岳 穎，林 楠

(1．東北電力大學(xué)，吉林 吉林132012;2．通遼電業(yè)局，內(nèi)蒙古 通遼028000)

0 引言

目前，在電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定的分析中，求解穩(wěn)定平衡點(diǎn)與不穩(wěn)定平衡點(diǎn)非常重要。特別是應(yīng)用直接法與Normal Form變換進(jìn)行暫態(tài)穩(wěn)定分析均是以主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)(CUEP)為基礎(chǔ)的。對于受擾系統(tǒng)，我們一般只研究與故障軌跡相關(guān)的那部分穩(wěn)定域邊界(包含CUEP)，而求出CUEP上的穩(wěn)定流形就確定了系統(tǒng)的穩(wěn)定域邊界［1］。求解CUEP的問題首先就是求解系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點(diǎn)，也就是求解非線性微分方程組。對于電力系統(tǒng)這個(gè)非線性系統(tǒng)，不論是從理論還是計(jì)算量方面考慮，直接求解非線性微分方程組很困難，所以主要求出不穩(wěn)定平衡點(diǎn)附近的近似解便可。

Normal Form變換［2］是一種基于非線性動(dòng)力學(xué)理論的有效的數(shù)學(xué)工具，這種方法將原始非線性系統(tǒng)的表達(dá)式在主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)處進(jìn)行泰勒展開后，再經(jīng)過線性變換和非線性變換，將系統(tǒng)映射到一個(gè)線性系統(tǒng)中。原系統(tǒng)的穩(wěn)定邊界在主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)處經(jīng)過映射后在線性空間中是一個(gè)超平面，當(dāng)持續(xù)故障軌線與穩(wěn)定邊界相交時(shí)，對應(yīng)的交點(diǎn)就是系統(tǒng)臨界出口點(diǎn)，進(jìn)而可以得到臨界切除時(shí)間。

本文提出的方法是首先將求解主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為非線性最小二乘問題［3］，并采用結(jié)構(gòu)p步牛頓法，在計(jì)算的過程中自動(dòng)調(diào)節(jié)，保證收斂到正確的CUEP，而后在主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)處對系統(tǒng)表達(dá)式做泰勒展開，并應(yīng)用Normal Form理論對其進(jìn)行線性和非線性變換，最后求出臨界切除時(shí)間。

1 結(jié)構(gòu)p步牛頓法求主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)

求解主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的問題就是求解下列非線性方程組

將其轉(zhuǎn)化為求非線性最小二乘問題，即

其中 θ=(θ1，θ2，…，θn)T∈Rn。

F(θ)的二階導(dǎo)數(shù)(海森矩陣)為

式中，A(θ)為 F(θ)的雅格比矩陣，C(θ)與 S(θ)分別為H(θ)的線性與非線性部分。S(θ)就是求解最小二乘問題中的殘量部分，在計(jì)算的過程中將會隨著主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)求解過程的變化而變化。因此，在計(jì)算的過程中選用合適的算法比較有利于加快收斂速度。

本文選擇文獻(xiàn)［4］中提出的結(jié)構(gòu)p步牛頓法進(jìn)行求解。此方法對零殘量問題具有二階收斂速率，而對于大殘量問題具有p步p+1階收斂速率。應(yīng)用結(jié)構(gòu)p步牛頓法求解CUEP的計(jì)算步驟為

1) 給定初始點(diǎn) q0，令整數(shù) p≥1，k=0。

2)令

其中，i=1，2，…，p －1，參數(shù) p 表示迭代次數(shù)，當(dāng)在θk，0點(diǎn)時(shí)，采用牛頓步;當(dāng) 0 ＜ i＜ p 時(shí)，在 θk，i點(diǎn)采用簡化結(jié)構(gòu)牛頓步。

3) 若滿足‖F(xiàn)(θk)‖ =0，則輸出 θk，得到不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的點(diǎn)列{θk};否則，令k=k+1，轉(zhuǎn)步驟b。

4)用切平面篩選法［5］確定主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

從θk到θk+1的p步中，只需要計(jì)算一次就得到S(θk)。其中構(gòu)造 Bk，i進(jìn)行求解，大大減少了計(jì)算量，并且具有較高的收斂性。

2 三階Normal Form變換

現(xiàn)有的部分文獻(xiàn)為了研究方便，一般省略高階項(xiàng)，只研究到二階解析解，使得計(jì)算的結(jié)果存在不容忽視的截?cái)嗾`差。文獻(xiàn)［6－7］將系統(tǒng)的解析解推導(dǎo)到三階，并驗(yàn)證了三階解析解比二階的更加精確。下面結(jié)合文獻(xiàn)對系統(tǒng)進(jìn)行三階Normal Form變換的推導(dǎo)步驟進(jìn)行介紹。

設(shè)非線性系統(tǒng)的微分方程為

式中，X=(x1，x2，…，xn)T∈Rn。將式(2)在主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)X0處做泰勒展開并保留至三階項(xiàng)，得

式中，A=［?Fi/?X］x0為系統(tǒng)的雅克比矩陣為系統(tǒng)的二階矩陣的第 i個(gè)子矩陣，

求取原非線性系統(tǒng)線性部分X˙=AX的特征值λ1，…，λn。

令線性變換為

式中，U為矩陣A的右特征向量矩陣，V為矩陣A的左特征向量矩陣，且UV=1。將式(4)代入式(3)，變換后的Y系統(tǒng)表達(dá)式為其中，Vi，j是矩陣 V 的第 i行 j列的元素。

選取非線性變換形式為

其中，非線性變換矩陣為

將式(6)代入式(5)并略去四階以上項(xiàng)，可得到線性空間的表達(dá)式

其中，J是由矩陣A的特征值構(gòu)成的對角陣，即J=diag(λ1，…，λn)。

3 Normal Form理論在暫態(tài)穩(wěn)定中的應(yīng)用［8-9］

經(jīng)過上面Normal Form變換后的系統(tǒng)持續(xù)故障軌跡在空間的表達(dá)式為

Z空間中的持續(xù)故障軌跡與穩(wěn)定邊界的交點(diǎn)就是穩(wěn)定邊界上的出口點(diǎn)，即為臨界切除點(diǎn)。穩(wěn)定邊界在Z空間映射為z1=0(設(shè)λ1＞0)，于是，當(dāng)正實(shí)部特征根對應(yīng)的表達(dá)式過零或變號時(shí)對應(yīng)的時(shí)間就是臨界切除時(shí)間。求臨界切除時(shí)間的具體步驟如下:

表1 新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)

1)計(jì)算故障前系統(tǒng)的潮流。

2)將系統(tǒng)微分方程寫成式(1)的形式，并應(yīng)用結(jié)構(gòu)p步牛頓法求出故障后主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)。

3)在主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)處將系統(tǒng)方程進(jìn)行泰勒展開，略去四階以上項(xiàng)，計(jì)算矩陣

5)求出持續(xù)故障軌線表達(dá)式，并將其經(jīng)過線性變換與非線性變換映射到Z空間，找到正實(shí)部特征根對應(yīng)的軌跡，判斷它何時(shí)變號，此時(shí)對應(yīng)的時(shí)間即為臨界切除時(shí)間。

4 實(shí)例分析

新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)如圖1所示，對其進(jìn)行仿真驗(yàn)證，線路和發(fā)電機(jī)數(shù)據(jù)見文獻(xiàn)［10］;其發(fā)電機(jī)采用二階經(jīng)典模型，均勻阻尼系數(shù)為λ0=－0．2，負(fù)荷采用恒阻抗負(fù)荷。設(shè)系統(tǒng)在表1中所示發(fā)生三相接地故障，并切除該線路。

先用結(jié)構(gòu)p步牛頓法求出CUEP，再應(yīng)用Normal Form變換進(jìn)行仿真。分別對靠近機(jī)端的線路及輸電線路中發(fā)生故障兩種情況進(jìn)行分析，并與BCU法［11］和 PEBS 法［12］進(jìn)行比較，結(jié)果如表1、表2 所示。根據(jù)結(jié)果可以看出，當(dāng)靠近機(jī)端線路發(fā)生故障時(shí)，利用本文的方法所獲得的臨界切除時(shí)間tcr有時(shí)產(chǎn)生的誤差會較大，但與BCU和PEBS法相比，還是可以接受的;當(dāng)輸電線路上發(fā)生故障時(shí)，利用本文方法所得的tcr與時(shí)域仿真法的結(jié)果誤差不大，基本上在10%以內(nèi)，滿足工程要求;而基于BCU法和PEBS法所得的結(jié)果產(chǎn)生的誤差有時(shí)候較大。因此，對于輸電線路上發(fā)生的故障，應(yīng)用本文方法可以有效估計(jì)臨界切除時(shí)間。

圖1 新英格蘭39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

5 結(jié)論

本文將結(jié)構(gòu)p步牛頓法與Normal Form變換相結(jié)合對暫態(tài)穩(wěn)定出口點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)。將求CUEP的問題轉(zhuǎn)化為非線性最小二乘問題避免了建立能量函數(shù)，同時(shí)采用結(jié)構(gòu)p步牛頓法保證了快速收斂到CUEP;應(yīng)用三階Normal Form變換保證了臨界切除時(shí)間計(jì)算的快速性和準(zhǔn)確性。通過對新英格蘭10機(jī)39節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，驗(yàn)證了本文方法的有效性。

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［3］李穎暉，張保會，徐成賢．應(yīng)用開關(guān)算法計(jì)算電力系統(tǒng)中的主導(dǎo)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)［J］．西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，37(4):407－410．

［4］王來生，甄苓．非線性最小二乘問題的結(jié)構(gòu)p步牛頓法［J］．西安交通大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，37(4):407 －410．

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