Lingkong，Niu Anfu，Wu Lijun.2012.Conversion factors from volume to area strain in crustal strain observation.Acta Seismologica Sinica，34（4）：476－－486.