管訓(xùn)貴

（泰州師范高等專(zhuān)科學(xué)校 數(shù)理信息學(xué)院，江蘇 泰州 225300）

1 引言及主要結(jié)論

長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)論函數(shù)的性質(zhì)一直是數(shù)論中一個(gè)引人關(guān)注的課題[1].2004年，A.Murthy和M.Bencze[2]引入了數(shù)論函數(shù)f（n），其定義如下：

定義 對(duì)于正整數(shù)n，如果存在正整數(shù)k可使kn+1是素?cái)?shù)，k|( )n-1 且（n-1）/k不是合數(shù)，則設(shè)f（n）表示適合此條件的最小的k；否則f（n）=0.當(dāng)f（n）=0時(shí)，n稱(chēng)為函數(shù)f（n）的一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)f（n）=1時(shí)，n稱(chēng)為函數(shù)f（n）的一個(gè)單位.容易算得表1.

對(duì)此，A.Murthy和M.Bencze[2]曾提出如下猜想：

猜想1f（n）有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn).

2011年，樂(lè)茂華[3]運(yùn)用素?cái)?shù)分布的結(jié)果證實(shí)了此猜想，不過(guò)他的證明非初等.

通過(guò)表1，我們又得到

猜想2 當(dāng)且僅當(dāng)p=1或p與p+2是一對(duì)孿生素?cái)?shù)時(shí)，f（p+1）是f（n）的一個(gè)單位.本文運(yùn)用初等方法證明了上述猜想，即證明了

定理1 當(dāng)且僅當(dāng)p=1或p與p+2是一對(duì)孿生素?cái)?shù)時(shí)，f（p+1）=1.

定理2若素?cái)?shù)p≡1（mod 6），則f（p+1）=0.

推論f（n）有無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn).

2 引理

引理 形如p≡1（mod 6）的素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè).

證明 可參見(jiàn)文獻(xiàn)[4].

3 定理的證明

先證定理1.

當(dāng)p=1時(shí)，由表1知，f（2）=1.設(shè)p與q=p+2是一對(duì)孿生素?cái)?shù)，n=p+1，此時(shí)適合k|( )n-1的正整數(shù)k僅有k=1和p.顯然，當(dāng)k=1時(shí)，kn+1=n+1=p+2=q是素?cái)?shù)，且（n-1）/k=n-1=p不是合數(shù)，故f（p+1）=f（n）=1.

表1 不超過(guò)100的n對(duì)應(yīng)的f(n)的函數(shù)值Tab.1 The function value of f(n)corresponds to n＜100

反之，設(shè)f（n）=1，則由定義知kn+1=n+1=q應(yīng)為素?cái)?shù).又（n-1）/k=n-1不是合數(shù)，故n-1=1或p（p為素?cái)?shù)）.此時(shí)n=2或p+1.再由n=p+1=q-1知q-p=2，故p，q是一對(duì)孿生素?cái)?shù).證畢.

再證定理2.

設(shè)p是奇素?cái)?shù)，且p≡1（mod 6），n=p+1，此時(shí)適合k|( )

n-1 的正整數(shù)k僅有k=1和p.當(dāng)k=1時(shí)，kn+1=n+1=p+2≡3（mod 6）不是素?cái)?shù)；當(dāng)k=p時(shí)，kn+1=p（p+1）+1≡3（mod 6）也不是素?cái)?shù)，故f（p+1）=f（n）=0.證畢.

由引理知，形如p≡1（mod 6）的素?cái)?shù)有無(wú)窮多個(gè)，故f（n）的零點(diǎn)p+1有無(wú)窮多個(gè)，推論得證.

此外，從表1還可以得出：f（n）是非積性函數(shù).

由于f（n）是一個(gè)新的數(shù)論函數(shù)，它還有許多性質(zhì)值得人們?nèi)ヌ接?比如

問(wèn)題1當(dāng)正整數(shù)n為何值時(shí)，f（n）=n-1？

問(wèn)題2f（n）是否存在無(wú)窮多個(gè)單位？

問(wèn)題3 當(dāng)m，n滿足怎樣的關(guān)系時(shí)，f（m）=f（n）？

[1]Guy R K.Unsolved problemsin number theory[M].New York：Springer Verlag,1981.

[2]Murthy A,Bencze M.Open question 1520[J].Octogon Math.Mag,2004,12(2)：1009.

[3]樂(lè)茂華.一類(lèi)數(shù)論函數(shù)的零點(diǎn)[J].湛江師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011,32（6）：41-42.

[4]管訓(xùn)貴.初等數(shù)論[M].合肥：中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社,2011：184-185.