姚慧麗，張琳琳

(哈爾濱理工大學(xué))

0 引言

非線性微分方程在實(shí)際問(wèn)題中有著許多應(yīng)用，如物理學(xué)中的機(jī)械振動(dòng)，電力學(xué)理論等等，正因如此，多年來(lái)，很多科學(xué)工作者研究了此類方程的各種解的存在性，穩(wěn)定性，收斂性［1-4］，文獻(xiàn)［5］對(duì)于方程(1)的概周期解的存在性問(wèn)題進(jìn)行了討論.該文主要運(yùn)用Banach不動(dòng)點(diǎn)定理和漸近概周期函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)討論了三階非線性微分方程

的漸近概周期解的存在性與唯一性.

設(shè)k1，k2為常數(shù)，令

則方程(1)可轉(zhuǎn)化為以下方程

1 預(yù)備知識(shí)

該文R為實(shí)數(shù)集，C(R)表示R上的有界連續(xù)函數(shù)的全體.

定義1.1 稱f(t)∈C(R)為概周期函數(shù)是指對(duì)于任意的ε＞0，存在一個(gè)實(shí)數(shù)lε＞0，對(duì)長(zhǎng)度為lε的任意區(qū)間都包含一個(gè)常數(shù)τ，使得|f(t)-f(t+τ)|＜ε，用AP(R)來(lái)表示此類函數(shù)的全體.

定義1.2 稱f為漸近概周期的，是指f可以寫(xiě)成

用AAP(R)表示這樣函數(shù)的全體.其中C0(R)=

引 理 2.1［6］如 果f∈AAP(R)，F(xiàn)∈AAP(R)，則f(F(·)，·)∈AAP(R).

2 主要結(jié)果

首先假設(shè)以下條件成立:

(H1)a(t)為 R上的概周期函數(shù);b(t)，p(t)，τ(t)，g1和g2均為R上的漸近概周期函數(shù).

(H2)存在常數(shù)L1≥0，L2≥0，k1＞1，k2＞1，k3＞0，使得

定理2.1 設(shè)(H1)，(H2)成立，則方程(3)存在唯一一個(gè)漸近概周期解.

證明 令X={φ=(φ1(t)，φ2(t)，φ3(t))}，其中φi(i=1，2，3)為R上的漸近概周期函數(shù)，則X為 Banach空間，且 ‖φ‖X=

引入輔助方程

這里φ(t)=(φ1(t)，φ2(t)，φ3(t))∈X，a(t)為概周期函數(shù);b(t)，p(t)，τ(t)，g1和g2均為漸近概周期函數(shù)，根據(jù)文獻(xiàn)［7］知輔助方程(4)有如下形式的解，

下面證明此解Xφ(t)為漸近概周期的:

因?yàn)棣読(i=1，2，3)為漸近概周期函數(shù)，則令φ1(s)=h1(s)+φ1(s)，φ2(s)=h2(s)+φ2(s)，φ3(s)=h3(s)+φ3(s)，其中h1，h2，h3∈AP(R)，φ1，φ2，φ3∈C0(R)，xφ(t)=

因?yàn)棣?(s)∈C0(R)，所以對(duì)任意的ε＞0，存在T1＞0，使得當(dāng)|s|＞T1時(shí)，有|φ2(s)|＜ε.又因?yàn)?0(c為常數(shù))，所以存在T2＞0，當(dāng)t＞T2時(shí)，有.取T=max{T1，T2}，因?yàn)棣?(s)為有界函數(shù)，所以當(dāng)s∈［-T，T］時(shí)，存在M＞0，使得|φ2(s)|≤M.

(1)t＞T時(shí)

為漸近概周期的.

因?yàn)棣読(i=1，2，3)，b(t)，p(t)為漸近概周期函數(shù)，則令φ1(s)=h1(s)+φ1(s)，φ2(s)=h2(s)+φ2(s)，b(s)=α(s)+β(s)，p(s)=γ(s)+η(s)，其中h1(s)，h2(s)，α(s)，γ(s)∈AP(R)，φ1(s)，φ2(s)，β(s)，η(s)∈C0(R)，又因?yàn)間1，g2，τ(t)是漸近概周期的，所以由引理1.1知g1(s，φ1(s))，φ2(s-τ(s))是漸近概周期的，g2(s，φ1(s-τ(s)))是漸近概周期的，記Ⅰ1(s)=g1(s，φ1(s))=λ(s)+μ(s)，Ⅰ2(s)=g2(s，φ1(s-τ(s)))=ω(s)+ζ(s)，其中λ(s)，ω(s)∈AP(R)，μ(s)，ζ(s)∈C0(R)，則

由(H2)-(iii)知L2，所以

因?yàn)棣?(s)∈C0(R)，所以對(duì)任意的ε0，存在T1＞0，對(duì)任意的|s|＞T1，有|φ1(s)|＜ε.

取T=max{T1，T2}，因?yàn)閟∈［-T，T］時(shí)，φ1(s)為有界函數(shù)，所以存在M＞0，使得

因?yàn)閍(s)，α(s)∈AP(R)，所以-(a(s)-，所以+α(s)k1為有界函數(shù)，所以對(duì)任意的s∈R，存在

N＞0，使得

①t＞T時(shí)

②t＜-T時(shí)

綜合①②可知

類似可證明Z2(t)中余下的八項(xiàng)所表達(dá)的函數(shù)都屬于C0(R).

則zφ(t)是漸近概周期的.

由(1)，(2)，(3)可知，輔助方程(4)的解為漸近概周期的.

定義映射Φ:X→X

設(shè)φ，ψ∈X，根據(jù)條件(H2)，有，

由條件(H2)知r＜1，即映射Φ:X→X為壓縮映射.根據(jù)Banach不動(dòng)點(diǎn)定理知Φ在X上存在唯一的不動(dòng)點(diǎn)v，即Φv=v，由式(5)知v是方程(3)的漸近概周期解.

［1］ Afuwape A U，Omari P，Zanolin F.Nonlinear Perturbations of differential Operators with nontrivial kernel and applications to third-order periodic boundary problem.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1989，143:35-56.

［2］ Andres J.Periodic boundary value problem for certain nonlinear differential equation of the third order.Mathematica Slovaca，1985，35:305-309.

［3］ Fridedrichs K O.On nonlinear vibrations of the third-order，Studies in Nonlinear Vibrations Theory.Institution Mathematic and Mechine，New York Universtity，1949.

［4］ Rauch L L.Oscillations of a third order nonlinear autonomous system in:Contributions to the Theory of Nonlinear Oscillations.Annal of Mathematical Study，1950(20):39-88.

［5］ 易學(xué)軍.幾類泛函微分與差分方程的收斂性.湖南大學(xué):博士論文，2009.

［6］ Zhang C.Almost Periodic Type Functions and Ergodicity［M］.Science Press/Kluwer Academic Publish，2003.1-70.

［7］ 丁同仁.常微分方程定性方法的應(yīng)用.北京:高等教育出版社，2004.155-163.

［8］ 易泰山，黃立宏.關(guān)于Bernfeld-Haddock猜想的推廣形式及其證明.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2007，50(2):261-270.