金瑾

（貴州省畢節(jié)學院數(shù)學系，貴州畢節(jié) 551700）

亞純函數(shù)系數(shù)的高階微分方程的解與其小函數(shù)的增長性

金瑾

（貴州省畢節(jié)學院數(shù)學系，貴州畢節(jié) 551700）

研究了高階線性齊次微分方程f（k）+Ak-1（z）f（k-1）+…+A1（z）f＇+A0（z）eazf=0解的增長性，其中，Aj（z）?0是亞純函數(shù)，σ（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1），a為非零復常數(shù)，得到了方程解的一階導數(shù)、二階導數(shù)、微分多項式與小函數(shù)之間的關系。

線性微分方程；小函數(shù)；亞純函數(shù)；收斂指數(shù)

1 引言與主要結果

本文采用Nevanlinna值分布理論的標準記號[1-8]，用σ（f），λ（f）φ和λˉ（f）表示亞純函數(shù)f（z）的增長級、零點收斂指數(shù)和不同零點收斂指數(shù)，用λ（fφ）和λ（f-φ）表示亞純函數(shù)f（z）取小函數(shù)的零點收斂指數(shù)和取小函數(shù)的不同零點收斂指數(shù)。研究了高階線性復微分方程的解f（z）與其小函數(shù)φ（z）的關系。得到了下述結論

定理 設Aj（z）?0是亞純函數(shù)，σ（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1）為非零復常數(shù)，如果φ（z）是不恒為零的有限級亞純函數(shù)且σ（Aj）＜1，則微分方程（1）的任意超越亞純解f（z）都滿足

2 證明定理所需的引理

引理1 假設（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1），為亞純函數(shù)且級小于1，Aj為互不相同的復常數(shù)，則

的所有超越亞純解的級都為無窮。

證明 反證。由方程（2）變形得

若存在超越亞純函數(shù)解f，其級σ（f）＜∞，由對數(shù)導數(shù)引理知：當r充分大時，

又因

σ（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1），

故

σ（Aj/A0）＜1（j=0，1，2，…，k-1），

所以，?ε＞0，使得當r充分大時，有

所以σ（f）=∞。

引理2 設（f z）是超越亞純函數(shù)且

σ（f）=σ＜+∞，H={（k1，j1）（k2，j2），… ，（kq，jq）}是不同的整數(shù)對的有限集合，滿足ki＞ji≤0（i=1，2，…，q）。假設ε＞0是個給定常數(shù)，則存在一集合E?［0，2π），其線性測度為零，使得如果φ∈［0，2π）-E，則存在常數(shù)R0=R（0φ）＞1，對滿足arg z=φ及z≤R0的所有（k，j）∈H都有

而（3）的右邊

引理3 設f1（z），f2（z），…，fn（z）（n≤2）為亞純函數(shù)，g1（z），g2（z），…，gn（z）為整函數(shù)，滿足下列條

證明 因為條件（?。┲械暮愕仁娇梢愿膶憺?/p>

故由引理3即可得出

fj（z）≡0（j=1，2，…，n+1）。

引理5 設A0，A1，…，Ak-1，F(xiàn)?0都是有限級亞純函數(shù)，如果f（z）是方程的

f（k）+Ak-1（z）f（k-1）+…+A1（z）f′+A0（z）f=F（z）

的一個無窮級亞純函數(shù)解，那么f（z）滿足

λ（f）=λˉ（f）=σ（f）=∞[3]。

3 定理的證明

證明 設f（z）是方程（1）的任意超越亞純解，則由已知和引理1可知σ（f）=∞，故σ（f-φ）=∞。下面我們證明λˉ（f′-φ）=∞和λˉ（f″-φ）=∞。

（Ⅰ）首先我們證明λˉ（f′-φ）=∞。設g（z）=f′（z）-φ（z），則

σ（g）=σ（f′-φ）=σ（f′）=σ（f）=∞，λˉ（g）=λˉ（f′-φ）。

對方程（3）兩邊求導并整理得

由方程（1）得

將（5）代入（4）得

又由g（z）=f＇（z）-φ（z）可得

將這k+1個等式代入（6）式并整理得

假設

則

其中，

又

故

因為Aj（z）?0是整函數(shù)，σ（Aj）＜1（j=0，1，2，…，k-1），a為非零復常數(shù)，φ（z）是不恒為零的亞純函數(shù)且σ（φ）＜1，所以由引理2知

的級都小于1，由引理4和（8）式可知A0≡0，這與定理的條件矛盾，因而h（z）?0。

對于方程（7）來說，由于h（z）?0及σ（g）=∞和引理5可知

λˉ（g）=λˉ（f′-φ）=σ（g）=σ（f）=∞。

（Ⅱ）其次我們證明λˉ（f″-φ）=∞。對方程（4）兩邊求導并整理得

將（5）式代入（9）式并整理得

令

由引理4易知φ2（z）?0，且φ1（z）和φ2（z）都是亞純函數(shù)，σ（φ1）＜1，σ（φ2）＜1。再由（6）可得

將（11）式代入（10）式并整理得

其中

則B1和B2都是亞純函數(shù)，且σ（B1）＜1，σ（B2）＜1。由φ1（z）和φ2（z）的表達式和（13）～（16）有

其中，

則由方程（17）可知

對方程（19），由上所述和引理4可知，A0=0。這與已知矛盾，故H?0。

所以，對于方程（18）由H?0及σ（h）=∞，由引理5可知

由（Ⅰ）和（Ⅱ）可知，在定理條件下有

[1]Gundersen G.Estirnates for the logarithmic derivative of ameromorphic function，Plus Similar Estimates[J].London Math Soc，1988，37：88-104.

[2]Gross F.On the distribution ofvaluesofmeromorphic functions[J].Tran AmerMath Soc，1968，131：199-214.

[3]Chen ZX.Zerosofmeromorphic solutionsofhigherorder lineardifferentialequations[J].Analysis，1999，14：425-438.

[4]JIN Jin.The fix point of solutions and the derivatives of Solutions of higher order entire function coefficients linear differential equations[J].Journal of Mathematical Research＆Exposition，2007，27（4），803-813.

[5]JIN Jin.The fixed point of two order derivatives of solutions of higher order linear differential equations[J].Mathematical Theory and Applications，2007，27（4）：107-113.

[6]JIN Jin.The Zero-filling DiscsofSolutionsofComplex Equation[J].Advances in Mathematics，2005，34（5）：609-613.

[7]JIN Jin.On the fix poin and hyper order of meromorphic solutions of aclass of higher order homogeneous linear differential equations[J].Journal of huazhong normal university，2011，45（1）：18-22.

[8]JIN Jin，Shi ning sheng.The relatween solutions of a claas of differential equation and the derivatives of solutions with the fixed pionts[J].Mathematics in practice and theory，2011，41（22）：185-190.

〔責任編輯 高海〕

The Growth of Solutions of Meromorphic Funtion Coefficients of Higher Order Differential Equations with Functions of Small Growth

JIN Jin
（Mathematics Department，Bijie University，Bijie Guizhou，551700）

In this paper，the growth of solutions of homogeneous higher order linear Differential equation is investigated，

f（k）+Ak-1（z）f（k-1）+…+A1（z）f＇+A0（z）eazf=0，in the Aj（z）?0 were meromorphic functions，σ（Aj）＜1（j=0，1，2…，k-1），a is non-zero constant.Obtains their 1st，2st derivatives，differential polynomial of differential equationswith function of small growth.

linear differential equations；small function；meromorphic function；exponentof convergence

O174.5

A

1674-0874（2012）03-0001-04

2011-12-10

貴州省科學技術基金資助項目[2010GZ43286]；貴州省科學技術基金項目[2012GZ10526]；貴州省畢節(jié)地區(qū)科研基金資助項目[2011-02]

金瑾（1962-），男，貴州大方人，教授，研究方向：復分析。