寧超列，李 杰，2

（1.同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院，上海 200092；2.同濟(jì)大學(xué) 土木工程防災(zāi)國家重點(diǎn)實驗室，上海 200092）

鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)仍然是工程中應(yīng)用廣泛的一種結(jié)構(gòu)形式.現(xiàn)代基于性能的抗震設(shè)計往往要求進(jìn)行這類結(jié)構(gòu)的靜力或動力非線性分析，以獲得其較為精確的響應(yīng)預(yù)測結(jié)果.在這些分析中，選擇合適的鋼筋混凝土梁柱模型成為結(jié)構(gòu)分析的關(guān)鍵.

眾多研究表明：相比于其他類型的模型，基于柔度法的纖維梁柱模型能夠更為精確地模擬鋼筋混凝土梁柱構(gòu)件強(qiáng)非線性下的受力行為.自20世紀(jì)80年代起，在一批學(xué)者的反復(fù)努力下［1-9］這類模型一步步成熟，并在各類專業(yè)有限元軟件如OpenSees，F(xiàn)eap中得到應(yīng)用.然而在研究進(jìn)程中人們也逐步發(fā)現(xiàn)，與基于剛度法的纖維梁柱模型存在網(wǎng)格敏感性問題相對應(yīng)，基于柔度法的纖維梁柱模型存在積分敏感性問題，即對于后者，模型數(shù)值積分點(diǎn)數(shù)不同造成結(jié)構(gòu)在整體與局部層次的響應(yīng)不一致，如圖1所示.

圖1 應(yīng)變軟化材料的積分敏感性問題【10】Fig.1 Localization issue with strain-softening material【10】

最早發(fā)現(xiàn)并開始研究這一問題的是Coleman和Spacone［10］.他們借鑒Bazant等對離散裂縫模型網(wǎng)格敏感性問題的處理方式［11-12］，在Kent-Park混凝土本構(gòu)模型中引入受壓斷裂能概念，依據(jù)不同積分點(diǎn)數(shù)具有相同受壓斷裂能的思路，首先在材料層次修正Kent-Park混凝土本構(gòu)模型參數(shù)，如圖2和式（1）所示；進(jìn)而計算積分點(diǎn)處截面曲率的放大系數(shù)，以保證本構(gòu)曲線改變后截面層次響應(yīng)的一致.圖2中，σ為混凝土壓應(yīng)力；fc為混凝土峰值抗壓強(qiáng)度；ε為混凝土壓應(yīng)變；ε0為混凝土峰值壓應(yīng)變；ε20為Kent-Park混凝土本構(gòu)模型平臺段起點(diǎn)處的壓應(yīng)變.

圖2 基于常斷裂能修正的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.2 Stress-strain curves based on constant fracture energy correction

式中：Gf為混凝土的受壓斷裂能；E為彈性模量；LIP為模型的積分點(diǎn)權(quán)重.

2006 年 Scott 和 Fenves［13］在 Coleman 和Spacone［10］研究的基礎(chǔ)上視模型的塑性區(qū)長度為自由變量，仍從混凝土受壓斷裂能出發(fā)，在Coleman和Spacone提出的表達(dá)式（1）的基礎(chǔ)上推導(dǎo)出塑性區(qū)長度lp的理論表達(dá)式：

由此建立起塑性區(qū)長度與模型的積分點(diǎn)權(quán)重的關(guān)系.進(jìn)而Scott和Fenves建議將基于柔度法的纖維梁柱模型劃分為3段：中間為彈性區(qū)，兩端為塑性區(qū)，塑性區(qū)采用修正的Gauss-Radau積分策略，保證塑性區(qū)范圍內(nèi)僅存在1個積分點(diǎn)，該積分點(diǎn)的積分權(quán)重則為上述根據(jù)混凝土受壓斷裂能計算得到的塑性區(qū)長度［13］.

然而，雖然Scott和Fenves通過將基于柔度法的纖維梁柱模型進(jìn)行分段，較好地避免了模型的積分敏感性問題，但其采用修正的Gauss Radau積分保證塑性區(qū)僅包含1個積分點(diǎn)，該積分點(diǎn)權(quán)重等于模型塑性區(qū)長度的處理方式也造成模型的塑性區(qū)長度實際上可以選擇不同的計算公式：既可以選擇上述基于混凝土受壓斷裂能推導(dǎo)出來的表達(dá)式（2），也可以選擇其他的經(jīng)驗表達(dá)式.這就造成新的問題.事實上，塑性區(qū)長度計算表達(dá)式中，絕大部分是研究者根據(jù)各自有限的試驗樣本基于經(jīng)驗擬合確定的，因此，這些經(jīng)驗表達(dá)式計算出來的塑性區(qū)長度可能差別較大.這種差別應(yīng)用于Scott和Fenves的分段纖維梁柱模型將會造成結(jié)構(gòu)響應(yīng)的不一致.換句話說，Scott和Fenves模型避免了積分敏感性問題，但同時又產(chǎn)生了塑性區(qū)長度敏感性問題.針對該問題，郝效強(qiáng)、李杰［14］將柔度法中的積分方案與梁柱構(gòu)件的損傷分布特點(diǎn)結(jié)合起來，采用3點(diǎn)Gauss-Legendre積分，使每一端非線性區(qū)域積分點(diǎn)的積分權(quán)重分別對應(yīng)潛在的塑性鉸區(qū)、開裂區(qū)和過渡區(qū)長度.但是，這種方式仍舊需要預(yù)先給定一個確定的非線性區(qū)長度，因此問題并未得到實質(zhì)性解決.

緣于上述背景，本文從鋼筋混凝土梁柱構(gòu)件在實際加載過程中損傷動態(tài)擴(kuò)展的事實出發(fā)，認(rèn)為應(yīng)當(dāng)隨荷載步的增加動態(tài)調(diào)整梁柱模型中的損傷區(qū)長度，而不是如Scott和Fenves那樣預(yù)先指定一個確定的塑性區(qū)域.同時，考慮到混凝土材料采用多個積分點(diǎn)將會產(chǎn)生積分敏感性問題，因此仍舊在模型中采用修正的2點(diǎn)Gauss-Radua積分，保證損傷區(qū)域僅存在1個積分點(diǎn).由此提出一類新的鋼筋混凝土梁柱損傷擴(kuò)展模型.

1 損傷擴(kuò)展過程與損傷擴(kuò)展模型

鋼筋混凝土梁柱構(gòu)件在無均布荷載作用或均布荷載作用較小的情況下?lián)p傷一般集中出現(xiàn)在端部，即隨著外部荷載的增加，首先在構(gòu)件的端部截面達(dá)到開裂彎矩Mcr，該截面的混凝土開裂；然后裂縫逐漸往構(gòu)件中部延伸，同時梁柱端部截面的彎矩繼續(xù)增大；當(dāng)端部截面的彎矩達(dá)到屈服彎矩Mu時，鋼筋發(fā)生屈服或混凝土被壓潰，此時模型兩端已形成一定的開裂區(qū)；此后，開裂區(qū)繼續(xù)往構(gòu)件中部擴(kuò)展，塑性區(qū)也開始從端部截面往構(gòu)件中部擴(kuò)展.最后，這些逐步擴(kuò)展的開裂區(qū)與塑性區(qū)將會達(dá)到一個穩(wěn)定長度，表明該構(gòu)件的損傷已經(jīng)充分發(fā)展.

基于上述對鋼筋混凝土梁柱構(gòu)件損傷擴(kuò)展過程的描述，將梁柱構(gòu)件劃分為3段，中間為彈性區(qū)，兩端為動態(tài)擴(kuò)展的損傷區(qū)（包括動態(tài)擴(kuò)展的開裂區(qū)和動態(tài)擴(kuò)展的塑性區(qū)）.如圖3所示.圖中v＝［v1v2v3］T為單元的變形向量，v1，v2，v3分別為單元的軸向變形、I節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角和J節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角；e＝［ε（x） φ（x）］T為截面的變形向量，ε（x）和φ（x）分別為截面的軸向變形和曲率；q＝［q1q2q3］T為單元的力向量，q1，q2，q3分別為單元的軸力、I節(jié)點(diǎn)的彎矩和J 節(jié)點(diǎn)的彎矩；s＝［N（x） M（x）］T為截面的力向量，N（x），M（x）分別為截面的軸力大小和彎矩大小.

采用力型函數(shù)插值，單元力向量與截面力向量之間滿足如下平衡條件：

式中：x為截面與I節(jié)點(diǎn)的距離；L為單元的長度.

同樣，根據(jù)虛功原理，單元的變形向量v與截面變形向量e之間滿足如下相容條件：

因此，單元的柔度矩陣

計算過程中，相容條件和柔度矩陣的積分表達(dá)式（5）和式（6）一般需要轉(zhuǎn)化為數(shù)值積分的方式求解，即

式中：i為積分點(diǎn)的編號；N為積分點(diǎn)的個數(shù)；ξi和ωi分別為積分點(diǎn)的位置和權(quán)重.

對上述數(shù)值積分采用修正的2點(diǎn)Gauss-Radau積分［13］，保證損傷區(qū)僅存在1個積分點(diǎn)，各積分點(diǎn)的積分位置與積分權(quán)重如下：

其中，LdI和LdJ分別為模型兩端的損傷區(qū)長度，由鋼筋混凝土梁柱構(gòu)件的損傷擴(kuò)展過程確定：在初始加載時，模型的損傷區(qū)長度LdI和LdJ取零，隨著外部荷載的增加，模型的損傷區(qū)長度LdI和LdJ逐步增加.如圖4所示，e為截面的變形向量，ξi（i＝1，2，3，4）為積分點(diǎn)的位置，ωi（i＝1，2，3，4）為積分點(diǎn)的權(quán)重.在當(dāng)前荷載步，模型兩端的損傷區(qū)長度為LdI，c和LdJ，c；在下一荷載步，模型兩端的損傷區(qū)長度為LdI，n和LdJ，n.

需要指出的是，在加載過程中，當(dāng)前荷載步迭代過程中模型的損傷區(qū)長度LdI，c和LdJ，c是由上一荷載步計算所得，下一荷載步迭代過程中模型的損傷區(qū)長度LdI，n和LdJ，n是由當(dāng)前荷載步計算所得.

由于損傷擴(kuò)展模型基于力型函數(shù)插值建立，因此該模型具有與基于柔度法的纖維梁柱模型相似的迭代策略，具體流程如圖5所示，圖中Er為單元收斂容許值.

2 損傷區(qū)長度計算

在鋼筋混凝土梁柱損傷擴(kuò)展模型中，損傷區(qū)長度的計算是關(guān)鍵.由于鋼筋混凝土梁柱構(gòu)件真實的損傷破壞過程具有2個主要的破壞特征點(diǎn)：混凝土的開裂與鋼筋的屈服（或受壓區(qū)混凝土達(dá)到極限壓應(yīng)變），因此模型損傷區(qū)長度也包含2個特征長度：開裂區(qū)長度和塑性區(qū)長度.其中，因為混凝土極限拉應(yīng)變遠(yuǎn)小于鋼筋屈服應(yīng)變或混凝土極限壓應(yīng)變，所以混凝土開裂一般早于鋼筋屈服或混凝土壓潰，即構(gòu)件開裂區(qū)的出現(xiàn)早于塑性區(qū)的出現(xiàn)；但此后隨外部荷載的增加，先形成的開裂區(qū)擴(kuò)展速率可能小于后形成的塑性區(qū)擴(kuò)展速率，因此在每個荷載步模型采用的損傷區(qū)長度取開裂區(qū)長度和塑性區(qū)長度的最大值.

圖5 損傷擴(kuò)展模型的迭代流程Fig.5 Iteration flow chart of damage spread model

模型首先根據(jù)力型函數(shù)插值獲得構(gòu)件各截面的彎矩M（x）.然后通過判斷各截面彎矩M（x）是否達(dá)到如下條件：M（x）＞Mcr，M（x）＞Mu來評估該截面是否進(jìn)入開裂區(qū)或塑性區(qū).其中，Mcr為截面的開裂彎矩；Mu為截面的屈服彎矩.若M（x）＞Mcr，表明位置x處的截面進(jìn)入開裂區(qū)；若M（x）＞Mu，表明位置x處的截面進(jìn)入塑性區(qū).具體步驟如下：

（1）混凝土未開裂、未壓潰且鋼筋未屈服之前將模型標(biāo)識為線彈性加載.然后根據(jù)當(dāng)前荷載步得到的端部截面變形計算端部截面邊緣混凝土的受拉應(yīng)變，如果該應(yīng)變達(dá)到混凝土極限拉應(yīng)變，將當(dāng)前荷載步的端部截面彎矩存儲為開裂彎矩Mcr，并將模型標(biāo)識為開裂加載.

（2）若模型標(biāo)識為開裂加載.首先根據(jù)當(dāng)前荷載步得到的端部截面變形計算端部截面鋼筋的拉壓應(yīng)變和邊緣混凝土的受壓應(yīng)變.如果邊緣混凝土壓應(yīng)變達(dá)到混凝土極限壓應(yīng)變或鋼筋應(yīng)變達(dá)到鋼筋屈服應(yīng)變，將當(dāng)前荷載步的端部截面彎矩存儲為屈服彎矩Mu，并將模型標(biāo)識為塑性加載；如果邊緣混凝土壓應(yīng)變沒有達(dá)到混凝土極限壓應(yīng)變或鋼筋應(yīng)變沒有達(dá)到鋼筋屈服應(yīng)變，以上一荷載步的開裂區(qū)長度Lc，c為起點(diǎn)，判斷當(dāng)前加載步后續(xù)各截面是否進(jìn)入開裂區(qū)，更新當(dāng)前荷載步的開裂區(qū)長度Lc，n.

（3）若模型標(biāo)識為塑性加載.首先基于力型函數(shù)插值計算各截面的截面力.對于塑性區(qū)長度，以上一荷載步的塑性區(qū)長度Ly，c為起點(diǎn)，判斷后續(xù)各截面是否進(jìn)入塑性區(qū)，更新當(dāng)前荷載步的塑性區(qū)長度Ly，n；對于開裂區(qū)長度，以上一荷載步的開裂區(qū)長度Lc，c為起點(diǎn)，判斷后續(xù)各截面是否進(jìn)入開裂區(qū)，更新當(dāng)前荷載步的開裂區(qū)長度Lc，n.

損傷區(qū)長度計算流程亦可用圖6表示.

圖6 損傷區(qū)長度計算流程Fig.6 Flow chart of damage zone length

3 數(shù)值算例

采用Tanaka和Park鋼筋混凝土懸臂柱試驗［15］，如圖7所示.圖中，V 為水平荷載，柱頂豎向荷載P＝0.3fcAg，柱截面面積Ag＝550mm×550 mm，柱高L＝1.650m，混凝土保護(hù)層厚度c＝40 mm，縱筋數(shù)目12根，直徑db＝20mm，鋼筋屈服強(qiáng)度fy＝510MPa，彈性模量Es＝200000MPa，素混凝土抗壓強(qiáng)度fc＝32MPa，混凝土彈性模量Ec＝30000MPa.

圖7 Tanaka和Park鋼筋混凝土柱試驗【15】Fig.7 Tanaka and Park RC column experiment【15】

基于Scott和Fenves分段纖維梁柱模型，引用修正的Kent-Park混凝土本構(gòu)模型，選用相同的本構(gòu)參數(shù)，采用不同的壓彎構(gòu)件塑性區(qū)長度計算公式確定Scott和Fenves分段纖維梁柱模型中的塑性區(qū)長度：根據(jù)朱伯龍模型，該鋼筋混凝土懸臂柱的塑性區(qū)長度為867mm；根據(jù)王福明模型，該鋼筋混凝土懸臂柱的塑性區(qū)長度為89mm；根據(jù)沈聚敏模型，該鋼筋混凝土懸臂柱的塑性區(qū)長度為102～255mm；根據(jù)Pauly和Priestley模型，該鋼筋混凝土懸臂柱的塑性區(qū)長度為356mm；根據(jù)Scott和Fenves模型，即式（2）基于混凝土受壓斷裂能推導(dǎo)得到的塑性區(qū)長度計算表達(dá)式，該鋼筋混凝土懸臂柱的塑性區(qū)長度為486mm.可見，不同的塑性區(qū)長度計算公式得到的塑性區(qū)長度相差較大.將其應(yīng)用到Scott和Fenves分段纖維梁柱模型中得到的鋼筋混凝土柱頂層位移-基底剪力曲線也相差較大，如圖8所示.

圖8 分段纖維模型基底剪力-頂點(diǎn)位移Fig.8 Base shear-top displacement curve of segmented fiber model

采用本文提出的鋼筋混凝土梁柱損傷擴(kuò)展模型，在加載過程中動態(tài)計算并更新?lián)p傷區(qū)長度，計算所得的頂點(diǎn)位移-基底剪力曲線如圖9所示.顯然，損傷擴(kuò)展模型不存在Scott和Fenves分段纖維梁柱模型的塑性區(qū)長度敏感性問題，且數(shù)值模擬結(jié)果與試驗結(jié)果吻合較好.

圖9 損傷擴(kuò)展模型基底剪力-頂點(diǎn)位移Fig.9 Base shear-top displacement curve of damage spread model

另一方面，如圖10所示，鋼筋混凝土損傷擴(kuò)展模型不僅能夠較好地模擬鋼筋混凝土梁柱構(gòu)件的響應(yīng)信息，而且能夠模擬鋼筋混凝土梁柱構(gòu)件隨加載過程的損傷發(fā)展：該懸臂柱在水平荷載為246.0 kN、水平位移為2.90mm時柱底截面達(dá)到開裂彎矩（圖10a）；此后，裂縫逐漸往構(gòu)件中部延伸，梁柱底部截面的彎矩逐步增大，在水平荷載為569.5kN、水平位移為15.55mm時底部截面達(dá)到屈服彎矩（圖10b），此時柱底的開裂區(qū)長度為941mm；裂縫繼續(xù)往構(gòu)件中部擴(kuò)展，同時構(gòu)件的塑性區(qū)長度也開始從柱底逐步往構(gòu)件中部擴(kuò)展，但開裂區(qū)長度的擴(kuò)展速率小于塑性區(qū)長度的擴(kuò)展速率，在水平荷載為591.5 kN、水平位移為31.00mm時，裂縫不再擴(kuò)展，開裂區(qū)長度穩(wěn)定在968mm；而塑性區(qū)長度繼續(xù)擴(kuò)展，在水平荷載為591.7kN、水平位移為32.20mm時塑性區(qū)擴(kuò)展也達(dá)到穩(wěn)定，塑性區(qū)長度為63mm（圖10c），表明此時該鋼筋混凝土懸臂柱的損傷已經(jīng)充分發(fā)展.

圖10 鋼筋混凝土柱的損傷發(fā)展過程Fig.10 Damage spread process of RC column

4 結(jié)語

對于混凝土這類應(yīng)力軟化材料，基于柔度法的纖維梁柱模型存在積分敏感性問題.Scott和Fenves的分段纖維梁柱模型避免了積分敏感性問題，但同時又產(chǎn)生了塑性區(qū)長度敏感性問題.本文從鋼筋混凝土梁柱構(gòu)件損傷動態(tài)擴(kuò)展的思路出發(fā)，認(rèn)為在數(shù)值計算過程中應(yīng)當(dāng)隨著荷載步的增加動態(tài)調(diào)整模型的損傷區(qū)長度，同時采用修正的2點(diǎn)Gauss-Radau積分，保證在損傷區(qū)域僅存在1個積分點(diǎn)，提出一類鋼筋混凝土梁柱損傷擴(kuò)展模型.數(shù)值計算結(jié)果表明，本文模型不僅能夠解決Scott和Fenves分段纖維梁柱模型的塑性區(qū)長度敏感性問題，具有較好的計算精度與數(shù)值穩(wěn)定性，而且能夠模擬鋼筋混凝土梁柱構(gòu)件的損傷擴(kuò)展.

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