賀敬良 王成武 田燕林

(①北京信息科技大學(xué)，北京 100192;②中國(guó)石油昆侖燃?xì)庥邢薰?，北?100101)

要進(jìn)行變速比齒條的強(qiáng)度有限元分析、虛擬裝配和運(yùn)動(dòng)仿真以及最終的加工，一定要知道它的齒面形狀。目前所用的方法，一般是由嚙合理論出發(fā)，推導(dǎo)其共扼曲面的解析表達(dá)式［1－2］。對(duì)于定速比齒輪傳動(dòng)這種設(shè)計(jì)方法已經(jīng)很成熟。

對(duì)于變速比轉(zhuǎn)向器，為了獲得良好的性能，要求齒條的傳動(dòng)比是變化的。對(duì)于變傳動(dòng)比齒條齒廓的求解，如果使用嚙合方程推導(dǎo)齒條齒面的表達(dá)式不僅困難，而且還有不少缺點(diǎn)，如左右齒面嚙合需要作為兩種情況分別考慮，增加了計(jì)算工作量。當(dāng)重合度大于1時(shí)，嚙合方程的解不唯一，也就是說(shuō)在一個(gè)瞬時(shí)接觸線上可能有幾個(gè)齒接觸，給這時(shí)齒面求解計(jì)算方法的設(shè)計(jì)帶來(lái)一定困難［3－4］。因此，基于嚙合原理的傳統(tǒng)分析方法很難滿(mǎn)足變速比齒條的精確幾何建模及最終數(shù)控加工的要求。

如果采用離散化的共軛曲面直接計(jì)算方法，即數(shù)值計(jì)算方法［5－6］，而不使用嚙合方程，只需要已知齒輪參數(shù)與具體的運(yùn)動(dòng)要求，即可求解變速比齒條單個(gè)截面齒廓，且精度可以調(diào)節(jié)。但是在求解過(guò)程中仍然需要大量的編程，得到的齒廓曲線是由離散的點(diǎn)組成的，這樣在曲線擬合過(guò)程中可能存在著一些問(wèn)題，需要根據(jù)嚙合原理的知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行判斷，曲線擬合得是否正確。此外得到的是各個(gè)截面齒廓的數(shù)值，對(duì)于后續(xù)的仿真和數(shù)控加工仍然需要根據(jù)求解得到的齒廓數(shù)據(jù)建立齒輪的三維模型。

針對(duì)以上變速比齒條齒廓求解問(wèn)題，提出了一種齒廓設(shè)計(jì)計(jì)算的新方法。只需要知道傳動(dòng)比規(guī)律和齒輪的參數(shù)，就可快速得到變速比齒條的三維精確數(shù)據(jù)模型;為變速比齒條齒廓的加工和測(cè)量提供了可靠的齒面數(shù)據(jù);不需要大量的編程，簡(jiǎn)單明了、實(shí)用性強(qiáng)。

1 變速比齒條齒廓設(shè)計(jì)計(jì)算新方法

已知齒輪參數(shù)和運(yùn)動(dòng)要求，求齒條的共扼曲面。設(shè)齒條坐標(biāo)系為xyz，齒輪坐標(biāo)系為xhz，它們的原點(diǎn)重合，坐標(biāo)軸y與坐標(biāo)軸h的夾角為交錯(cuò)角ζ，如圖1所示。

變速比齒輪齒條傳動(dòng)中，齒輪是一個(gè)參數(shù)特殊的漸開(kāi)線圓柱斜齒輪，因而齒輪的齒廓是漸開(kāi)線螺旋面，而齒條齒廓是在變傳比條件下漸開(kāi)螺旋面的共軛曲面，與斜齒非圓齒輪齒廓的形成是截然不同的，斜齒輪非圓齒輪傳動(dòng)兩個(gè)齒輪的齒廓可以看作是在同一把法向齒廓為直線的媒介直齒條展成的，屬間接包絡(luò)成形;而這里的兩個(gè)齒廓是先給出齒輪的齒廓，齒條的齒廓?jiǎng)t可以看作是由齒輪齒廓展成而成的，屬于直接包絡(luò)成形。這類(lèi)似于用蝸輪滾刀加工蝸輪，而滾刀與蝸桿齒廓相同的情況。

1.1 漸開(kāi)螺旋齒輪的齒廓方程

齒輪的齒面是右旋漸開(kāi)螺旋面，它的端截面是漸開(kāi)線(如圖2)，設(shè)其基圓半徑為rb1，齒槽右側(cè)漸開(kāi)線ef的起點(diǎn)為e，oe與x1軸的夾角為σ0，漸開(kāi)線上任意一點(diǎn)M的法線與基圓的切點(diǎn)為a，取∠eoa=u角作為參變數(shù)，則漸開(kāi)線ef的方程式為

把漸開(kāi)線ef繞z軸螺旋運(yùn)動(dòng)，可以得到對(duì)應(yīng)右旋漸開(kāi)螺旋面的方程為

式中，p1是齒輪的螺旋參數(shù)，它的意義為端截形漸開(kāi)線繞z軸轉(zhuǎn)過(guò)單位角度時(shí)，沿軸線方向移動(dòng)的距離。對(duì)于左旋齒輪，只要把式中p1θ前的正號(hào)改為負(fù)號(hào)即可。θ是參變量，即母線ef從起始位置繞z1軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。順著z1軸看去，以瞬時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)為正。

把式(3)、(4)代入式(2)，可得到齒輪齒槽右側(cè)的齒面方程式為:

用同樣的方法可以求得齒槽左側(cè)的齒面方程。

圖3為根據(jù)上面推導(dǎo)的公式及表1中的參數(shù)完成的漸開(kāi)螺旋齒輪三維模型。

1.2 變速比齒條設(shè)計(jì)計(jì)算方法

根據(jù)齒輪范成加工原理，齒輪加工過(guò)程中，齒輪插齒刀和齒輪毛坯按規(guī)定的運(yùn)動(dòng)做范成運(yùn)動(dòng)，插齒刀和齒輪毛坯重合的部分就是被插齒刀切除的部分。即通過(guò)插齒刀的齒廓包絡(luò)出齒輪的齒廓。因此我們只要按照變速比轉(zhuǎn)向器的結(jié)構(gòu)參數(shù)建立齒條毛坯和齒輪三維實(shí)體模型，根據(jù)齒輪齒條的運(yùn)動(dòng)關(guān)系建立運(yùn)動(dòng)仿真模型。這樣齒輪和齒條毛坯按規(guī)定的變傳動(dòng)比規(guī)律做范成運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)計(jì)算會(huì)生成干涉體，即齒條齒槽切除的部分，也就是加工時(shí)插齒刀切除的部分。齒條毛坯減去齒條齒槽切除的部分就得到了我們期望的齒條模型。

2 應(yīng)用實(shí)例

2.1 變速比轉(zhuǎn)向器傳動(dòng)副參數(shù)

變速比轉(zhuǎn)向器齒輪齒條副參數(shù)見(jiàn)表1所示。

2.2 運(yùn)動(dòng)要求

兩定速比段的值，從理論上講，兩者相差越多越有利。但由于結(jié)構(gòu)等因素的限制，目前國(guó)外選用的速比變化范圍均小于30%，如德國(guó)ZF公司的產(chǎn)品傳動(dòng)比的變化范圍Δi≤26%。它對(duì)轉(zhuǎn)向器的性能和傳動(dòng)零件的加工有一定影響。

按汽車(chē)轉(zhuǎn)向器的設(shè)計(jì)要求，齒條沿x方向平移距離σ與設(shè)想齒輪按某個(gè)瞬時(shí)傳動(dòng)比轉(zhuǎn)動(dòng)一圈(φ=2π)時(shí)齒條移動(dòng)的距離s的關(guān)系如圖4所示。其中，σ≤σ1時(shí)，s=s1;σ≥σ2時(shí) s=s2，傳動(dòng)比為定值;σ1＜ σ ＜σ2，s為半徑a的滾圓在s=Q的直線上作純滾動(dòng)時(shí)，圓內(nèi)一點(diǎn)(到圓心距離為b)形成的短幅擺線，則

表1 變速比轉(zhuǎn)向器齒輪齒條副參數(shù)

σ的負(fù)值部分與正值部分對(duì)稱(chēng)。已知σ1=5 mm，σ2=60 mm，s1=37.042 mm，s2=29.634 mm。

齒輪齒條的傳動(dòng)比為m(φ1)=ds/dφ，則齒輪轉(zhuǎn)角與齒條位移之間的關(guān)系如下

當(dāng)σ1＜x＜σ2時(shí)，α由 x=σ1+at+bsinα使用牛頓迭代法求得。

2.3 變速比齒條的設(shè)計(jì)計(jì)算

根據(jù)上述的變速比齒條設(shè)計(jì)計(jì)算方法，按照齒輪齒條參數(shù)和運(yùn)動(dòng)要求，建立運(yùn)動(dòng)仿真模型(如圖5)，進(jìn)行齒條齒廓設(shè)計(jì)計(jì)算?？芍苯拥牡玫阶兯俦三X條的三維數(shù)據(jù)模型及齒輪齒條裝配模型(見(jiàn)圖6，圖7)，從圖中可以看到，變速比齒條包含完整的齒頂曲線、工作齒廓、過(guò)渡曲線及齒根曲線?？梢灾庇^地看出:①齒條的齒面是直紋面;②齒條中部的壓力角最大，向兩端逐漸減小。

根據(jù)完成的變速比齒條三維模型，在數(shù)控機(jī)床上進(jìn)行了變速比齒扇的加工，這里采用自由曲面的加工方法，圖8為完成的變速比齒條的加工樣件。對(duì)齒輪和變速比齒條的嚙合情況進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明齒輪齒條接觸區(qū)均勻良好，運(yùn)轉(zhuǎn)靈活平穩(wěn);說(shuō)明變速比齒條齒廓的這種設(shè)計(jì)計(jì)算方法是正確的。

3 結(jié)語(yǔ)

本文提出了一種變速比齒條齒廓設(shè)計(jì)計(jì)算的新方法，該方法不使用嚙合方程就可以快速而精確地得到變速比齒條的三維數(shù)據(jù)模型。該方法以齒輪范成加工法為基礎(chǔ)，讓齒輪根據(jù)變傳動(dòng)比運(yùn)動(dòng)直接包絡(luò)出變速比齒條的齒廓。與傳統(tǒng)嚙合原理的方法和數(shù)值計(jì)算方法相比，該方法在快速、精確地求解變速比齒輪共軛曲面方面有突出優(yōu)點(diǎn)，且直接得到了變速比齒條的三維數(shù)據(jù)模型，該方法簡(jiǎn)單明了，實(shí)用性強(qiáng);尤其適用于嚙合情況復(fù)雜，如變傳動(dòng)比共軛曲面的求解。

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