劉希佳，陳 宇 ，王文生，劉 柱

(長春理工大學 光電工程學院，吉林 長春30022)

1 引 言

在圖像的獲取和傳輸過程中，由于一些內(nèi)在或外在因素的影響，所獲得的信息或所傳遞的信息會受到一定的干擾，不可避免地引入一些噪聲，使終端獲取的信息失真;當噪聲嚴重時，甚至無法辨認出其中的信息，這時，就需要對含噪圖像進行去噪處理。對信號進行去噪處理的方法很多，小波分析作為目前比較前沿的圖像處理手段，是一種時頻局部化的分析方法。小波分析具有比其他方法更為優(yōu)越的性質(zhì)，如低熵性、多分辨性、解相關(guān)性和選基自由性，其中多分辨性又被稱為“數(shù)學顯微鏡”［1］，它能夠聚焦到信號的任何細節(jié)進行時頻域分析，有利于信號的精確處理。因此，小波分析以其具有的眾多優(yōu)越特性，在圖像處理領(lǐng)域倍受重視。

小波去噪的常用方法包括模極大值重構(gòu)濾波去噪法、基于小波變換域系數(shù)的相關(guān)性去噪法和小波閾值去噪法等。在眾多小波去噪方法中，由Stanford 大學的D.L. Donoho 和I. M. Johnstone 等人提出的小波閾值去噪以其算法簡單、計算量小、去噪效果好等優(yōu)點得以廣泛應用。

在小波閾值去噪方法中，軟、硬閾值法是目前應用較為廣泛的閾值去噪方法。但是，由于其本身存在的缺點和不足( 如硬閾值法的閾值函數(shù)在閾值處不連續(xù)，在圖像重構(gòu)時會出現(xiàn)局部的振蕩現(xiàn)象，稱為偽吉布斯現(xiàn)象;而軟閾值法的閾值函數(shù)雖然具有連續(xù)性，但是由于處理后的小波系數(shù)與真實值之間存在恒定偏差，使重構(gòu)后的圖像會出現(xiàn)嚴重的模糊，損失了大量重要細節(jié)信息) 直接影響了軟、硬閾值法的進一步發(fā)展。針對軟、硬閾值法的缺點和不足，眾多學者和專家紛紛提出了相應的改進方法［2-9］，并在一定程度上克服了這些問題，使小波閾值法得到了長足的發(fā)展。

在進行小目標識別時，由于小目標的邊緣信息很少，一般的去噪方法會損失大量的邊緣細節(jié)信息［10-11］，因此，本文結(jié)合了雙曲線函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)構(gòu)造了一個新的閾值函數(shù)，采用局部方差估計來估算閾值，對小目標進行去噪處理，并利用聯(lián)合變換相關(guān)器對小目標進行了目標識別實驗。

2 光學實驗原理

圖1 聯(lián)合變換相關(guān)器原理圖Fig.1 Schematic diagram of joint transform correlator

采用光電混合式聯(lián)合變換相關(guān)器進行了目標識別實驗，圖1 為聯(lián)合變換相關(guān)器的原理圖。此系統(tǒng)采用了氬離子激光器作為光源，經(jīng)光束衰減器調(diào)制輸出光強，光束提升器提升光束高度，顯微物鏡進行聚焦，針孔進行空間濾波，偏振器調(diào)節(jié)偏振方向，經(jīng)準直透鏡形成準直、擴束的平行光，再經(jīng)半反半透鏡將光束分為兩路: 其中一路用于獲得聯(lián)合變換功率譜，即將由CCD1 實時記錄的目標圖像輸入進PC1 中，與事先存儲在PC1 中的參考圖像一起輸入到電尋址液晶EALCD1 中，聯(lián)合圖像經(jīng)傅里葉變換透鏡FTL1 后，由CCD2 進行探測，得到目標圖像和參考圖像的聯(lián)合變換功率譜，然后輸入到PC2 中顯示;另一路用于獲得相關(guān)點圖像，將PC2 中的功率譜輸入到EALCD2 中，經(jīng)傅里葉變換透鏡FTL 2 后，由CCD 3 攝取目標圖像與參考圖像的聯(lián)合變換相關(guān)點，根據(jù)相關(guān)點的位置，就可以確定目標及其所在位置［1］。

3 小波閾值去噪原理及步驟

3.1 小波閾值去噪原理

對于小波閾值去噪的原理，最常用的就是Donoho 等人在1995 年所提出的小波閾值去噪方法，通過此方法在小波域內(nèi)對小波系數(shù)做相應的處理，最終可獲得更多的有用信息。

噪聲圖像模型:

式中:f(x，y) 為含噪圖像信號;s(x，y) 為原始圖像信號;n(x，y) 為噪聲信號。

因為小波變換是一種線性變換，因此對式(1) 做小波變換，有:

式中:WTf為含噪圖像信號f(x，y) 對應的小波系數(shù);WTs為原始圖像信號s(x，y) 對應的小波系數(shù);WTn為噪聲信號n(x，y) 對應的小波系數(shù)。

由于無噪圖像在時間或空間上具有連續(xù)性，經(jīng)過小波變換后，在小波域內(nèi)其系數(shù)的模值一般比較大，而且分布在少數(shù)位置上。對于噪聲來說，其分布是隨機的，沒有一定的連續(xù)性，經(jīng)過小波變換后，在小波域內(nèi)其系數(shù)的模值一般比較小，且分布比較廣。

在小波域內(nèi)對小波系數(shù)進行適當?shù)男薷?，通過一定的方法和手段去除或降低噪聲所對應的小波系數(shù)，這樣就可獲得所需要的信息。

3.2 小波閾值去噪步驟

小波閾值去噪的一般步驟如圖2 所示。

圖2 小波閾值去噪的一般步驟Fig.2 General steps of wavelet threshold de-noising

其中:f表示含噪圖像信號;W表示未經(jīng)閾值處理的小波系數(shù);W^ 表示經(jīng)過閾值處理的小波系數(shù);f^表示去噪后的圖像信號。

具體操作如下:

(1) 選定小波函數(shù)及分解的層數(shù)n，對含噪圖像信號進行小波變換，得到低頻概貌系數(shù)( LL) 和高頻細節(jié)系數(shù):水平系數(shù)( LH) 、垂直系數(shù)( HL) 和對角系數(shù)( HH) ，圖3 為3 層小波分解示意圖。

圖3 小波分解示意圖Fig.3 Schematic diagram of wavelet decomposition

(2) 通過閾值和閾值函數(shù)對所獲得的高頻系數(shù)進行處理，得到新的小波系數(shù)。

對小波系數(shù)進行處理的方法通常有硬閾值法和軟閾值法，其閾值函數(shù)分別為:

軟、硬閾值函數(shù)如圖4 所示。

由于硬閾值函數(shù)在閾值處的不連續(xù)性，使得重構(gòu)后的圖像會出現(xiàn)局部的抖動現(xiàn)象，使圖像產(chǎn)生失真。軟閾值法雖然克服了硬閾值法在閾值處不連續(xù)的缺點，但是在|W|≥λ 時，W^ 與W之間總是存在恒定偏差，直接影響重構(gòu)圖像與原始圖像的接近程度; 當然，即使其恒定偏差為零，去噪效果也未必好。

(3) 對新獲得的小波系數(shù)進行重構(gòu)，獲得消噪后的圖像信號。

圖4 軟、硬閾值函數(shù)示意圖Fig.4 Schematic diagrams of soft and hard thresholds

4 閾值和閾值函數(shù)的選取

4.1 閾值的選取

閾值選取的優(yōu)劣對圖像整體噪聲的濾除有著非常重要的影響。閾值過小，濾噪效果較差，但是邊緣細節(jié)信息保留得較好，擬合程度( 與無噪信號的接近程度) 較高; 閾值過大，圖像比較平滑( 噪聲去除較好) ，但是邊緣細節(jié)信息損失太多，會使濾噪圖像模糊不清而失真。因此，一個好的閾值一定要兼顧平滑和擬合兩個方面［4］。

式中:j為分解尺度(j=1，2，…，n) ，n為分解層數(shù);噪聲的標準差為:

式中:σj，k表示第j層，第k子帶上的標準差，k為高頻子帶(k=1，2，3;分別表示LH 子帶，HL 子帶和HH 子帶) 。

4.2 閾值函數(shù)的選取

(1) 小波系數(shù)模值大于閾值

對雙曲線函數(shù)做適當?shù)母倪M，并將其作為閾值函數(shù)。

雙曲線函數(shù)的標準方程為:

漸近線方程為:

方程的解為:

當a=b=λ 時，漸近線方程變?yōu)?W^ = ±W;方程的解變?yōu)?可以看出，此函數(shù)是軟閾值法的擴展，為了使此函數(shù)兼顧硬閾值法的特點，將其進行適當?shù)男薷模垣@得更好的去噪效果。

當|W|≥λ 時，有:+1 ≤2( 單調(diào)遞減) ;取對數(shù):≤0( 單調(diào)遞增) ; 再取指數(shù):≤1( 單調(diào)遞增) ;為了滿足隨著|W|的增大，而使得無限接近，故而取:( 單調(diào)遞減) ;最終，|W|≥λ 時的函數(shù)取為:

當|W|→∞時，有: | |W^| - |W| |→0，其克服了軟閾值具有恒定偏差的缺點，得到了更加精確的小波系數(shù)，使得去噪效果更優(yōu)。

綜上，經(jīng)過修改后的雙曲線函數(shù)為:

(2) 小波系數(shù)模值小于閾值

傳統(tǒng)的軟、硬閾值法對小波系數(shù)中較小的系數(shù)大都采取全部置零的方法，這種處理方法將會丟失一些邊緣信息，從而使圖像邊緣模糊，產(chǎn)生失真。針對這一缺點，本文利用指、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，給出了一個函數(shù)，用以處理這部分小波系數(shù)。此函數(shù)克服了對較小的小波系數(shù)處理不當?shù)娜秉c，保留了更多的邊緣信息，得到了更高的信噪比。當然，保留更多邊緣信息的同時，也會引入一些噪聲。但是，對任何一個摻有噪聲的信號來說，到目前為止尚無法做到在消除全部噪聲的同時，使原信號信息得以完全保留，只能做到在消除噪聲的同時，保持較高的信噪比，以獲得更多的有用信息。

當|W| ＜λ 時，有:＜2( 單調(diào)遞增) ;取其對數(shù)有:-1 ＜0( 單調(diào)遞增) ;再取指數(shù)有:＜1( 單調(diào)遞增) ;為使函數(shù)光滑連續(xù)，而且保持函數(shù)在閾值處的連續(xù)性，則函數(shù)最終取為:

對其求導:

綜上所述，本文的閾值函數(shù)取為:

由上式可見，該閾值函數(shù)在閾值處是連續(xù)的。

本文改進的雙曲線閾值函數(shù)如圖5 所示。由圖5 可見:此閾值函數(shù)在閾值處具有連續(xù)性，使圖像的邊緣信息得到了更多的保留，閾值兩側(cè)的曲線均為光滑、連續(xù)的曲線，分別具有高階連續(xù)的導數(shù)。

圖5 本文選取的閾值函數(shù)Fig.5 Threshold function selected in this paper

4.3 圖像信噪比及均方根誤差

信噪比( SNR) :

式中，xi(i=1，2，3……M) 為原始圖像的第i個像素的灰度值;yi(i=1，2，3……M) 為經(jīng)閾值處理過的圖像的第i個像素的灰度值;M為像素數(shù)。SNR 的值越大，表示失真越少; RMSE 的值越小，表示濾噪圖像越來越接近無噪圖像。

信噪比提高( ISNR) :

其表示濾噪圖像相對于噪聲圖像信噪比的提高量占噪聲圖像的比例; SNR＇是去噪后圖像的信噪比;SNR 是噪聲圖像的信噪比。

5 圖像的MATLAB 處理及分析

通過MATLAB 軟件進行圖像及數(shù)據(jù)處理，選取高斯噪聲作為噪聲源進行仿真實驗，其噪聲均值為0，方差為0.01，圖像分辨率為499 ppi ×348 ppi的BMP 格式的文件。從理論上講，小波濾波器的長度越長，去噪效果應該越好，但計算量也會隨之增加，同時造成圖像細節(jié)的過平滑。因此，本文選取“sym6”作為小波，并對目標圖像進行5層小波分解。

對多幅圖像進行了濾噪處理，均取得較好的效果。作為實例，選取如圖6( a) 所示的以天空為背景的小目標含噪圖像進行了分析與研究。以下綜述了軟、硬閾值法和本文閾值法的去噪實驗，分別從視覺效果、信噪比和均方根誤差對各閾值法進行了對比，并闡述各種閾值去噪法的優(yōu)、缺點。

圖6 噪聲圖像及各閾值法去噪后的圖像Fig.6 Noise image and de-noised images

從表1 和圖6 可以看出: 通過硬閾值法獲得的SNR 與RMSE 處于軟閾值法和本文閾值法之間，濾噪效果一般，與軟閾值法相比獲得的邊緣信息較多，但由于其閾值函數(shù)缺乏連續(xù)性，使得重構(gòu)后的圖像出現(xiàn)局部的抖動( 振鈴) 現(xiàn)象，損失了較多的圖像邊緣細節(jié)信息，影響了去噪效果。軟閾值法對噪聲的濾除比較徹底，圖像看起來比較平滑;但是，由于軟閾值法對較小的小波系數(shù)處理不當，使得噪聲被濾除的同時，損失了大量的邊緣細節(jié)信息，使得圖像的邊緣較為模糊，圖像的SNR過低，失真較為嚴重。

表1 各閾值去噪法的SNR、RMSE 及ISNR(含噪圖像的信噪比為：19．4037)Tab．1 SNR，RMSE and ISNR of de-noised image obtained by three de-noising methods(the SNR of noisy image is 19．4037)

從所得數(shù)據(jù)可以看出，采用本文的閾值函數(shù)得到了更高的SNR 和更好的RMSE，濾噪后獲得的圖像信息較多，SNR 提高的最為明顯; 從圖像上看，噪聲濾除效果很理想，在保留了更多邊緣信息的同時，較好地抑制了高斯噪聲，并且無明顯的振鈴效應產(chǎn)生。

6 計算機仿真及光學實驗

6.1 計算機仿真實驗

利用MATLAB 軟件進行了仿真實驗，對以圖6( a) 為例的小目標圖像進行了相關(guān)識別研究，選取均值為0，方差為0.01 的噪聲源，圖像分辨率為499 ppi×348 ppi，采用“sym6”作為小波，進行5 層小波分解。圖7 分別為含噪圖像和各去噪圖像的二維相關(guān)峰模擬圖及其能量分布圖，相關(guān)峰值數(shù)據(jù)是運行MATLAB 程序后，從所生成的數(shù)據(jù)包中查得的。

圖7( a) 是由噪聲圖像得到的二維相關(guān)峰，圖中幾乎看不到相關(guān)點，其能量分布如圖7( e) 所示，能量較弱; 圖7( b) 為經(jīng)軟閾值去噪處理后得到的二維相關(guān)點圖像，圖7( f) 為其能量分布圖，相關(guān)峰相對強度為14.355 3，從該圖中可以看出，相關(guān)峰能量有了一定的增強，但是因其失真較為嚴重，將相關(guān)峰能量淹沒其中，使相關(guān)點模糊不清，無法辨認;圖7( c) 是經(jīng)硬閾值去噪后得到的二維相關(guān)點圖像，圖7( g) 是其能量分布圖，相關(guān)峰相對強度為16.823 4，從圖中可以看出，相關(guān)峰能量得到了一定的增強，但因硬閾值法對噪聲濾除的不足，濾噪圖像中仍存在一些噪聲，使得相關(guān)峰的對比度有所降低，從而影響到目標的探測與識別;而經(jīng)過本文方法處理后的圖像，很好地抑制了噪聲，保留了大量的邊緣信息，從圖7( d) 中可以看出相關(guān)點的亮度得到了顯著的增強，提高了相關(guān)探測與識別的能力，其能量分布如圖7( h) 所示，相關(guān)峰相對強度為17.275 0。因此，無論是從相關(guān)峰強度，還是從相關(guān)點的亮度對比度來看，本文方法的去噪效果均優(yōu)于軟、硬閾值法。

圖7 二維相關(guān)峰模擬圖及其能量分布圖Fig.7 Two dimension correlation peak simulation diagrams and its energy distribution diagrams

由于小目標的有用信息較少，導致其相關(guān)峰能量幅值并不很高，但是可以通過后期圖像處理有效增強和提取相關(guān)峰信息。

6.2 光學實驗

利用聯(lián)合變換相關(guān)器對以圖6( a) 為例的含噪小目標圖像進行了相關(guān)識別實驗研究，并在功率譜面做了拉普拉斯變換預處理，分別得到了噪聲圖像和各去噪圖像的相關(guān)峰圖像，如圖8所示。

由圖8 所示的光學實驗結(jié)果可以看出，含噪圖像中，相關(guān)峰被噪聲完全淹沒，無法實現(xiàn)光學相關(guān)識別。用Photoshop 圖像處理軟件進行由軟、硬閾值法和本文方法得到的光學圖像中的相關(guān)點亮度探測，得到圖8( b) 、( c) 和( d) 的相關(guān)峰相對亮度分別為43、46 和51?？梢钥闯觯疚姆椒ǖ玫降南嚓P(guān)峰亮度值最高。另外，從軟、硬閾值法得到的相關(guān)峰圖像中也可以看出，雖然相關(guān)點亮度有所提高，但其對比度仍較差，不利于后續(xù)處理中相關(guān)峰坐標信息的提取。而通過本文去噪法，可有效提高相關(guān)峰亮度及相關(guān)面的對比度，有利于后續(xù)處理中提取相關(guān)峰坐標信息，實驗效果較好，如圖8( d) 所示，從圖中可以明顯的看出，本文方法得到的相關(guān)點亮度明顯強于軟、硬閾值法得到的相關(guān)點亮度，進而從光學實驗上說明了本文方法的優(yōu)越性。

圖8 不同處理方法得到的光學相關(guān)識別結(jié)果Fig.8 Results of optical correlation recognition by different de-noising methods

7 結(jié) 論

本文對以海天為背景的小目標圖像進行了去噪實驗，對閾值函數(shù)進行了算法改進，最終得到的信噪比相對于含噪圖像提高70.803 8%。計算機仿真實驗和光學實驗表明:與傳統(tǒng)的軟、硬閾值法對噪聲的濾除作用相比，本文所提出的閾值函數(shù)法去噪效果更優(yōu)，識別能力較好，表明了該方法在小目標圖像處理領(lǐng)域具有一定的實用性。

［1］ 陳宇，王文生，苗華，等.灰度變換在光學相關(guān)探測與識別中的應用［J］.儀器儀表學報，2005，26(8) :676-677.CHEN Y，WANG W SH，MIAO H，et al.. Application of gray-scale transformation in optical correlation detection and recognition［J］.Chinese J． Scientific Instrument，2005，26(8) :676-677.( in Chinese)

［2］ 李祥兵，肖合林.基于Matlab 的小波閾值折中去噪算法研究［J］.電腦開發(fā)與應用，2009，22(6) :428-430.LI X B，XIAO H L. Research on wavelet threshold compromise denoising method based on matlab［J］.Computer Development Appl．，2009，22(6) :428-430.( in Chinese)

［3］ 李樹玉.改進的小波閾值去噪方法及其在MATLAB 中的仿真［J］.噪聲與振動控制，2010(2) :121-124.LI SH Y. Improved wavelet threshold denoising method and its simulation using MATLAB［J］.Noise and Vibration Control，2010(2) :121-124.( in Chinese)

［4］ 孫俊喜，陳亞珠.一種具有邊緣保持特性的超聲圖像小波域閾值去噪新方法［J］.光學 精密工程，2002，10(5) :429-433.SUN J X，CHEN Y ZH. Novel speckle reduction for medical ultrasound images based on edge preservation［J］.Opt． Precision Eng．，2002，10(5) :429-433.

［5］ 苑津莎，張東雪，李中.基于改進閾值法的小波去噪算法研究［J］.華北電力大學學報，2010，37(5) :92-96.YUAN J SH，ZHANG D X，LI ZH. Wavelet denoising algorithm based on improved thresholding method［J］.J． North China Electric Power University，2010，37(5) :92-96.( in Chinese)

［6］ 鄧義君，嚴高師.一種基于小波變換的紅外小目標去噪算法［J］.強激光與粒子束，2007，19(3) :399-402.DENG Y J，YANG G SH. De-noising algorithm of infrared small target based on wavelet transforms［J］.High Power Laser and Particle Beams，2007，19(3) :399-402.( in Chinese)

［7］ 王佐成，劉曉冬，薛麗霞.雙曲線函數(shù)在灰度圖像小波閾值去噪中的應用［J］. 計算機工程與應用，2010，46( 35) :177-179.WANG Z CH，LIU X D，XUE L X. Application of hyperbolic function in gray image wavelet threshold denoising method［J］.Computer Eng． Appl．，2010，46(35) :177-179.( in Chinese)

［8］ 蔣曉玲，高尚兵，曾山佰.一種基于小波變換的圖像去噪算法與實現(xiàn)［J］.電腦知識與技術(shù)，2008，3(8) :1768-1769，1775.JIANG X L，GAO SH B，ZENG SH B. One image denoising algorithm and its implementaion based on wavelet transform［J］.Computer Knowledge Technology，2008，3(8) :1767-1768，1775.( in Chinese)

［9］ 張維強，宋國鄉(xiāng).基于一種新的閾值函數(shù)的小波域信號去噪［J］. 西安電子科技大學學報( 自然科學版) ，2004，31(2) : 296-303.ZHANG W Q，SONG G X. Signal de-noising in wavelet domain based on a new kind of thresholding function［J］.J． Xidian University( Natural Science Edition) ，2004，31(2) :296-303.( in Chinese)

［10］ 劉偉寧.基于小波域擴散濾波的弱小目標檢測［J］.中國光學，2011，4(5) :503-508.LIU W N. Dim target detection based on wavelet field diffusion filter［J］.Chinese Optics，2011，4(5) :503-508.( in Chinese)

［11］ 董宇星，劉偉寧.基于灰度特性的海天背景小目標檢測［J］.中國光學與應用光學，2010，3(3) :252-256.DONG Y X，LIU W N. Detection of sea-sky line in compocated background based on grey characteristics［J］.Chinese J．Opt． Appl． Opt．，2010，3(3) :252-256.( in Chinese)

［12］ 唐世偉，林君.小波變換與中值濾波相結(jié)合圖像去噪方法［J］.哈爾濱工業(yè)大學學報，2008，40(8) :1334-1336.TANG SH W，LIN J. Image denoising with combination of wavelet transform and median filtering［J］.J． Harbin Institute Technology，2008，40(2) :1334-1336.( in Chinese)