呂湘連，何 洋

(西北工業(yè)大學(xué)陜西省微/納米系統(tǒng)重點實驗室，西安 710072)

優(yōu)化一直是設(shè)計中的一個重要命題。在MEMS設(shè)計中也一樣，可行高效的優(yōu)化方法一直是設(shè)計者們追求的目標(biāo)［1－6］。尤其在系統(tǒng)級設(shè)計中，好的優(yōu)化方法對設(shè)計者快速得到滿意設(shè)計方案，減少仿真迭代次數(shù)都具有非常重要的意義。

一般的優(yōu)化問題都可以表達(dá)成一個通用形式:

優(yōu)化目標(biāo):minf(xi)，(i=1，2，…，n)

約束條件:gk(xi)≤0(k=1，2，…，I)，hj(xi)≤0(j=1，2，…，J)

但是，相比于一般的優(yōu)化問題，MEMS系統(tǒng)級優(yōu)化存在很大的特殊之處。MEMS因為其多學(xué)科交叉、多域耦合的特點，要得到其優(yōu)化目標(biāo)的的函數(shù)形式，即得到f(xi)的具體表達(dá)形式，是非常困難的。文獻(xiàn)［7］中，通過復(fù)雜的公式推導(dǎo)得到了微機(jī)械陀螺的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)——靈敏度與七個待優(yōu)化參數(shù)之間的函數(shù)表達(dá)式，在此基礎(chǔ)上基于遺傳算法的全局搜索得到了一組理想的優(yōu)化解。與上述方法類似，即在得到優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)解析表達(dá)式的前提下進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的還有很多［8－11］。

然而，事實上，對于一個MEMS優(yōu)化問題，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式的獲得往往不都是這么有經(jīng)驗可循，而且上述優(yōu)化方法建立在得到解析的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)之上，不是嚴(yán)格意義上的系統(tǒng)級優(yōu)化。而且對于設(shè)計工具中的優(yōu)化模塊而言，需要提供給設(shè)計者的應(yīng)該是一種相對容易操作和實現(xiàn)的優(yōu)化方法。

為了體現(xiàn)MEMS系統(tǒng)級優(yōu)化問題和一般優(yōu)化問題的特殊性，首先需要對當(dāng)前MEMS系統(tǒng)級模型進(jìn)行簡單介紹。

1 MEMS的系統(tǒng)級模型

統(tǒng)一建模方法是當(dāng)前MEMS系統(tǒng)級建模一致使用的方法，該方法采用同一種建模方法和同一種語言，如硬件描述語言，對系統(tǒng)進(jìn)行建模和描述，因此用一個仿真器即可實現(xiàn)對整個系統(tǒng)的仿真。西北工業(yè)大學(xué)提出的多端口組件網(wǎng)絡(luò)模型(MuPEN)方法，就是基于統(tǒng)一建模方法的思想提出的一種具體系統(tǒng)級建模規(guī)范［12］。依此開發(fā)的MuPEN模型庫，成為MEMS系統(tǒng)級建模的基礎(chǔ)。

MuPEN方法把MEMS器件按照功能分為多個功能結(jié)構(gòu)部件，并把其建模為參數(shù)化多端口組件。各功能結(jié)構(gòu)部件的行為通過組件的端口變量信號表征。通過組件端口的相互聯(lián)結(jié)形成的網(wǎng)絡(luò)，表征整個MEMS器件。多端口組件的端口一般與功能結(jié)構(gòu)部件自由度對應(yīng)。組件的端口信號之間的關(guān)系采用低階常微分代數(shù)方程描述，以加快系統(tǒng)的仿真計算速度。

但是，基于MuPEN方法的MEMS系統(tǒng)級仿真，其特征之一在于:系統(tǒng)級行為模擬不是基于顯式表達(dá)的解析式完成的，而是通過組件端口的相互聯(lián)結(jié)形成的網(wǎng)絡(luò)，再根據(jù)其內(nèi)部能量和信號流動來完成的，而這一行為往往通過某一仿真平臺，如Saber來實現(xiàn)。這就造成了MEMS系統(tǒng)級優(yōu)化問題和一般優(yōu)化問題的不同之處在于:MEMS系統(tǒng)級優(yōu)化問題的優(yōu)化目標(biāo):minf(xi)，(i=1，2，…，n)，其函數(shù)表達(dá)式不能直接得到，而在優(yōu)化問題中，優(yōu)化目標(biāo)的函數(shù)表達(dá)式往往是決定后續(xù)優(yōu)化搜索的基礎(chǔ)。因此，如何直接得到準(zhǔn)確的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式，成為實現(xiàn)MEMS系統(tǒng)級優(yōu)化問題的關(guān)鍵，而本文就探索了一種近似模型的方法來克服這一問題。

2 基于近似模型的MEMS系統(tǒng)級優(yōu)化方法

基于近似模型的MEMS系統(tǒng)級優(yōu)化方法，是在給定MEMS器件結(jié)構(gòu)及其待考察性能指標(biāo)和優(yōu)化變量的條件下，基于多端口組件庫構(gòu)建MEMS器件的系統(tǒng)級模型，在試驗設(shè)計的基礎(chǔ)上進(jìn)行系統(tǒng)級仿真，通過對仿真試驗結(jié)果進(jìn)行回歸分析建立待考察性能指標(biāo)和優(yōu)化變量之間的函數(shù)關(guān)系，即近似模型，基于近似模型寫出優(yōu)化目標(biāo)和約束條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式，對其進(jìn)行優(yōu)化并得到優(yōu)化結(jié)果。

該方法最大的特點和效果就是，通過近似模型的獲得，來解決現(xiàn)有MEMS系統(tǒng)級優(yōu)化問題中優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)不能直接得到的問題。

3 優(yōu)化實例——y軸微機(jī)械陀螺

為了體現(xiàn)本文提出的系統(tǒng)級優(yōu)化方法的可行性和有效性，作者給出了一個相對簡單的優(yōu)化實例。圖1分別為一個微機(jī)械陀螺的三維結(jié)構(gòu)示意圖和設(shè)計參數(shù)示意圖。待優(yōu)化變量包括器件厚度t，梁寬w，梁長l1，l2，l3。各已有幾何參數(shù)和材料參數(shù)為:質(zhì)量塊長700 μm，質(zhì)量塊寬600 μm，材料彈性系數(shù)E:130GPa，密度ρ:2 330 kg/m3，泊松比 λ:0.22。作為約束條件，各待優(yōu)化參數(shù)取值范圍為:3 μm≤w≤20 μm，3 μm≤t≤20 μm，50 μm≤l1≤1 000 μm，20 μm≤l2≤1 000 μm，20 μm≤l3≤1 500 μm，且要求l1－l3≥0。

圖1 y軸陀螺結(jié)構(gòu)示意圖和設(shè)計參數(shù)示意圖

對于該陀螺，我們最關(guān)注的性能參數(shù)是其驅(qū)動模態(tài)諧振頻率fx和檢測模態(tài)諧振頻率fz盡可能接近從而達(dá)到模態(tài)匹配的效果，且希望其頻率值在3 000 Hz附近。

在使用本文提出的基于近似模型的方法對y軸微機(jī)械陀螺建模時，首先在Saber Sketch中建立器件的多端口組件網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)級模型如圖2所示。

由于優(yōu)化參數(shù)有5個，而且各參數(shù)的取值范圍比較大，為了使得在有限次計算的情況下獲得更好的采樣數(shù)據(jù)，本文選用了均勻試驗設(shè)計方法，對各參數(shù)(因素)選取15個水平，按照U15(155)的均勻試驗設(shè)計表選取了15組試驗方案。由于該y軸陀螺的關(guān)鍵性能指標(biāo)分別是驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率fx和檢測模態(tài)的諧振頻率fz，這兩個指標(biāo)也就是該器件的待考察性能指標(biāo)，因此，對每組試驗方案，在Saber平臺下進(jìn)行系統(tǒng)級仿真，得到相應(yīng)的fx和fz值，具體試驗方案和相應(yīng)的待考察性能指標(biāo)結(jié)果如表1。

表1 y軸陀螺的均勻試驗設(shè)計方案及相應(yīng)的待考察性能指標(biāo)結(jié)果

因為均勻設(shè)計表無整齊可比性，故在均勻試驗設(shè)計中需用回歸分析方法來處理試驗數(shù)據(jù)，通過回歸分析建立待考察性能指標(biāo)和優(yōu)化變量之間的函數(shù)關(guān)系。使用Matlab軟件編程進(jìn)行回歸分析，分別得到驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率fx與檢測模態(tài)的諧振頻率fz與優(yōu)化變量之間的二次回歸方程，如下:

為了衡量該近似模型和采樣點數(shù)據(jù)之間的誤差，這里分別計算其誤差向量的 2－范數(shù)R2為0.983 8和0.981 9，滿足數(shù)據(jù)擬合中R2值最好大于0.9的要求，近似模型比較準(zhǔn)確的反映了采樣處待考察性能和待優(yōu)化變量之間的函數(shù)關(guān)系。

在得到驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率fx與檢測模態(tài)的諧振頻率fz與優(yōu)化變量之間表達(dá)式的基礎(chǔ)上，寫出顯式的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)并不困難:

優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)中，|fz－fx|表示驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率fx與檢測模態(tài)的諧振頻率fz的差值，|fx－3 000|表示驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率fx與目標(biāo)值3 000Hz的差值，優(yōu)化目標(biāo)是使這兩部分的和最小，也就是使fx與fz差值最小，同時fx在3 000 Hz左右。

結(jié)合優(yōu)化目標(biāo)和約束條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式，采用序列二次規(guī)劃算法實現(xiàn)優(yōu)化。得到的優(yōu)化結(jié)果如表2。

表2 y軸陀螺的優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié)果及總結(jié)

至此，基于近似模型進(jìn)行y軸陀螺的系統(tǒng)級優(yōu)化完成。在所得的優(yōu)化參數(shù)下，經(jīng)過多端口組件網(wǎng)絡(luò)的方法進(jìn)行系統(tǒng)級仿真，得到驅(qū)動模態(tài)的諧振頻率fx和檢測模態(tài)的諧振頻率fz分別為3 074 Hz和2 998 Hz，兩者之間相差76 Hz，較好的實現(xiàn)了模態(tài)匹配，且都在3 000 Hz的設(shè)計要求附近，約束條件也得到了滿足。該優(yōu)化方法為提高所設(shè)計器件的性能具有參考意義。

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