楊曉輝 劉小平 柳和生 徐少平

（①南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西南昌330031;②南昌大學(xué)信息工程學(xué)院，江西南昌 330031）

永磁同步電動機(jī)混沌控制是非線性科學(xué)中的一個熱門研究領(lǐng)域，1990年，美國物理學(xué)家Ott、Grebogi和Yorke［1］提出利用參數(shù)微擾法（簡稱 OGY方法）控制混沌。隨后混沌控制研究已經(jīng)涌現(xiàn)了大量的混沌控制方法，常用的控制方法有強(qiáng)迫遷徙法［2］、自適應(yīng)控制、延時反饋控制［3－4］等。

永磁同步電動機(jī)是一種典型的多變量、強(qiáng)耦合非線性系統(tǒng)，在某些參數(shù)及工作條件下會呈現(xiàn)混沌行為［5］，主要表現(xiàn)為轉(zhuǎn)矩和轉(zhuǎn)速的間歇振蕩、系統(tǒng)不規(guī)則的電磁噪聲等。這些不規(guī)則運(yùn)動嚴(yán)重影響著系統(tǒng)的穩(wěn)定運(yùn)行，如何對永磁同步電動機(jī)系統(tǒng)中的混沌行為進(jìn)行控制已成為關(guān)注的焦點(diǎn)。首先對永磁同步電動機(jī)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了精確線性化，然后利用相應(yīng)的技術(shù)將其控制到平衡點(diǎn)，然而此方法較為復(fù)雜，使得物理實(shí)現(xiàn)較為困難［7］。給出了一種基于Washout濾波技術(shù)的永磁同步電動機(jī)混沌控制方法，但這種方法的控制代價較大［8］。

本文基于永磁同步電機(jī)中混沌運(yùn)動的同步狀態(tài)反饋控制，設(shè)計了一種具有最簡形式的同步狀態(tài)反饋控制器，實(shí)現(xiàn)了永磁同步電動機(jī)中的混沌同步控制。

1 永磁同步電動機(jī)數(shù)學(xué)模型及其數(shù)字仿真

id、iq、ω為系統(tǒng)狀態(tài)變量，分別表示d軸定子電流、q軸定子電流和轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度ω，永磁同步電動機(jī)的數(shù)學(xué)模型可以寫為

上述模型經(jīng)過仿射和時間尺度變換后的均勻氣隙永磁同步電動機(jī)數(shù)學(xué)模型為

式中:id、iq、ω為系統(tǒng)狀態(tài)變量，分別表示d軸定子電流、q軸定子電流和轉(zhuǎn)子機(jī)械角速度;~ud、~uq和~TL分別為d、q軸定子電壓和負(fù)載扭矩;γ、σ為系統(tǒng)參數(shù)。

一般地，我們考慮電動機(jī)系統(tǒng)沒有外力的情形。這時可以看作是永磁同步電動機(jī)空載運(yùn)行一段時間后突然斷電，各外部輸入項(xiàng)為零的情形，即~ud=0，~uq=0和~TL=0。此時式（2）系統(tǒng)可表述為

當(dāng) σ =5.45，γ 分別為16、20、100，式（3）系統(tǒng)存在不同的參數(shù)下呈現(xiàn)不同的動態(tài)行為。此時永磁同步電動機(jī)表現(xiàn)為混沌行為，其典型混沌吸引子如圖1所示。混沌的存在將嚴(yán)重破壞永磁同步電動機(jī)的穩(wěn)定運(yùn)行，甚至?xí)饌鲃酉到y(tǒng)的崩潰。所以，必須抑制永磁同步電動機(jī)的混沌運(yùn)動。

2 狀態(tài)觀測器法控制器的設(shè)計

式（3）系統(tǒng)可以被改寫為式（4）系統(tǒng)的第一行的形式為

式中:x是系統(tǒng)狀態(tài)變量;A和B是已知的定常矩陣;D是系統(tǒng)的常數(shù)項(xiàng);w是驅(qū)動系統(tǒng)的輸出;K是要求的反饋增益矩陣。比較式（3）與式（4），可得到系統(tǒng)參數(shù)為

取

根據(jù)式（4）系統(tǒng)可設(shè)計其狀態(tài)觀測器為

式中:y是狀態(tài)觀測器的狀態(tài)變量;v是狀態(tài)觀測器的輸出;D是系統(tǒng)的常數(shù)項(xiàng)。

定義式（4）和（5）系統(tǒng)的誤差矢量為

對式（6）求導(dǎo)，再將式（5）與式（4）代入，得到如下的動力學(xué)誤差系統(tǒng)為

令M=A－BK，則

如果對角矩陣K滿足條件λi≤0，其中λi是矩陣M的特征值，則式（7）的狀態(tài)向量漸近收斂到零，即式（4）驅(qū)動系統(tǒng)和式（5）響應(yīng)系統(tǒng)漸近同步。通過解微分方程=Me，得

下面我們利用極點(diǎn)配置法來求增益矩陣K。式（1）系統(tǒng)不穩(wěn)定平衡點(diǎn)為x0=［0.8，0.6，0.2］，得到受控閉環(huán)系統(tǒng)在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)x0的Jacobi矩陣為

通過配置，可得到相應(yīng)的K值。我們希望系統(tǒng)能夠滿足綜合指標(biāo)為:輸出超調(diào)量σp≤5%;超調(diào)時間tp≤0.5 s，系統(tǒng)頻寬 ~ω≤10。，選其中一對主極點(diǎn)，另一個遠(yuǎn)極點(diǎn)，可取希望的極點(diǎn)為s1，2= －7 ±3j，s3= －11，所以可以構(gòu)成特征多項(xiàng)式，從而得到我們的a11、a22、a33，則可得到為

3 仿真結(jié)果分析

利用MATLAB軟件對以上得出的數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)值模擬，利用四階Runge－Kutta算法檢驗(yàn)式（4）驅(qū)動系統(tǒng)與它的式（5）狀態(tài)觀測器是否達(dá)到同步。取步長為τ=0.001，式（4）驅(qū)動系統(tǒng)及其式（5）狀態(tài)觀測器的初始值為:x1（0）=0.8，x2（0）=0.6，x3（0）=0.2以及y1（0）=0.6，y2（0）=4.1，y3（0）=3.1;由誤差計算公式e=y－x可得初始誤差為:e1= －0.2，e2= －3.5，e3=2.9。圖2顯示了驅(qū)動－響應(yīng)系統(tǒng)的對應(yīng)狀態(tài)分量隨時間變化的曲線。圖3為誤差系統(tǒng)分量e1、e2和e3隨時間變化的曲線。從圖2和圖3可以看出，利用設(shè)計的增益矩陣K，很快實(shí)現(xiàn)了式（4）驅(qū)動系統(tǒng)和其狀態(tài)觀測器之間的同步。同時還可得出結(jié)論:對J取不同的值，通過極點(diǎn)配置法，可以得到多種增益矩陣K，即可設(shè)計多種狀態(tài)控制器，而且可以看到系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)特性完全符合期望的綜合指標(biāo)要求。這說明基于狀態(tài)觀測器的同步法非常靈活，方便，具有很多優(yōu)點(diǎn)。

4 結(jié)語

本文基于狀態(tài)觀測器的同步控制，實(shí)現(xiàn)了永磁同步電動機(jī)中的混沌控制。并且通過對極點(diǎn)配置來得到狀態(tài)觀測器進(jìn)行同步控制，該控制器結(jié)構(gòu)具有最簡形式，控制代價小，易于工程實(shí)現(xiàn)。另外，該控制器可以施加在狀態(tài)方程的任何一項(xiàng)上，所以控制方案實(shí)施起來很靈活。仿真結(jié)果表明了該方法的有效性，具有較高的應(yīng)用價值。

［1］Ott E，Grebogi C，Yorke J A.Controlling chaos［J］.Phys.Rev.Lett，1990，64:1196 －1199.

［2］李忠，張波，毛宗源，等.永磁同步電動機(jī)系統(tǒng)的納入軌道和強(qiáng)迫遷徒控制［J］.控制理論與應(yīng)用，2002，11（1）:53 －56.

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