李 奕

（湖北工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，湖北 武漢430068）

氣力輸送就是氣固二相流，當(dāng)氣流中含有大量細(xì)小固體顆粒，且流動(dòng)速度足夠大時(shí)，固體顆粒的流動(dòng)類(lèi)似于流體［1－2］.氣固二相流中要研究的就是固體顆粒和氣流二相之間因?yàn)橄嗷プ饔枚纬傻牧鲃?dòng)問(wèn)題.在顆粒的堆積和粉體力學(xué)中，考慮的是顆粒因?yàn)橄嗷ソ佑|所產(chǎn)生的力和流變問(wèn)題，并未考慮氣流和顆粒之間的相互作用，屬于靜力學(xué)范疇［3］.氣固二相流動(dòng)屬于動(dòng)力學(xué)范疇，只考慮氣流和顆粒之間因?yàn)橄鄬?duì)運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的相互作用，不考慮顆粒之間的相互作用［4］.

1 作用在粒子上的氣流作用力

氣流中粒子的平動(dòng)和回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方程式在直角坐標(biāo)系（o－x1x2x3）中可以用下式表示［5］

式中：m表示粒子質(zhì)量，t表示時(shí)間，ρs表示粒子密度，gi表示重力加速度，V表示粒子體積，A表示粒子表面積，pij表示粒子表面的氣流應(yīng)力，nj表示法線矢量，Mi表示繞粒子慣性軸回轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)矩，ωi表示粒子的角速度，Ii表示粒子的主慣性矩.

管道內(nèi)的粒子運(yùn)動(dòng)可以用下面方法進(jìn)行數(shù)值解析，將管壁、管道入口、管道出口以及粒子表面作為邊界條件帶入運(yùn)動(dòng)方程式，再求出粒子表面的氣流應(yīng)力pij，將其帶入運(yùn)動(dòng)方程式，解出粒子新的位置，然后將這個(gè)過(guò)程反復(fù)循環(huán)進(jìn)行.為了正確求解粒子的運(yùn)動(dòng)，必須準(zhǔn)確計(jì)算出氣流應(yīng)力pij，為此，必須保證足夠的計(jì)算精度.當(dāng)輸送的粒子多數(shù)形狀都較為復(fù)雜時(shí)，利用這種方法計(jì)算將變得非常困難.于是，通常在計(jì)算粒子回轉(zhuǎn)時(shí)將粒子的宏觀流動(dòng)簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單流動(dòng)，從而將氣流應(yīng)力pij簡(jiǎn)化為等效的力.這些力包括氣流阻力、橫向力、附加質(zhì)量力、浮力、渦旋力等.在空氣輸送中，流體密度差別很大的時(shí)候，阻力和升力是重要的流體力，需要仔細(xì)考慮.

如圖1所示，設(shè)速度為U的氣流中顆粒表面受到的氣流法線應(yīng)力為p，剪應(yīng)力為τ，則顆粒表面A受到的流動(dòng)方向的阻力的合力FD和垂直方向的升力FL分別為：

阻力系數(shù)CD和升力系數(shù)CL可以由

確定.其中，AD、AL分別表示顆粒表面積在各個(gè)作用力方向的投影面積.對(duì)于粒子流動(dòng)過(guò)程中的輸送阻力，各種顆粒有多種測(cè)量方法.Morsi等利用雷諾數(shù)Re來(lái)表達(dá)均勻流動(dòng)中單個(gè)顆粒的阻力系數(shù)系數(shù)C0、C1、C2根據(jù)表1決定.粒子群中單個(gè)粒子的阻力系數(shù)和自由流動(dòng)的阻力不同，根據(jù)Di Felice的研究，可做修正為

圖1 粒子受力模型

表1 單個(gè)粒子的阻力系數(shù)

球形粒子的作回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在Magnus力.根據(jù)日本科學(xué)家辻裕的研究，可以利用下式來(lái)確定升力系數(shù)：

式中，Γ＝ωD／2U，其中ω為粒子的回轉(zhuǎn)角速度.

如圖2所示，在氣流的速度梯度Π很大的場(chǎng)合，若設(shè)粒子和氣流的相對(duì)速度為Ur，在流動(dòng)的垂直方向上還受到如圖2所示Saff man力的作用.

圖2 Saff man力模型

2 單個(gè)球形粒子的運(yùn)動(dòng)和沉降速度

分析在均勻氣流作用下，以初速度（vxo，vyo，vzo）從原點(diǎn)投入的單個(gè)球形粒子的運(yùn)動(dòng).令x為水平方向，y為鉛垂向上方向，z為氣流的流動(dòng)方向（圖3）.根據(jù)stokes法則，有

圖3 水平氣流中粒子的運(yùn)動(dòng)

若忽略橫向的旋轉(zhuǎn)，可得粒子的運(yùn)動(dòng)方程式為：

解得：

因?yàn)閠＊非常小，初始狀態(tài)下vx＝0，vy＝gt＊，vz＝U，因此粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡為：

可見(jiàn)，在與氣流流動(dòng)方向垂直的x方向滲入深度取決于vxot＊的大小，而與氣流速度U沒(méi)有關(guān)系，將這個(gè)滲入深度稱為停止舉例.t＊是沿粒子的流動(dòng)方向設(shè)定的時(shí)間基準(zhǔn)，稱為緩沖時(shí)間，用來(lái)衡量粒子慣性的大小.

作為粒子的另一個(gè)特性，粒子的最終沉降速度設(shè)為ug；粒子在自重、浮力和氣流阻力的共同作用下勻速下降時(shí)的速度稱為最終自由落下速度.對(duì)于球形粒子，有

將式（1）帶入上式，并利用Re＝ugD／ν，得：

式中，Ga稱為伽利略數(shù)，也稱為阿基米德數(shù).當(dāng)St okes法則成立時(shí)，有

在空氣輸送過(guò)程中，在上升氣流中粒子的懸浮速度ug也稱為懸浮速度.為了使ug很小的粒子在上升氣流中處于懸浮狀態(tài)，氣流作用力也很小.

3 管道空氣輸送中粒子的運(yùn)動(dòng)

在管內(nèi)流動(dòng)時(shí)，因?yàn)楣鼙诘脑?，流?dòng)受到約束，和管壁發(fā)生碰撞會(huì)產(chǎn)生能量損失.另外，管內(nèi)存在大量粒子時(shí)，粒子之間也會(huì)發(fā)生碰撞，能量損失和粒子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間存在相互影響［6］.如果把這種粒子群作為流體的一個(gè)整體，在定常流狀態(tài)下可得該式是均一粒子群的方程.式中，c為粒子體積，d s為流動(dòng)的微小長(zhǎng)度，n為粒子個(gè)數(shù)，D為管道直徑，λs為粒子群和管壁摩擦系數(shù)，d為粒子直徑.

對(duì)于滿足Stokes法則的粒子群，式（2）可寫(xiě)成

對(duì)于流速為u的氣流，假設(shè)λs為常數(shù)時(shí)，解出上式得

式中，ζ＝λsut＊／2d，加速結(jié)束后的勻速速度稱為最終速度，解出該速度為

從上式可看出，λs和t很大時(shí)，粒子群的速度較小.對(duì)于垂直上升的輸送狀態(tài)，速度為

若把CD看作是一個(gè)常數(shù)，垂直向上輸送時(shí)，速度為

通過(guò)以上分析可看出，因?yàn)橹亓Φ脑?，垂直輸送比水平輸送狀態(tài)下粒子的速度要更小.

4 靜止粉體層的壓力損失

當(dāng)氣流從粒子間低速透過(guò)時(shí)，氣流的體積流量Q和流動(dòng)方向x向的壓力梯度d p／d x之間的關(guān)系為

這個(gè)方程稱為達(dá)西（darcy）方程.式中，K為透過(guò)系數(shù)，A為粒子層空隙截面積，利用表觀速度U＝Q／A，可得

式中，k＝νK／g稱為透過(guò)率，壓力損失和U成正比，和k成反比.

在空隙率很小的時(shí)候，粒子層中的氣流可以看成是毛細(xì)管聚集形成的毛細(xì)管模型.粒子層的流體平均深度

式中，Va為粒子層的空隙體積，St為層內(nèi)粒子的總表面積的比值，S’＝St／Vs表示粒子層內(nèi)的粒子群的平均比表面積，Vs表示層內(nèi)粒子的總體積.如果用ue表示毛細(xì)管內(nèi)的氣流流速，Le表示毛細(xì)管模型的粒子層等價(jià)長(zhǎng)度，de表示模型中毛細(xì)管的直徑，因?yàn)閐e ＝4rh ＝4ε／S’（1－ε），根據(jù) Hagen－Poiseuille法則可得

若氣流流過(guò)長(zhǎng)度為L(zhǎng)e的通道所需時(shí)間和流過(guò)長(zhǎng)度為L(zhǎng)的粒子層實(shí)際所用的時(shí)間相等，即Le／ue＝L／（U／ε），則壓力損失將上式與式（3）比較，式中，C取1／180～1／150之間的數(shù)值.以上公式在Re＝UDSV／ν≤20的情況下成立.

紊流可以認(rèn)為是在一個(gè)粗管道中流動(dòng).根據(jù)Burke－plu mmer方程，假設(shè)摩擦系數(shù)為λo，在雷諾數(shù)為常數(shù)時(shí)，壓力損失

對(duì)于范圍變化較大的雷諾數(shù)Re，根據(jù)Ergun公式，有

在截面積為A，長(zhǎng)度為L(zhǎng)的管道中，大小相同的球形粒子在靜止的情況下，如果用R表示粒子群中一個(gè)粒子收到的氣流阻力，N表示粒子個(gè)數(shù)，壓力損失和氣流阻力之間存在AΔp＝RN ，因?yàn)榭傻?/p>

式中，CDm表示粒子群中一個(gè)粒子所受到的阻力系數(shù).

將上式兩邊分別除以管道長(zhǎng)度L，并帶入Ergun公式，得

5 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了在氣力輸送過(guò)程中，粒子受到的氣流作用力，推導(dǎo)了單個(gè)粒子在氣流中運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程式以及利用管道進(jìn)行空氣輸送時(shí)，粒子的運(yùn)動(dòng)方程式.另外對(duì)于氣流透過(guò)靜止粉體層的壓力損失表達(dá)式進(jìn)行了推導(dǎo)，為空氣管道輸送積累了必要的理論基礎(chǔ).

［1］周仕學(xué)，張鳴林.粉體工程導(dǎo)論［M］.北京：科學(xué)出版社，2010.

［2］謝洪勇.粉體力學(xué)與工程［M］.北京：化學(xué)工業(yè)出版社，2003.

［3］葉 菁.粉體科學(xué)與工程基礎(chǔ)［M］.北京：科學(xué)出版社，2009.

［4］楊 倫，謝一華.氣力輸送工程［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2006.

［5］Nedder man R M.Statics and kinematics of granular materials［M］，Cambridge ：Cambridge University Press，1992.

［6］Morsi S M，Alexander A J.An lnvestigation of partical trajectories in two－prase flow Systems［J］.Fluid Mech，1972，55（2）：193－208.