張登奇, 張 璇

(1. 湖南理工學(xué)院 信息與通信工程學(xué)院, 湖南 岳陽 414006; 2. 湖南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 長沙 410082)

連續(xù)時間系統(tǒng)的s域分析及MATLAB實現(xiàn)

張登奇1, 張 璇2

(1. 湖南理工學(xué)院 信息與通信工程學(xué)院, 湖南 岳陽 414006; 2. 湖南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院, 長沙 410082)

微分方程是描述連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 求解響應(yīng)是系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容. 直接求解微分方程概念清楚、方法直觀但計算量大, 利用拉普拉斯變換間接求解微分方程是求解響應(yīng)的有效方法. 文章以拉普拉斯變換為基礎(chǔ), 介紹了s域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的原理和方法, 列舉了MATLAB實現(xiàn)的程序.

連續(xù)時間系統(tǒng); 拉普拉斯變換;s域分析; MATLAB

引言

微分方程是描述線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型, 求解響應(yīng)是分析連續(xù)時間系統(tǒng)的重要內(nèi)容.直接求解微分方程的齊次解和特解是經(jīng)典的求解方法, 求得的齊次解與自由響應(yīng)對應(yīng), 特解與強迫響應(yīng)對應(yīng). 經(jīng)典法求解微分方程概念清楚、方法直觀、便于理解, 但初始條件的計算和求解高階微分方程都非常麻煩. 以拉氏變換為數(shù)學(xué)工具, 把系統(tǒng)輸入的時域信號和描述系統(tǒng)的微分方程進行變換, 在s域求解系統(tǒng)響應(yīng)的象函數(shù), 再將象函數(shù)逆變成響應(yīng)原函數(shù), 這種s域分析方法將時域微分方程簡化成s域代數(shù)方程求解, 且無需計算初始條件, 是分析連續(xù)時間系統(tǒng)的有效方法. 該方法也適于計算物理意義明顯的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng), 或瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng). 本文以拉氏變換為基礎(chǔ), 介紹連續(xù)時間系統(tǒng)的s域分析原理,分析各種響應(yīng)象函數(shù)的特點, 總結(jié)連續(xù)時間系統(tǒng)的s域分析方法, 用實例說明s域分析系統(tǒng)響應(yīng)的步驟,并列舉出MATLAB實現(xiàn)的程序.

1 拉普拉斯變換

拉普拉斯變換是s域分析連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具. 如果響應(yīng)只計算某時刻以后的系統(tǒng)輸出, 則可令該時刻為時間起點, 將運算繁雜且收斂域必須時時考慮的雙邊拉氏變換簡化成單邊拉氏變換進行計算.單邊拉氏變換的積分時間起點是從零開始的, 積分結(jié)果與時的函數(shù)值無關(guān), 逆變換當然只能給出時間段的函數(shù)值. 實際問題一般只需計算某一時刻以后的系統(tǒng)輸出, 如果將該時刻定義為時間起點,拉氏逆變換的這種時間局限性并未給其應(yīng)用帶來不便. 關(guān)于積分時間起點的選定問題, 一般把時間起點記為0時刻, 其前瞬間記為時刻, 其后瞬間記為時刻, 考慮到積分下限取0時刻點時某些函數(shù)(如沖激函數(shù))的積分值不能確定, 單邊拉氏變換的積分下限應(yīng)避開0時刻點. 選時刻作積分下限是可行的[1], 積分函數(shù)的狀態(tài)往往需重新計算. 若選時刻作積分下限, 由于積分函數(shù)的狀態(tài)一般已知, 可省去狀態(tài)計算, 所以單邊拉氏變換的積分下限都選時刻. 通常所說的拉氏變換都是指積分下限為的單邊拉氏變換, MATLAB中的laplace積分函數(shù)也是如此. 拉氏變換的線性和時域微分定理是s域分析連續(xù)時間系統(tǒng)常用的重要性質(zhì), 這里只列出時的時域微分定理公式

2 連續(xù)時間系統(tǒng)的s域分析

連續(xù)時間系統(tǒng)的s域分析, 是以拉氏變換為數(shù)學(xué)工具, 先將時域微分方程變換成s域代數(shù)方程, 再在s域求解響應(yīng)的象函數(shù), 最后將響應(yīng)象函數(shù)逆變換成時域原函數(shù), 是一種間接求解系統(tǒng)響應(yīng)的分析方法[2,3].設(shè)描述系統(tǒng)的微分方程一般式為

2.1 各種響應(yīng)的s域求解分析

(1) 自由響應(yīng): 定義為微分方程的齊次解. 根據(jù)經(jīng)典法可知它與系統(tǒng)函數(shù)的極點有關(guān), 將進行逆變換時與系統(tǒng)函數(shù)的極點對應(yīng)的那部分響應(yīng)就是自由響應(yīng).

(2) 強迫響應(yīng): 定義為微分方程的特解. 根據(jù)經(jīng)典法可知它與激勵有關(guān), 由的極點決定, 將進行逆變換時與的極點對應(yīng)的那部分響應(yīng)就是強迫響應(yīng).

(3) 瞬態(tài)響應(yīng): 定義為隨時間增長而趨于零的響應(yīng). 即的極點中分布在s平面左半部分的極點對應(yīng)的響應(yīng).

(4) 穩(wěn)態(tài)響應(yīng): 定義為隨時間增長而不消失的響應(yīng). 即的極點中分布在虛軸或s平面右半部分的極點對應(yīng)的響應(yīng).

(5) 零輸入響應(yīng): 定義為沒有外加激勵信號, 只由系統(tǒng)的起始狀態(tài)所產(chǎn)生的響應(yīng). 即表達式中均為零時的拉氏逆變換. 這里解釋一下為什么也要為零. 假設(shè)激勵信號的起始狀態(tài)(激勵信號及其各階導(dǎo)數(shù)在時刻的值)不都為零, 在0時刻跳變, 在0時刻以后都為零. 因激勵信號或其各階導(dǎo)數(shù)在0時刻點有跳變, 跳變值有不同的定義[5], 跳變值本身就存在不確定性. 如果微分方程右邊還存在該跳變求導(dǎo), 則在0時刻點方程右邊出現(xiàn)沖激, 微分方程右邊一定不為零. 零輸入響應(yīng)的定義要求微分方程右邊在0時刻點也要為零, 故在計算零輸入響應(yīng)時激勵信號的起始狀態(tài)應(yīng)為零, 至少也要保證微分方程右邊不出現(xiàn)沖激.

(6) 零狀態(tài)響應(yīng): 定義為系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零, 由外加激勵所產(chǎn)生的響應(yīng). 即表達式中為零時的拉氏逆變換.

2.2 各種響應(yīng)的s域求解步驟

已知系統(tǒng)的微分方程和激勵信號, 根據(jù)系統(tǒng)的起始狀態(tài), 利用拉氏變換在s域求解系統(tǒng)響應(yīng)的步驟可歸納如下:

(4) 在s域求解代數(shù)方程得響應(yīng)象函數(shù)的逆變換即為系統(tǒng)響應(yīng);

(5) 分析響應(yīng)象函數(shù)的極點來源及在s平面中的位置, 確定自由響應(yīng)和強迫響應(yīng), 或瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng);

(6) 根據(jù)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的定義, 在s域求解雙零響應(yīng)的象函數(shù);

(7) 對雙零響應(yīng)的象函數(shù)進行拉氏逆變換, 得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng).

3 應(yīng)用舉例

下面介紹利用拉氏變換在s域分析系統(tǒng)響應(yīng)的計算步驟.

對s域代數(shù)方程求解, 得系統(tǒng)響應(yīng)的象函數(shù)

其中與系統(tǒng)函數(shù)的極點對應(yīng)的是自由響應(yīng). 與激勵象函數(shù)的極點對應(yīng)的是強迫響應(yīng).的極點都在s平面的左半平面故都是瞬態(tài)響應(yīng). 零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)可按定義參照求解.

上述分析求解過程可借助MATLAB的符號運算編程實現(xiàn). 實現(xiàn)s域分析的m程序如下:

clc;close all;clear;format compact;

syms s t %定義符號對象

%給出激勵信號、微分方程和起始狀態(tài)

xt=2*exp(-4*t)*heaviside(t), %激勵信號, 沖激信號直接用dirac(t)

a=[1, 6, 11, 6], b=[1, 7, 8], %微分方程系數(shù)向量

y0=[1, 13, -61], x0=[-1, -2], %起始狀態(tài), y0的數(shù)據(jù)個數(shù)比a少1, x0比b少1

As=poly2sym(a, 's'), Bs=poly2sym(b, 's'), %計算As和Bs

Hsp=roots(a);disp('系統(tǒng)極點: '), Hsp, %計算系統(tǒng)極點并顯示

Xs=laplace(xt), %對激勵信號進行拉氏變換

%求Y0s, 注意系數(shù)標號與變量下標的關(guān)系

n=length(a)-1;Y0s=0;

for k=1:n;

for r=0:(k-1);Y0s = Y0s+a(n-k+1)*y0(r+1)*s^(k-1-r); end

end

Y0s, %顯示Y0s符號多項式

%求X0s, 注意系數(shù)標號與變量下標的關(guān)系

m=length(b)-1;X0s=0;

for k=1:m;

for r=0:(k-1);X0s = X0s+b(m-k+1)*x0(r+1)*s^(k-1-r); end

end

X0s, %顯示X0s符號多項式

%輸出計算結(jié)果

Hs=Bs/As;disp('H(s)='), pretty(Hs), %顯示系統(tǒng)函數(shù)便讀式

ht=ilaplace(Hs);disp('系統(tǒng)沖激響應(yīng): '), ht, %計算并顯示沖激響應(yīng)

Ys=(Bs*Xs-X0s+Y0s)/As;disp('Y(s)='), pretty(Ys), %顯示響應(yīng)象函數(shù)

yt=ilaplace(Ys);disp('系統(tǒng)全響應(yīng): '), yt, %計算并顯示全響應(yīng)

yzit0=ilaplace(Y0s/As);yzit=vpa(yzit0, 4);%求零輸入響應(yīng)

disp('零輸入響應(yīng): '), yzit, %輸出零輸入響應(yīng)

yzst0=ilaplace((Bs*Xs-X0s)/As);yzst=vpa(yzst0, 4);%求零狀態(tài)響應(yīng)

disp('零狀態(tài)響應(yīng): '), yzst, %輸出零狀態(tài)響應(yīng)

%輸出結(jié)果圖示程序

t1=linspace(eps, 5, 100);%在0+到5秒取100個時點

ht1=subs(ht, t, t1);%利用置換函數(shù)求沖激響應(yīng)各時點的數(shù)值解

subplot(2, 1, 1);plot(t1, ht1), %繪沖激響應(yīng)

xlabel('時間(秒)'), ylabel('幅度'), grid, title('沖激響應(yīng)'), %加標簽

yt1=subs(yt, t, t1);subplot(2, 1, 2);plot(t1, yt1, 'r-'), %繪全響應(yīng)

yzit1=subs(yzit, t, t1);hold on;plot(t1, yzit1, 'g:'), %同窗繪零輸入響應(yīng)

yzst1=subs(yzst, t, t1);hold on;plot(t1, yzst1, 'b-. '), %同窗繪零狀態(tài)響應(yīng)

legend('全響應(yīng)', '零輸入', '零狀態(tài)', 0), %加響應(yīng)圖例, 位置自動最佳

xlabel('時間(秒)'), ylabel('幅度'), grid, title('系統(tǒng)響應(yīng)'), %加標簽

實例列出了求解系統(tǒng)響應(yīng)的手算步驟和機算程序, 程序運行結(jié)果略. 值得一提的是利用ilaplace函數(shù)算出的時域解析式可能還要進行手工整理.

4 結(jié)束語

通過拉氏變換間接求解系統(tǒng)響應(yīng)的s域分析方法, 較直接求解微分方程的經(jīng)典法而言, 其概念抽象但運算簡單. 本文通過對s域分析的原理介紹和應(yīng)用舉例, 介紹了系統(tǒng)響應(yīng)象函數(shù)的極點與各類響應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系, 澄清了零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)的模糊認識, 列出的s域分析程序?qū)虒W(xué)科研也有一定的應(yīng)用價值.

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[8] 張志勇. 精通MATLAB6. 5[M]. 北京: 北京航空航天大學(xué)出版社, 2003

Analysis of Continuous-time System in s-domain and Realization Based on MATLAB

ZHANG Deng-qi1, ZHANG Xuan2
(1. College of Information and Communication Engineering, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China; 2. College of Information Science & Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)

Differential equation is a mathematical model to describe the continuous-time systems, solving response is an important content for the system analysis. Direct method for solving differential equations has clear concept, intuitive method but large computation. Using the Laplace transform to solve the differential equation indirectly is an effective way for solving the response. According to the Laplace transform theory, this paper introduces the principles and the methods of analysis Continuous-time System in s-domain, also gives the programs based on MATLAB.

continuous-time system; Laplace transform; s-domain analysis; MATLAB

TP271. 6; TP391. 75

A

1672-5298(2012)02-0026-04

2012-03-20

張登奇(1968- ), 男, 湖南臨湘人, 碩士, 湖南理工學(xué)院信息與通信工程學(xué)院副教授. 主要研究方向: 信號與信息處理