呂 誠，孫秀華

（安徽建筑工業(yè)學(xué)院 數(shù)理系，安徽 合肥 230022）

提高離散數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量的方法探析

呂 誠，孫秀華

（安徽建筑工業(yè)學(xué)院 數(shù)理系，安徽 合肥 230022）

針對離散數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息計(jì)算相關(guān)專業(yè)中的重要作用，以及該課程內(nèi)容覆蓋面大，理論深度強(qiáng)的特點(diǎn)，本文結(jié)合多年教學(xué)中的一些經(jīng)驗(yàn)，探討如何改革傳統(tǒng)教學(xué)方式，以興趣帶動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性，以問題引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，從而提高離散數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的質(zhì)量.

離散數(shù)學(xué)；數(shù)理邏輯；集合與關(guān)系；代數(shù)系統(tǒng)；教學(xué)

1 引言

離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，卻有別與注重“連續(xù)數(shù)學(xué)”的微積分等課程，其研究對象通常是有限個(gè)或無限可列個(gè)的離散量，并以研究這些離散量的結(jié)構(gòu)和相互間的關(guān)系為主要目標(biāo)，這與計(jì)算機(jī)本身的結(jié)構(gòu)和用計(jì)算機(jī)可處理問題的離散性相一致.

一直以來，離散數(shù)學(xué)都作為計(jì)算機(jī)科學(xué)與信息計(jì)算相關(guān)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課程，也是后繼課程，如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、數(shù)據(jù)庫原理等課程的必備基礎(chǔ).但是離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)又與大多數(shù)計(jì)算機(jī)類課程有著很大差別.因?yàn)槠渥鳛閿?shù)學(xué)分支，有著很濃的數(shù)學(xué)味，如符號、定義及定理證明過程等.一方面對于工科學(xué)生提高數(shù)學(xué)的邏輯思維能力和抽象思維能力有重要作用；另一方面，其抽象的概念及復(fù)雜的邏輯推理又令很多工科學(xué)生“望離散數(shù)學(xué)興嘆”.

長期以來，離散數(shù)學(xué)的重要性與其教學(xué)中的阻力形成一個(gè)不易調(diào)解的矛盾.于是有著各種教學(xué)的嘗試，比如視其為數(shù)學(xué)純理論課，希望以嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕虒W(xué)，培養(yǎng)學(xué)生扎實(shí)的基本功；或者視其為計(jì)算機(jī)類實(shí)踐性的課程，過多關(guān)注培養(yǎng)學(xué)生上機(jī)編程解決實(shí)際問題的能力.筆者結(jié)合多年在安徽建筑工業(yè)學(xué)院講授離散數(shù)學(xué)課程的經(jīng)歷，認(rèn)為以上方式均未能體現(xiàn)離散數(shù)學(xué)自身特點(diǎn)，可能也不一定達(dá)到預(yù)期效果.

在實(shí)際教學(xué)中如何提高教學(xué)水平、教學(xué)質(zhì)量，一直為眾人所關(guān)注[1-5].事實(shí)上，大多數(shù)院校的離散數(shù)學(xué)課程都主要包含數(shù)理邏輯、集合論、代數(shù)系統(tǒng)和圖論四個(gè)部分.這四個(gè)部分相對獨(dú)立，即彼此間聯(lián)系不太密切，卻都體現(xiàn)了該課程的數(shù)學(xué)特征，故不能因其與計(jì)算機(jī)科學(xué)有密切關(guān)系而忽視其數(shù)學(xué)本質(zhì).但若一味按理論課按部就班講解，學(xué)生也會(huì)不厭其煩地問“這些方法性強(qiáng)、高度抽象的內(nèi)容有什么用，畢竟咱們不是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)”.要知道大一、大二的學(xué)生對于所讀專業(yè)的課程體系不可能有著全面認(rèn)識，也不會(huì)預(yù)知以后學(xué)習(xí)中所面臨的問題.一旦對課程失去信心，就會(huì)失去學(xué)習(xí)動(dòng)力.因此眾多學(xué)者均提到用興趣提高學(xué)生學(xué)習(xí)課程的積極性，這一點(diǎn)確實(shí)很重要.而如何培養(yǎng)興趣，從一開始就抓住學(xué)生的注意力，正是本文所期待探討的問題.同時(shí)用問題加以引導(dǎo)，本身也是引起興趣的方式，還可提前令學(xué)生了解課程所能解決的問題，從而感受課程的重要性.本文也希望可以進(jìn)一步探討離散數(shù)學(xué)課程的“課堂導(dǎo)入法的研究”[5].

2 數(shù)理邏輯的第一次課

通常工科院校的計(jì)算機(jī)相關(guān)專業(yè)的學(xué)生不會(huì)涉及過多的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)理論，在初次學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)課程時(shí)，首先接觸到的便是數(shù)理邏輯部分，而此內(nèi)容比如命題、主范式[6]、推理規(guī)則等抽象且復(fù)雜，很大程度上有別于其它已經(jīng)修完的課程，因而眾多學(xué)生都表現(xiàn)出不適應(yīng)，因而如何幫助初學(xué)者突破這一困難，對于增強(qiáng)學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)課程的信心有著十分重要的作用.倘若直接進(jìn)入正題，會(huì)立即介紹很多學(xué)生陌生的名詞、術(shù)語，學(xué)生立刻會(huì)覺得丈二和尚摸不著頭腦.因而我們不妨先用問題引導(dǎo)學(xué)生較全面了解本章的內(nèi)容.比如有時(shí)我們會(huì)用蘇格拉底三段論作為開篇.

蘇格拉底的三段論：

“所有的人總是要死的”

“蘇格拉底是人”

“所以蘇格拉底是要死的”.

憑直覺可知蘇格拉底的論證是正確的，但這是如何推理的呢？或者提問學(xué)生這樣的論證有思維的人可以理解，但如何讓計(jì)算機(jī)、電腦也能“理解”，并“做出推理”.

文[3]中還提到可用一個(gè)偵破案件的例子提起學(xué)生的興趣，事實(shí)如下：張三或李四偷盜機(jī)房一臺電腦；若張三偷竊，則作案時(shí)間不可能在午夜前；若李四證詞無誤，則午夜機(jī)房的燈未滅；若李四證詞有誤，則作案時(shí)間發(fā)生在午夜前；午夜時(shí)機(jī)房的燈全滅了.一般來說，學(xué)生對于這樣的推斷都很有興趣，并積極參與其中.在短短的笑談互動(dòng)中，學(xué)生對本章內(nèi)容有了初步了解，并知道本章與邏輯推理有關(guān)，自然很想提高自己的推理能力，學(xué)習(xí)也有了積極性.

3 集合與關(guān)系的第一次課

對于集合與關(guān)系這一部分內(nèi)容，大多數(shù)學(xué)生都會(huì)覺得在很多課程，比如高等數(shù)學(xué)等都有所涉及，而且內(nèi)容“有些枯燥”.因而第一次課一定要端正學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識，不能因?yàn)橐郧皩W(xué)過一些，本章就可忽略過去.事實(shí)上在這一章中，會(huì)更為系統(tǒng)地介紹一般的集合概念，并將以往熟知的映射與函數(shù)推廣到更為廣泛的概念——關(guān)系.

當(dāng)然讓學(xué)生知道本章內(nèi)容的重要性，不再感覺這些“繁瑣”的概念枯燥無味更為重要.這里不妨從一個(gè)悖論說起，因?yàn)閿?shù)學(xué)的歷史及發(fā)展本身就是激發(fā)興趣的最佳方式，而且了解了歷史，就更清楚它的重要性.

何為悖論，較為淺顯的說法便是對于一命題，無論肯定它還是否定它，都將導(dǎo)致矛盾的結(jié)果.比如有人說：“我正在說謊.”如果肯定這句話為真，則按照這句話的意思就該推出這句話為假；若否定這句話，那么按照這句話的意思就該推出這句話為真.無論如何都是矛盾的.

自從19世紀(jì)八十年代，德國數(shù)學(xué)家康托創(chuàng)立集合論以后，數(shù)學(xué)的眾多概念均用集合的語言加以描述，并且到19世紀(jì)末，人們把數(shù)學(xué)的不矛盾性歸結(jié)為集合論的不矛盾性，使集合成為整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基石.以至于大數(shù)學(xué)家龐加萊宣稱：“數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性到今天可以說實(shí)現(xiàn)了！”然而不到兩年，羅素宣布了著名的羅素悖論.

一般情況下，集合自身的運(yùn)算只會(huì)是包含關(guān)系，即A奐A.但康托等人早期建立的集合論，即通常所說的樸素集合論，卻會(huì)出現(xiàn)集合屬于自身的問題，即A∈A.限于只是為了讓學(xué)生了解這一問題，故無須過于理論化，可用如下例子簡單說明.

例1 A為某集族 (即A的元素也是集合)，其中A的元素是含有兩個(gè)以上元素的集合，即A={B|B中含有兩個(gè)以上元素}.

可見A中至少可含有B1，B2，B3，即A也含有兩個(gè)以上元素，故A∈A.

如果承認(rèn)了集合可以考慮是否屬于自身的問題，就可以從“不屬于自身的條件”出發(fā)構(gòu)造集合，見下面的例題.

例2 設(shè)P={A|A埸A}，即P是由所有那些不屬于自身的集合所組成的.由于P本身也是集合，故又可進(jìn)一步考查“P是否屬于自身”這一問題，依排中律知必有P∈P或P埸P.若P∈P，由P的定義知P不屬于自身，即P埸P；若P埸P，由P的定義知P∈P.因而無論哪種情形，都是自相矛盾的.

羅素將這一情況概括為理發(fā)師悖論，即托馬斯（本市一位理發(fā)師）承諾只為本市不給自己理發(fā)的人理發(fā).于是不論托馬斯是否給自己理發(fā)，均是矛盾的.

羅素悖論的表述簡單清晰并且準(zhǔn)確無誤，對已形成的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)產(chǎn)生巨大沖擊，由此引起數(shù)學(xué)界的激烈討論，并被數(shù)學(xué)史界稱為第三次數(shù)學(xué)危機(jī).同時(shí)也促進(jìn)人們對公理化集合論的研究，最終建立外延公理及內(nèi)涵公理，從而排除了“集合屬于集合自身”這一現(xiàn)象的出現(xiàn).

注1：我們通常學(xué)習(xí)的仍然是樸素集合論，但在涉及集合運(yùn)算時(shí)，總是先考慮有一“完全集”包含所有元素，其它集合只能為其子集，以排除“集合屬于集合自身”.

注2：經(jīng)過作者多年來講授這一章節(jié)的經(jīng)驗(yàn)來看，理工科的大學(xué)生都能聽懂，并饒有興致的提出自己想法.或許只是本章開始時(shí)十多分鐘的閑談，所激發(fā)學(xué)生互動(dòng)的積極性遠(yuǎn)超出筆者的想象.

3 代數(shù)系統(tǒng)的第一次課

這里代數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)容不同于之前學(xué)習(xí)的課程高等代數(shù)或線性代數(shù)，所涉及的概念為高度抽象的群、環(huán)、域等.如果在開始介紹主體內(nèi)容之前，只是簡單提及學(xué)生較為熟知的有理數(shù)域、實(shí)數(shù)域及多項(xiàng)式環(huán)，很難令學(xué)生知道本章的任務(wù)，并對所學(xué)內(nèi)容形成總體印象，產(chǎn)生興趣更是無從談及.我們不得不再次提起數(shù)學(xué)的歷史及發(fā)展本身就是激發(fā)興趣的最佳方式，而大家耳熟能詳?shù)娜宋锔芗ぐl(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力.作為本章的前言，可由四次以上方程的根式解說起.

對于實(shí)系數(shù)n次代數(shù)方程xn+a1xn-1+…+an=0，至多n個(gè)實(shí)根.當(dāng)n=2時(shí)，有我們熟知的韋達(dá)定理和根式解.這樣一元二次方程便可簡單計(jì)算求出，于是人們會(huì)期望對于所有的n次代數(shù)方程，都能得到根式解，很快三次方程、四次方程在科學(xué)家們的努力下都得到了，然而令人們意外的是五次及五次以上方程很長時(shí)間都無法得到根式解.但卻很少有人猜測五次及五次以上方程沒有根式解，因?yàn)楹茈y感覺到五次方程與二次、三次、四次方程會(huì)有差別.直到一位伽羅瓦的數(shù)學(xué)天才用抽象代數(shù)中的伽羅瓦理論證明了“五次及五次以上方程無根式解”.而這里所說的抽象代數(shù)，其核心理論——群、環(huán)、域，正是代數(shù)系統(tǒng)這一章所要討論的.

事實(shí)上，很多學(xué)生在幼兒園或小學(xué)都學(xué)過“尺規(guī)作圖”，并都知道怎樣用圓規(guī)直尺二等分任意角，或許也試過能否三等分角.其實(shí)“能否用圓規(guī)直尺三等分任意角”一直被視為古典數(shù)學(xué)難題之一，或許直到今天，仍然還在耗費(fèi)某些不明原委的現(xiàn)代人的精力.當(dāng)然這一古典數(shù)學(xué)難題早已可以用抽象代數(shù)來解決：“尺規(guī)作圖三等分任意角是不可能的”.可見抽象代數(shù)的重要性，就如同登山一般，當(dāng)人們登上極為困難的“抽象代數(shù)”這座高峰后，俯身看到更美的風(fēng)景，而且其它原本也很難攀登的小山——比如根式解問題、三等分角問題，竟已成一部分景色，當(dāng)然也不在困難了.

同時(shí)，為進(jìn)一步提高學(xué)生的興致，可介紹國人耳熟能詳?shù)拇髷?shù)學(xué)家——華羅庚.華羅庚出生家境貧寒，初中畢業(yè)后沒有繼續(xù)讀高中，后就讀于上海中華職業(yè)學(xué)校，但終因經(jīng)濟(jì)困難而中途輟學(xué).而恰是由于四次以上方程根式解(或者抽象代數(shù))改變了他的一生，也造就了這位20世紀(jì)世界上最具傳奇性的數(shù)學(xué)家.其實(shí)，他并未因輟學(xué)而放棄對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，利用一切閑雜時(shí)間自學(xué)了大學(xué)中的數(shù)學(xué)基本課程，包括代數(shù)、幾何和微積分.19歲那年，他注意到上?！犊茖W(xué)》雜志上一位蘇家駒教授關(guān)于代數(shù)五次方程式解法的論文.他心想國外那位伽羅瓦的數(shù)學(xué)家百余年前已經(jīng)否定了四次以上方程存在根式解的可能性，如果蘇教授是正確的，一定會(huì)讓當(dāng)時(shí)戰(zhàn)亂不斷的中國在世界數(shù)學(xué)舞臺上擁有一席之地；倘若，蘇教授是錯(cuò)誤的，那一定應(yīng)指出其中的問題，維護(hù)科學(xué)的準(zhǔn)確性.經(jīng)華羅庚的驗(yàn)證，說明蘇教授的確是錯(cuò)了.于是在1930年，他在《科學(xué)》雜志上發(fā)表論文《蘇家駒之代數(shù)的五次方程式解法不能成立的理由》.這篇論文不但顯示了這位19歲青年的數(shù)學(xué)才華，還展示了驚人的膽識——敢于挑戰(zhàn)國內(nèi)的權(quán)威教授.更重要的是，這篇論文引起了當(dāng)時(shí)清華大學(xué)數(shù)學(xué)系主任熊慶來的注意，并破格將他帶進(jìn)清華園，于是很快中華第一學(xué)府有了一位沒有經(jīng)高中、大學(xué)學(xué)習(xí)的助教.再后來，經(jīng)英國劍橋大學(xué)研究深造，并先后輾轉(zhuǎn)國內(nèi)外多個(gè)頂級學(xué)府，成為一代大數(shù)學(xué)家.解放后毅然回國，領(lǐng)導(dǎo)中國的數(shù)學(xué)研究和普及工作，在此期間培養(yǎng)了一大批數(shù)學(xué)專業(yè)人才，其自身也在數(shù)學(xué)多個(gè)領(lǐng)域做出重要貢獻(xiàn).以至于克拉達(dá)說：“華羅庚形成中國數(shù)學(xué).”同時(shí)又與郭沫若等人參與創(chuàng)建中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)，并擔(dān)任副校長和第一任數(shù)學(xué)系主任.當(dāng)然我們也很熟悉關(guān)于陳景潤和哥德巴赫猜想的故事，而陳景潤的成功正是得益于華羅庚這位伯樂.于是自有了熊慶來與華羅庚這段數(shù)學(xué)佳話后，又有了中國數(shù)學(xué)的又一段華羅庚與陳景潤的佳話.

根據(jù)筆者的經(jīng)驗(yàn)，只是簡單介紹了相關(guān)的數(shù)學(xué)故事，但卻令學(xué)生情緒高漲，迫切想要知道這代數(shù)系統(tǒng)里是什么樣“精巧”的內(nèi)容，能解決這么多的有意思的問題.憑著對數(shù)學(xué)大師的尊敬，學(xué)生也很想體驗(yàn)一下大師們所做的事情.當(dāng)學(xué)生們對將要學(xué)的知識有了濃厚的興趣，“難”與“抽象”便不再那么可怕了.

〔1〕翟明清.淺析圖論教學(xué)[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2011，27(5):203-206.

〔2〕強(qiáng)曉鳳.離散數(shù)學(xué)雙語教學(xué)探討[J].廣東技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2011(3):68-69.

〔3〕魏小燕.淺談離散數(shù)學(xué)教學(xué)心得[J].湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院學(xué)報(bào),2011,8(9):191-192.

〔4〕黃震.《離散數(shù)學(xué)》課程教學(xué)模式改進(jìn)方法的探討[J].商丘職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào),2011,10(5):19-21.

〔5〕薛占熬，齊歌，杜浩翠，等.離散數(shù)學(xué)的課堂導(dǎo)入法研究[J].計(jì)算機(jī)教育,2010(8):95-99.

〔6〕呂誠，孫秀華，呂敏.主范式的計(jì)算方法及其在命題公式中的作用[J].宜春學(xué)院學(xué)報(bào),2011,33(4):39-40.

O158

A

1673-260X（2012）05-0014-03

安徽省自然基金項(xiàng)目資助(KJ2011z057)