李 杰，李文培, ，施存程, ，王德榮，范鵬賢

（1. 解放軍理工大學(xué) 爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210007；2. 海軍工程設(shè)計(jì)研究局，北京 100070；3. 第二炮兵指揮學(xué)院 五系，武漢 430012）

1 引 言

地下工程的應(yīng)力、應(yīng)變狀態(tài)分析是巖土力學(xué)的一個(gè)基本問題，是隧道、采礦通道以及鉆井等工程初步設(shè)計(jì)的重要依據(jù)，也是驗(yàn)證數(shù)值結(jié)果及軟件的重要方法。過去許多研究者從不同的巖體力學(xué)特性得出許多圓形洞室的解析解[1－5]。這些力學(xué)特性包括相關(guān)和不相關(guān)塑性流動(dòng)法則、應(yīng)變軟化、脆性、黏性、剪脹和構(gòu)造缺陷等。廣泛使用的材料模型有彈性-理想塑性模型、彈-脆-塑性模型、彈性-應(yīng)變軟化模型等，此外用分段曲線逼近實(shí)測(cè)巖石應(yīng)力-應(yīng)變?nèi)緲?gòu)曲線也是一種途徑[6]。應(yīng)用較廣泛的屈服或破壞準(zhǔn)則有Mohr-Coulomb準(zhǔn)則、Hoek-Brown強(qiáng)度準(zhǔn)則、Drucker-Prager強(qiáng)度準(zhǔn)則和統(tǒng)一強(qiáng)度理論等[5, 7－10]。

巖石內(nèi)包含各種尺度的孔隙、微裂縫甚至裂縫等缺陷，并不均勻連續(xù)，特別在峰后出現(xiàn)剪切應(yīng)變局部化現(xiàn)象，位移場(chǎng)將出現(xiàn)間斷。文獻(xiàn)[11]采用光滑函數(shù)組合來描述巖石間斷位移場(chǎng)變形特征并得出相應(yīng)控制方程。將其應(yīng)用于圓形坑道開挖中，考慮滑移面上不同的應(yīng)力-滑移關(guān)系，研究了圓形坑道圍巖穩(wěn)定性問題[12－13]。文獻(xiàn)[14]給出一個(gè)非連續(xù)平面應(yīng)變彈塑性模型，并用Fortran語言編寫局部剪切變形有限元程序，通過簡(jiǎn)單算例與傳統(tǒng)連續(xù)介質(zhì)理論彈性結(jié)果進(jìn)行比較。但這種比較還不充分，需推導(dǎo)一種非連續(xù)模型彈塑性解析解來進(jìn)一步比較驗(yàn)證。

本文引入圓形洞室非連續(xù)數(shù)學(xué)模型[12－13]，推導(dǎo)得到開挖后應(yīng)力狀態(tài)的非連續(xù)表達(dá)式。研究了圍巖的應(yīng)力分區(qū)情況并得到了各分區(qū)中應(yīng)力值。通過引入邊界條件來確定荷載參數(shù)，解決了荷載參數(shù)不確定的問題。進(jìn)一步根據(jù)圍巖中應(yīng)力分布狀態(tài)確定荷載參數(shù)取值范圍，并得出圍巖應(yīng)力分布圖。將其與研編的有限元程序數(shù)值解比較驗(yàn)證。該解析考慮了巖石變形破壞的物理本質(zhì)，可作為工程設(shè)計(jì)的依據(jù)以及數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證的方法。

2 圓形洞室非連續(xù)數(shù)學(xué)模型

陳士林等[12]將巖石滑移線上的非線性本構(gòu)關(guān)系應(yīng)用于圓形洞室圍巖的計(jì)算中，結(jié)合平面應(yīng)變極坐標(biāo)的動(dòng)量守恒方程，利用對(duì)稱原理得出了在極坐標(biāo)系（r,θ ）下圓形洞室的計(jì)算模型：

進(jìn)而利用該模型推導(dǎo)得出了圓形洞室圍巖應(yīng)力狀態(tài)非連續(xù)解為：

洞室開挖后，原始圍巖中的應(yīng)力平衡被破壞，其應(yīng)力狀態(tài)將發(fā)生巨大改變，通過變形圍巖應(yīng)力逐步向洞室圍巖深處轉(zhuǎn)移，并且最后達(dá)到一個(gè)新的平衡。圖1給出了洞室圍巖應(yīng)力狀態(tài)分布示意圖，圖中為洞室半徑，為塑性軟化區(qū)半徑，為殘余強(qiáng)度區(qū)半徑，為未擾動(dòng)區(qū)域巖石初始地應(yīng)力。

圖1 圍巖應(yīng)力狀態(tài)分區(qū)Fig.1 Distribution of stress state for surrounding rock

對(duì)式（1）進(jìn)行積分變換可得

由式（4）可確定函數(shù)τ(r,p)，滑移量δ(τ)具有長(zhǎng)度量綱，需要通過試驗(yàn)確定。應(yīng)力–滑移量的變化規(guī)律與外摩擦的變化規(guī)律近似，可以應(yīng)用研究外摩擦的類似方法間接地確定應(yīng)力–滑移量圖[16]。

當(dāng)圍巖的剪切應(yīng)力-滑移關(guān)系如圖2所示時(shí)，結(jié)合式（4）可得到應(yīng)力狀態(tài)分區(qū)半徑分別為

從圖1中可以看出，隨著荷載參數(shù)的變化，洞室圍巖可以出現(xiàn)3個(gè)不同的分區(qū)：彈性區(qū)、塑性軟化區(qū)以及殘余強(qiáng)度區(qū)。利用式（4）結(jié)合圖2可得到應(yīng)力表達(dá)式：

圖2 剪切應(yīng)力與滑移的關(guān)系Fig.2 Relationship between shear stress and slip

由式（6）～（8）可見，剪切應(yīng)力τ =τ（ r, p ）是一個(gè)不定值，隨著距圓形洞室中心的距離而變化，并受荷載參數(shù)p的影響，不同的荷載參數(shù)決定圍巖處于何種應(yīng)力狀態(tài)。

為了分析方便引入無量綱參數(shù)：

洞室挖只影響到周圍一定范圍內(nèi)的巖石，這部分巖石簡(jiǎn)稱為圍巖，圍巖以外的巖石仍保持原始應(yīng)力狀態(tài)。在這里圍巖的半徑用R 表示，大量研究表明，洞室開挖的影響主要集中在10倍開挖半徑范圍內(nèi)，超出這個(gè)范圍，開挖的影響很小，可忽略。因此，可假定圍巖深部應(yīng)力為原始地應(yīng)力作為邊界條件。即

利用無量綱參數(shù)可將式（5）轉(zhuǎn)化為：

由式（11）可知，洞室圍巖殘余區(qū)和軟化區(qū)半徑不僅和巖石的性質(zhì)有關(guān)，還取決于荷載參數(shù)λ。

3 圓形洞室圍巖應(yīng)力狀態(tài)非連續(xù)解析

下面將對(duì)圓形洞室圍巖應(yīng)力狀態(tài)非連續(xù)解進(jìn)行分析。在深部條件下，圍巖初始?jí)毫艽螅@樣體積力影響就相對(duì)較小，故忽略體積力Xr的影響，同時(shí)令這樣式（2）可簡(jiǎn)化為：

在這里只考慮開挖后圍巖不支護(hù)的情況，此時(shí)圍巖的內(nèi)壓力為0，即 σrr(r0)= 0。

3.1 只出現(xiàn)彈性應(yīng)力狀態(tài)情況

當(dāng)0 ≤ λ＜m2，此時(shí)有 r1＜r0，說明洞室圍巖處于完全彈性狀態(tài)，

將式（13）代入到式（12）中可得出該條件下圍巖的應(yīng)力狀態(tài)為：

在式（14）中荷載參數(shù)λ是未知的，需要通過邊界條件來確定。

下面通過一個(gè)算例來說明問題，在初始地應(yīng)力為20 MPa的巖石中開挖一個(gè)半徑為2 m的圓形洞室。剪切模量μ=5 GPa，泊松比ν=0.3，初始剪切強(qiáng)度τ1=7.5 MPa，殘余剪切強(qiáng)度τ4=1.5 MPa，滑移 長(zhǎng) 度k1=0.05 m， k2= μ/ （1- ν ）τ1， 重 度 γ=25 kN/m3。

計(jì)算可知，圍巖的徑向和法向應(yīng)力都出現(xiàn)了集中，集中系數(shù)為2.0，與彈性理論解符合。隨距洞室中心距離的增大，圍巖中應(yīng)力漸接近初始應(yīng)力狀態(tài)。

3.2 出現(xiàn)兩個(gè)應(yīng)力狀態(tài)分區(qū)情況

（1）在軟化區(qū)， r0≤ r＜r1，此時(shí)有：

將式（15）代入式（12）得到

（2）在彈性區(qū)， r1≤ r ，此時(shí)有

將式（18）代入式（12）得到

采用前算例，參數(shù)不變，可得到圍巖中僅存軟化區(qū)和彈性區(qū)時(shí)應(yīng)力狀態(tài)。圖3為圍巖分為軟化區(qū)和彈性區(qū)時(shí)的應(yīng)力隨距離變化圖。從圖中可知，徑向應(yīng)力σrr在洞室周圍減小為0，隨著距離的增大逐漸回復(fù)到原始應(yīng)力；環(huán)向應(yīng)力σθθ在洞室周圍有松弛，逐步向圍巖深處轉(zhuǎn)移，在軟化區(qū)和彈性區(qū)交接面上達(dá)到最大，約為1.4倍初始應(yīng)力，在彈性區(qū)又逐步減小到初始應(yīng)力大小。

圖3 洞室圍巖比例應(yīng)力隨圍巖深度變化圖Fig.3 Variations of proportional stresses vs. depth of surrounding rock around circular opening

3.3 出現(xiàn)3個(gè)應(yīng)力狀態(tài)分區(qū)情況

（1）在 r0≤ r＜r4區(qū)域內(nèi)為殘余強(qiáng)度區(qū)，此時(shí)有

將式（21）代入式（12）得到

（2）在 r4≤ r＜r1區(qū)域內(nèi)變成軟化區(qū)，有

將式（23）代入式（12）得到

（3）在 r1≤ r 區(qū)域內(nèi)為彈性區(qū)，此時(shí)有

將式（23）代入式（12）得到

同樣，圖4為洞室圍巖分為3個(gè)區(qū)時(shí)的圍巖應(yīng)力隨距離變化圖。從圖中可以看出，3個(gè)分區(qū)的應(yīng)力連續(xù)。在殘余強(qiáng)度區(qū)，圍巖的徑向和環(huán)向應(yīng)力都很小，說明此處圍巖處于一個(gè)十分不利的條件，將產(chǎn)生異常的變形，必須及時(shí)采取相應(yīng)的工程處理措施。在軟化區(qū)內(nèi)，徑向應(yīng)力σrr在隨著距洞室中心距離的增大逐漸回復(fù)，達(dá)到 0.7σ0；環(huán)向應(yīng)力σθθ也逐步變大，在軟化區(qū)和彈性區(qū)交接面上達(dá)到最大，約為1.4倍初始地應(yīng)力。在彈性區(qū)兩個(gè)方向的應(yīng)力都逐步回復(fù)到初始應(yīng)力大小。

圖4 洞室圍巖比例應(yīng)力隨圍巖深度變化圖Fig.4 Variations of proportional stresses vs. depth of surrounding rock around circular opening

4 比較與討論

通過前面的分析可知，荷載系數(shù)λ對(duì)圍巖的應(yīng)力狀態(tài)影響很大，不同的荷載系數(shù)決定了洞室圍巖出現(xiàn)幾個(gè)分區(qū)。而真實(shí)條件下，圍巖只可能處于一個(gè)特定的應(yīng)力狀態(tài)。由工程實(shí)際可知，洞室開挖后，圍巖中應(yīng)力轉(zhuǎn)移是一個(gè)漸進(jìn)的過程。沒有開挖前都處于彈性狀態(tài)；開挖后，在開挖表面應(yīng)力卸載，洞室周圍逐漸進(jìn)入軟化區(qū)，當(dāng)荷載足夠大的情況下，洞室周圍會(huì)進(jìn)入到殘余強(qiáng)度狀態(tài)。

文獻(xiàn)[12－13]研究表明：隨著荷載系數(shù)λ的變化，洞室圍巖中將出現(xiàn)不同的應(yīng)力狀態(tài)分區(qū)，應(yīng)力也逐步向圍巖深處轉(zhuǎn)移，相應(yīng)的圍巖自身承載能力也將發(fā)生變化。圍巖自身承載能力的無量綱化表達(dá)式可以寫成：

對(duì)上述3種不同情況分別計(jì)算T并對(duì)λ求導(dǎo)，可以得到當(dāng)λ的取值在范圍內(nèi)時(shí)，函數(shù)T(λ)有惟一的最大值T(λ*)，此時(shí) r4＜r0＜r1，說明洞室圍巖中沒有殘余強(qiáng)度區(qū)出現(xiàn)，只有彈性區(qū)和軟化區(qū)。因此，在圍巖初始應(yīng)力狀態(tài)沒有超過圍巖的最大自身承載能力之前，可以認(rèn)為，此時(shí)圍巖不會(huì)出現(xiàn)殘余強(qiáng)度區(qū)。殘余強(qiáng)度區(qū)的出現(xiàn)只能是在圍巖外部荷載超過圍巖最大自身承載能力的情況，此時(shí)應(yīng)力進(jìn)一步向圍巖深部轉(zhuǎn)移，而圍巖的承載能力卻有一定降低，這樣就形成了一個(gè)不穩(wěn)定的狀態(tài)，即沒有外部能量的輸入，變形也將繼續(xù)開展。因此，在外部荷載沒有達(dá)到圍巖自身最大承載能力之前，式（19）、（20）能夠表示當(dāng)前的應(yīng)力狀態(tài)。

通過一個(gè)簡(jiǎn)單算例將編寫的有限元程序與非連續(xù)解析解相互比較驗(yàn)證。巖石中開挖一個(gè)半徑為2.5 m的圓形洞室。剪切模量μ=5 GPa，泊松比ν=0.3，初始剪切強(qiáng)度τ1=7.5 MPa，殘余剪切強(qiáng)度τ4=1.5 MPa，滑移長(zhǎng)度k1=0.05m，k2=μ/ （1- ν）τ1，重度γ=25 kN/m3。利用式（19）、（20）能夠計(jì)算出此時(shí)圓形洞室圍巖應(yīng)力狀態(tài)解析解。

根據(jù)非連續(xù)解析解算例的輸入數(shù)據(jù)反推得出有限元程序的巖石參數(shù)。從圖2中可知，初始黏聚力τ0=τ1， 殘 余 黏 聚 力 τr=τ4， 卸 載 模 量Eu=(τ4-τ1)/k1，其他具體參數(shù)見表1中。

表1 計(jì)算所采用巖石參數(shù)Table 1 Parameters for rock

圖5為有限元程序的數(shù)值解與非連續(xù)解析解比較圖。從圖中可以看出，數(shù)值解和解析解較一致。兩種結(jié)果在孔洞周圍的應(yīng)力軟化區(qū)半徑幾乎相同，這種表象的應(yīng)力軟化的根源是滑移面上因剪切力超過了巖石的剪切強(qiáng)度而產(chǎn)生沿滑移面的滑移。應(yīng)力軟化區(qū)圍巖已經(jīng)發(fā)生了剪切滑移破壞，處于峰后變形狀態(tài)，但由于殘余黏結(jié)強(qiáng)度及調(diào)動(dòng)起來的摩擦作用，還具有一定的承載能力。在應(yīng)力軟化區(qū)的外圍是彈性區(qū)，由于邊界的影響，徑向應(yīng)力在邊界附近有很小的誤差，可忽略。在軟化區(qū)和彈性區(qū)交接面上環(huán)向應(yīng)力最大，都約為1.4倍初始地應(yīng)力。

推導(dǎo)的圓形洞室周圍應(yīng)力狀態(tài)解析解中荷載參數(shù)是不確定的，而荷載參數(shù)控制著應(yīng)力分區(qū)以及各分區(qū)中應(yīng)力值。本文通過引入邊界條件來確定其中的荷載參數(shù)，解決了荷載參數(shù)不確定的問題，并且得到了不同荷載參數(shù)范圍的洞室開挖后應(yīng)力分布圖。深入分析得知，在沒有超過圍巖的極限承載能力時(shí)開挖后圍巖應(yīng)力狀態(tài)為第2種。采用這個(gè)應(yīng)力狀態(tài)解析解比較驗(yàn)證了有限元程序數(shù)值解。

圖5 數(shù)值解與解析解比較Fig.5 Comparison between analytical solution and numerical solution

5 結(jié) 論

（1）荷載參數(shù)控制著應(yīng)力分區(qū)以及各分區(qū)中的應(yīng)力值。通過引入邊界條件來確定其中的荷載參數(shù)，解決了荷載參數(shù)不確定的問題。

（2）根據(jù)圍巖中應(yīng)力分布狀態(tài)確定了荷載參數(shù)取值范圍，并得出不同荷載參數(shù)范圍內(nèi)的洞室開挖后圍巖應(yīng)力分布圖。采用剪切應(yīng)力滑移模型來表示巖石的軟化十分適合，不僅可在宏觀上體現(xiàn)巖石的應(yīng)力軟化力學(xué)特性，而且能更好地刻畫巖石變形破壞的物理本質(zhì)。

（3）將推導(dǎo)的圓形洞室開挖后圍巖應(yīng)力分布解析解與局部剪切應(yīng)變二維有限元程序數(shù)值解進(jìn)行了比較驗(yàn)證，一致性較好。

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