孫文邦，唐海燕，孫文斌，程紅

（1.空軍航空大學(xué) 特種專業(yè)系，吉林 長(zhǎng)春 130022；2.空軍航空大學(xué) 航空理論系，吉林 長(zhǎng)春 130022；3.安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002）

1 引言

隨著信息處理技術(shù)的發(fā)展，三維 DCT廣泛應(yīng)用于各領(lǐng)域，針對(duì)三維 DCT算法本身的研究也較多。例如，Raymond和Furht等較早地將三維DCT應(yīng)用到視頻壓縮領(lǐng)域[1]。陳賀新等在三維DCT算法基礎(chǔ)上提出了多維矩陣?yán)碚摚⒃趫D像壓縮和視頻壓縮領(lǐng)域得到了應(yīng)用[2～5]。近年來(lái)，三維 DCT還被應(yīng)用到其他領(lǐng)域，例如全方向的積分圖像壓縮編碼[6]、多視角立體圖像編碼[7]和視頻水印[8]等領(lǐng)域。

然而，目前三維 DCT運(yùn)算一般都是對(duì)三維數(shù)據(jù)矩陣中的3個(gè)維度分別進(jìn)行一維DCT來(lái)完成，這種運(yùn)算方法不能很好地體現(xiàn)三維變換的整體空間特性。因此，本文提出了一種三維立體矩陣意義下的SDCT運(yùn)算方法，使三維DCT表達(dá)簡(jiǎn)潔，計(jì)算靈活，理解容易。

2 三維矩陣表示與運(yùn)算

為了描述方便，定義三維矩陣的表示形式和 4種三維矩陣的運(yùn)算方法。

2.1 三維矩陣的表示

由 R×C×T 個(gè)數(shù) arct（r=1,2,…,R；c=1,2,…,C；t=1,2,…,T）構(gòu)成R行，C列，T頁(yè)的三維立方體數(shù)據(jù)排列稱大小為 R×C×T的三維矩陣，簡(jiǎn)稱 R×C×T階三維矩陣，或 R×C×T三維矩陣。為了表示一個(gè)整體，采用斜粗體字母 A，B等或縮寫[arct]、[brct]等表示三維矩陣。其中，r、c和t分別表示矩陣元素在矩陣中的行數(shù)、列數(shù)和頁(yè)數(shù)，即表示矩陣元素在矩陣中的位置。當(dāng)需要說明三維矩陣大小時(shí)，采用 AR×C×T或[arct]R×C×T表示。

例如，一個(gè)4×4×4三維矩陣，可以表示為A4×4×4，如式(1)所示。

一個(gè)較大矩陣可以拆分為若干子塊來(lái)表示。以子塊為“元素”形式的矩陣稱為分塊矩陣。分塊矩陣的子塊可采取 Arct,R×C×T來(lái)表示，其中，R×C×T 表示子塊的大小，r、c和t分別為子塊在原矩陣中位置。子塊中某一元素可表示為 aijk,rct，其中，r、c和t同樣表示子塊在原矩陣中位置，i、j和k表示子塊元素在子矩陣中位置。例如，如將式(1)拆分為8個(gè)2×2×2的子塊，則可采用式(2)來(lái)表示。

2.2 三維矩陣的運(yùn)算

定義 1 設(shè)有一個(gè)三維矩陣 A=(arct,ijk)，其中r=1,2,…,R，c=1,2,…,C，t=0,1,…,T，i=1,2,…,I，j=1,2,…,J，k=1,2,…,K。那么矩陣A的“置位”運(yùn)算記為AL，規(guī)定

定義2 設(shè)有2個(gè)三維矩陣A=(arct)，B=(brct)，其中，r=1,2,…,R，c=1,2,…,C，t=0,1,…,T，矩陣 A和B的“和積”運(yùn)算記為A?B，規(guī)定

定義3 設(shè)有2個(gè)矩陣A=(arct)和B=(brct,ijk)，其中，r=1,2,…,R，c=1,2,…,C，t=0,1,…,T，i=1,2,…,I，j=1,2,…,J，k=1,2,…,K。矩陣A和B的“塊積”記為A?B，規(guī)定“塊積”結(jié)果是一個(gè)CI×J×K矩陣。

矩陣“塊積”運(yùn)算滿足以下運(yùn)算規(guī)律（設(shè)A、B 為 R×C×T 矩陣，C 為(IR)×(JC)×(KT)矩陣）:

定義4 設(shè)有2個(gè)矩陣A=(arct)和B=(bijk,rct)，其中，r=1,2,…,R，c=1,2,…,C，t=0,1,…,T，i=1,2,…,I，j=1,2,…,J，k=1,2,…,K。矩陣A和B的“疊積”記為A?B，規(guī)定“疊積”結(jié)果是一個(gè)CI×J×K矩陣。

矩陣“疊積”運(yùn)算滿足以下運(yùn)算規(guī)律（設(shè)A、B 為 R×C×T 矩陣，C 為(IR)×(JC)×(KT)矩陣）:

3 三維DCT算法

設(shè)有一個(gè)三維信號(hào)序列為f(r,c,t)，其中，r=0,1,…,R－1，c=0,1,…,C－1，t=0,1,…,T－1，三維 DCT 為

式(7)和式(8)表示的三維DCT正變換與逆變換表達(dá)式，還可以分別寫成式(9)和式(10)表示的可分離形式。

三維 DCT可分離形式說明，可連續(xù)運(yùn)用 3次一維 DCT來(lái)實(shí)現(xiàn)三維 DCT。這種運(yùn)算方式實(shí)質(zhì)上是對(duì)三維信號(hào)逐點(diǎn)進(jìn)行運(yùn)算，稱為串行運(yùn)算。

由于三維DCT的矩陣表示比較困難，一般參考文獻(xiàn)都沒有給出矩陣表示形式。文獻(xiàn)[3]根據(jù)三維DCT可分離性，按照分別對(duì)三維矩陣的行、列、頁(yè)進(jìn)行一維DCT操作，給出了如下三維DCT矩陣表達(dá)式

式中，f為原始的三維數(shù)據(jù)，F(xiàn)為變換結(jié)果系數(shù)。C1、C2和 C3分別是文獻(xiàn)中定義的，類似于二維 DCT的轉(zhuǎn)換矩陣。I、II和 III分別表示是對(duì)行、列和頁(yè)進(jìn)行變換。

這種表達(dá)方式雖然是采用了矩陣形式進(jìn)行表述，但是表述比較繁鎖，實(shí)質(zhì)上還是串行運(yùn)算方法的思想。

4 三維SDCT算法

設(shè)矩陣P為

其中，Q(u,v,ω,r,c,t)稱為三維 SDCT的變換核，Q(r+1)(c+1)(t+1),R×C×T稱為三維 SDCT的基信號(hào)（基矩陣），P稱為三維SDCT的變換基陣。

如果三維信號(hào)大小為 8×8×8，則變換基陣的基信號(hào)共有8×8×8個(gè)，其空間結(jié)構(gòu)分布如圖1所示。圖1中每一個(gè)小立方體代表三維SDCT的一個(gè)基信號(hào)。

圖1 信號(hào)大小為8×8×8時(shí)的變換基陣

注:為了形象地描述，把變換基陣值域范圍調(diào)整到[0,255]，以提高可視效果。

其中部分基信號(hào)如圖2所示。圖2從左到右、從上到下依次是變換基陣中空間頻率為(0,0,0)(1,1,1) (2,2,2) (3,3,3) (4,4,4) (5,5,5) (6,6,6) (7,7,7)位置上的基信號(hào)，按照8頁(yè)展開（8頁(yè)按照從左到右，從上到下進(jìn)行排序）。

圖2 變換基陣的部分基信號(hào)展開

采用變換核和變換基信號(hào)可以將三維 DCT表達(dá)式(7)和式(8)可改寫成式(13)和式(14)。

根據(jù)變換基陣的定義，式(13)和式(14)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化成

從式(15)可以看出，三維信號(hào)f中R×C×T個(gè)元素與變換基陣中 R×C×T個(gè)對(duì)應(yīng)基信號(hào)乘積后，再將所有乘積后的基信號(hào)疊加起來(lái)就得到三維 DCT變換結(jié)果矩陣。

從式(16)可以看出，變換結(jié)果F與變換基陣的某一位置上基矩陣（基信號(hào)）的“和積”運(yùn)算得到對(duì)應(yīng)位置上的逆變換結(jié)果。如果變換結(jié)果F與變換基陣P中R×C×T個(gè)基矩陣分別“和積”，得到最終的逆變換結(jié)果f，就完成了三維DCT的逆運(yùn)算。

基于變換基陣的三維SDCT總體運(yùn)算過程如圖3所示。

圖3 基于變換基陣的三維SDCT運(yùn)算過程

5 三維SDCT算法特性分析

通過三維SDCT可以很方便地對(duì)三維DCT運(yùn)算性能進(jìn)行分析，主要有以下幾個(gè)特性。

5.1 表述特性

比較式(7)、式(8)、式(11)、式(15)和式(16)可以看出，三維SDCT正變換和逆變換都具有數(shù)學(xué)意義上的簡(jiǎn)潔統(tǒng)一的矩陣表述形式，很好地解決了三維DCT不易采用矩陣表述的難題。

5.2 基信號(hào)特性

從式(15)可以看出，三維DCT正變換是由三維信號(hào)f與變換基陣P的“疊積”來(lái)完成。由矩陣的“置位”、“塊積”和“疊積”運(yùn)算的定義，式(15)還可以采用“塊積”運(yùn)算來(lái)表示

同理式(16)也可以采用“疊積”運(yùn)算來(lái)表示

由式(15)～式(18)可以看出，SDCT算法突出的思想是利用了變換基陣的概念，將三維信號(hào)與變換基陣中的基信號(hào)建立起了聯(lián)系。

5.3 計(jì)算特性

根據(jù)“和積”運(yùn)算的定義可以看出，“和積”運(yùn)算實(shí)質(zhì)上可以認(rèn)為是“互相關(guān)”運(yùn)算。而“塊積”運(yùn)算中運(yùn)用大量的“和積”運(yùn)算，所以“塊積”運(yùn)算也可以認(rèn)為是由互相關(guān)運(yùn)算組成。

從式(17)可以看出，三維信號(hào) f與變換基陣置位矩陣中某一位置上的基矩陣（基信號(hào)）“和積”運(yùn)算得到對(duì)應(yīng)位置上的變換結(jié)果。所以，某一空間頻率成份的計(jì)算只需要三維信號(hào)f與對(duì)應(yīng)位置上的基信號(hào)運(yùn)算，而和其他位置上的基信號(hào)無(wú)關(guān)。這樣就可以采用“和積”單獨(dú)計(jì)算某一空間頻率。從式(16)可以看出，采用“和積”也可以單獨(dú)計(jì)算某一空間位置上的逆變換值。

“疊積”運(yùn)算實(shí)際上可以認(rèn)為是對(duì)三維信號(hào)的分解。式(15)表示的變換結(jié)果F可以看成三維信號(hào)R×C×T個(gè)元素與變換基陣R×C×T個(gè)基信號(hào)加權(quán)和，如下式所示。

通過“疊積”運(yùn)算可以一次性整體完成三維DCT的運(yùn)算。

同時(shí)，根據(jù)式(18)表示的變換結(jié)果F與變換基陣的置位矩陣“疊積”運(yùn)算關(guān)系，三維信號(hào)f可以看成是變換結(jié)果和變換基陣的置位矩陣中基信號(hào)的加權(quán)和，如下式表示。

式中，Q(u+1)(v+1)(ω+1)為變換基陣的置位矩陣中的基信號(hào)。通過“疊積”運(yùn)算也可以一次性整體完成三維DCT的逆運(yùn)算。

所以，三維SDCT正變換和逆變換中采用“塊積”可以方便地單獨(dú)計(jì)算某一空間頻率值或空間位置的恢復(fù)值；采用“疊積”運(yùn)算可以一次性整體完成三維DCT正變換或三維DCT逆運(yùn)算。采用三維SDCT算法不論是計(jì)算頻域或空域單個(gè)值還是計(jì)算整體值都比較便捷。

另外，三維SDCT中“塊積”運(yùn)算與互相關(guān)性有關(guān)，“疊積”運(yùn)算與基信號(hào)分解有關(guān)，都具有良好的物理含義，對(duì)三維DCT的理解比較方便。

5.4 變化信息擴(kuò)散特性

不失一般性，以一點(diǎn)的變化信息來(lái)說明。如果三維信號(hào)f中(i,j,k)處發(fā)生變化，設(shè)變化量為ε，則

變換基陣中每一個(gè)基信號(hào)都是有多個(gè)非零值元素的矩陣，同樣εQijk也是一個(gè)有多個(gè)非零值元素的矩陣。所以三維信號(hào)f空域變化一處，則在頻域變化多處。同理，也可以得到頻域中變換一處信息，逆變換過程中，擴(kuò)散到空域中多處。

采用變化信息擴(kuò)散性可以方便地分析三維DCT實(shí)際應(yīng)用效果。例如:基于DCT視頻壓縮[9,10]中引起的方塊效應(yīng)分析。由于視頻序列是由行（r）和列（c）組成一幀，再在時(shí)間（t）軸上許多幀組成，可以將視頻數(shù)據(jù)（只考慮亮度分量）按照行、列、時(shí)間3個(gè)維度構(gòu)成三維矩陣的形式來(lái)表示，如圖4所示。這時(shí)三維矩陣中的元素值即為視頻圖像的灰度值，三維矩陣可稱為灰度立方體。

圖4 視頻圖像亮度信息的三維矩陣表示

視頻壓縮應(yīng)用中一般將灰度立方體劃分成8×8×8宏塊[9]，再對(duì)宏塊進(jìn)行三維DCT。三維變換結(jié)果一般都需要進(jìn)行量化處理，而量化處理就會(huì)造成變換結(jié)果的信息改變。在量化信號(hào)在逆變換過程中，將變換結(jié)果的變化信息擴(kuò)散到空域中多處。特別是逆變換后2個(gè)相鄰宏塊邊緣處，由于信息的擴(kuò)散性，灰度值產(chǎn)生較大的差異，因此在2個(gè)相鄰宏塊邊緣處會(huì)產(chǎn)生方塊效應(yīng)。

6 結(jié)束語(yǔ)

本文根據(jù)三維DCT運(yùn)算特點(diǎn)，定義了4種三維矩陣運(yùn)算的新方法和變換基陣，在此基礎(chǔ)上提出了三維SDCT運(yùn)算方法。SDCT的正變換和逆變換都具有統(tǒng)一的矩陣表述形式以及相關(guān)運(yùn)算、信號(hào)分解特性的良好物理含義。通過三維SDCT運(yùn)算，還可以方便地對(duì)三維DCT運(yùn)算相關(guān)的特性進(jìn)行分析。

[1]RAYMOND W, FURHT B.The XYZ algorithm for real-time compression of full-motion video[J].Real-time Imaging, 1996,2:19-34.

[2]朱艷秋，陳賀新，戴逸松.彩色圖像三維矩陣變換壓縮編碼[J].電子學(xué)報(bào), 1997, 25(7):16-21.ZHU Y Q, CHEN H X, DAI Y S, Compression coding of color image via 3-D matrix transform[J].Acta Electronica Sinica, 1997,25(7):16-21.

[3]桑愛軍，陳賀新.三維矩陣彩色圖像WDCT壓縮編碼[J].電子學(xué)報(bào)，2002, 30(4):594-597.SANG A J, CHEN H X.3D-matrix WDCT compression coding for color image[J].Acta Electronica Sinica, 2002, 30(4):594-597.

[4]劉韶，桑愛軍，陳賀新等.基于YC子陣的彩色圖像三維矩陣變換壓縮編碼[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)（工學(xué)版），2006, 36(4):569-573.LIU S, SANG A J, CHEN H X, et al.3D matrix transform compression coding of color image based on YC submatrix[J].Journal of Jilin University (Engineering and Technology Edition), 2006, 36(4):569-573.

[5]CHEN Q, CHEN, SANG H X, A J, et al.Enabling color image compression by 3-D submatrix integration transform in MPEG-21[A].Proceedings of the 2006 IEEE International Conference on Information Acquisition[C].2006.262-267.

[6]AQQOUN A.A 3D DCT compression algorithm for omnidirectional integral images[A].Proceedings of ICASSP[C].2006.517-520.

[7]SQOUROS N P, ATHINEOS S S, MARDAKI P E, et al, Use of an adaptive 3D-DCT scheme for coding multiview stereo images[A].Proceedings of the Fifth IEEE International Symposium on Signal Processing and Information Technology[C].2005.180-185.

[8]YANG J, HU J P, LIU P.Video watermarking by 3-D DCT[A].Proceedings of the 7th International Conference on Signal Processing[C].2004.861-864.

[9]LIU L L, CHEN H X, SANG A J, et al.4-D order-4 vector matrix DCT integer transform and its application in video code[J].The Imaging Science Journal, 2010.58(6):321-330.

[10]SANG A J, CHEN M S, CHEN H X, et al.Multi-dimensional vector matrix theory and its application in color image coding[J].The Imaging Science Journal, 2010,58(3):171-176.