吳萬宗湯學(xué)良

（1.上海大學(xué) 社會(huì)科學(xué)學(xué)院，上海200444；2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，上海200433）

高速公路收費(fèi)問題
——一個(gè)源于交通博弈的分析

吳萬宗1湯學(xué)良2

（1.上海大學(xué) 社會(huì)科學(xué)學(xué)院，上海200444；2.上海財(cái)經(jīng)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，上海200433）

當(dāng)個(gè)體考慮駕車到達(dá)某地或者是從互聯(lián)網(wǎng)上傳輸數(shù)據(jù)，都會(huì)涉及到最基本的博弈思想：人們不是簡單的選擇一條線路，而是需要去評(píng)估那些由他自己和其他人所做的決策引起的線路阻塞問題。［1］（P229－247）一旦個(gè)體是理性的參與人，他們的最終決策會(huì)達(dá)到我們通常所說的納什均衡解處。但是，令人吃驚的是，為了提高運(yùn)力而增加的額外道路，不但沒有提高交通運(yùn)輸能力，反而是減少了，這個(gè)結(jié)果被稱之為Braess悖論。顯然，它是一個(gè)壞的納什均衡。于是，為了解決這一難題，高速公路的收費(fèi)有時(shí)候看起來就不是那么令人討厭的了。

納什均衡；Braess悖論；高速公路；收費(fèi)

一、問題的提出

本文用一個(gè)有向圖來表示一個(gè)交通網(wǎng)絡(luò)：考慮用線條表示高速公路，而節(jié)點(diǎn)則表示出入特定高速公路的樞紐。例如，假設(shè)A為一個(gè)郊區(qū)樞紐，B為一個(gè)市區(qū)樞紐，我們正在關(guān)注一個(gè)早班車輛的行駛數(shù)據(jù)。統(tǒng)計(jì)結(jié)果是，每一條路段都會(huì)有一個(gè)特定的取決于其承載車輛多少的行駛時(shí)間。

圖1

為了使問題更加具體，考慮圖1中的交通網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)可以是任何一個(gè)有向圖。有一個(gè)駕駛?cè)藛T的集合，并且不同的駕駛?cè)藛T可以有不同的起始點(diǎn)和目的地?，F(xiàn)在，每條路段e具有一個(gè)行駛時(shí)間函數(shù)Te（x），它給出了當(dāng)有x名駕駛?cè)藛T行駛在該路段上，個(gè)體穿越路段所需時(shí)間是Te（x）。這些行駛時(shí)間是用簡化的函數(shù)來表示的，假設(shè)所有行駛時(shí)間函數(shù)是依據(jù)交通量而線性的，所以Te（x）＝Ae·x＋B，其中Ae、B為系數(shù)，并且有Ae、B＞0。

在這個(gè)簡化的例子中，路段AD和CB對(duì)阻塞不敏感：一方面，每輛車只需50分鐘即可行駛?cè)潭还苡卸嗌佘囕v在這一路段上；另一方面，路段AC和DB卻對(duì)阻塞非常敏感：對(duì)于每輛車來說，當(dāng)有x輛車行駛在此路段上時(shí)，將花費(fèi)他（她）x／100分鐘的時(shí)間去完成這一路段。①為使推理清晰，在任何現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中，我們可以簡化行駛時(shí)間，即每條公路本應(yīng)該具有最小行駛時(shí)間和對(duì)行駛其上車輛數(shù)的一個(gè)敏感時(shí)間。但是，指定路段上行駛時(shí)間的分析有助于更加直接適應(yīng)錯(cuò)綜復(fù)雜的運(yùn)行。

現(xiàn)在，假設(shè)作為早班車輛隊(duì)伍中的一部分，有4000輛車想從A地到B地。這里有兩條可能的路線供每一個(gè)駕駛?cè)藛T去選擇：途徑C的上行路線，或者是途徑D的下行路線。假若每個(gè)駕駛員選擇了上行路線，那么總的個(gè)體行駛時(shí)間為90分鐘，因?yàn)?000／100＋50＝90；對(duì)于全體都選擇下行路線來說是同樣的。另一方面，若車輛被平分兩隊(duì)，分別從上、下兩條路線行駛，以便每條路線僅承載2000輛車，這樣對(duì)于兩條路線上的人們來說每人只需花費(fèi)70分鐘，明顯好于上述兩條路線。

上面描述的交通模型可以進(jìn)一步的用博弈論的語言加以刻畫。［2］記4000名駕駛?cè)藛T為參與者的有限集合N，N＝4000。稱非空集Si為參與人i∈N的策略集合，參與人在策略集合里選擇任一策略Si，我們知道對(duì)于任意參與人來說，顯然該交通模型中的Si＝｛ACB，ADB｝。而每個(gè)參與人最終的選擇則取決于他們共同的決策，是一個(gè)時(shí)間數(shù)值的負(fù)值（因?yàn)榇蟮男旭倳r(shí)間非常糟糕）。當(dāng)然，在這里我們只談?wù)撝幸恍┘儾呗缘牟┺?，?duì)于混合策略的概念則暫不討論，并且這些談?wù)摑M足博弈論一些嚴(yán)格且有趣的假設(shè)。例如，有限理性、共同知識(shí)、完全信息等。通過以上的設(shè)定，我們可以立刻得到一個(gè)有關(guān)該交通博弈的結(jié)論：

結(jié)論1：假若參與者平均分布在兩條路線上去抵達(dá)目的地，則該交通博弈達(dá)到一個(gè)納什均衡。

為什么參與者平均分布在兩條路線上可以導(dǎo)出一個(gè)納什均衡，為什么所有的納什均衡會(huì)是一個(gè)平均分布。簡單地證明一下：對(duì)于第一個(gè)問題，我們僅需考慮在參與者平均分布在兩條路線上之后會(huì)不會(huì)有參與者做出改變即可。我們可以看出，對(duì)于所有參與者來說改變路線的成本會(huì)更大（支付變小），所以沒有參與者愿意做出改變，所以現(xiàn)在的狀況對(duì)他們來說就是最好的，此時(shí)是一個(gè)納什均衡。而對(duì)于第二個(gè)問題，考慮這樣一個(gè)策略組合：有x名參與者使用上行路線ACB，剩下的4000－x名參與者選擇下行路線ADB。假如x≠2000，那么兩條路線之間會(huì)有不同的行駛時(shí)間，并且任何一位在較慢路線上的參與者將會(huì)有足夠的動(dòng)力去轉(zhuǎn)移到更快的路線上去。進(jìn)一步講，我們得到x≠2000的策略組合不可能成為一個(gè)納什均衡，并且那些任一x＝2000的組合會(huì)是一個(gè)納什均衡。

在圖1中，每件事情都非常清晰地運(yùn)作著：所有駕駛?cè)藛T的理性行為帶來了均衡，促使他們完美地平衡選擇兩條可用的路線。但是，假如在該模型上做一個(gè)小小的改變，會(huì)立即發(fā)現(xiàn)一個(gè)違反我們直覺的事實(shí)。

圖2

作出如下改動(dòng)：假設(shè)市政府決定去修一條新的快速通道來連接C、D兩地，如圖2所示，為了保持那種簡化的分析，我們定義這條道路的行駛時(shí)間為0，而不管有多少汽車行使其上。②雖然這樣對(duì)結(jié)果的影響大于使用更加現(xiàn)實(shí)的行駛時(shí)間，但是這種影響很小。一旦新的道路修成，給人們的第一印象是：這時(shí)從A地到B地所用的時(shí)間會(huì)縮短。可是，令人吃驚的是，一旦加入新的高速通道到交通模型中去，實(shí)質(zhì)上是使得Si＝｛ACB，ADB，ACDB｝。對(duì)于得到的惟一納什均衡是一個(gè)更長的時(shí)間，所以是一個(gè)更加壞的均衡。在均衡解處，每個(gè)駕駛?cè)藛T選擇通過CD這一新路段的路線，每個(gè)參與者的行駛時(shí)間都是80分鐘（4000／100＋0＋4000／100＝80）。即我們可以得到第二個(gè)結(jié)論：

結(jié)論2：當(dāng)增加新的路段CD之后，所有參與者選擇路線ACDB是一個(gè)惟一的納什均衡。③這里隱含了CD為單行道的假設(shè)，即人們只可從C向D行駛。實(shí)際上，即使CD為雙向道，我們?nèi)匀豢梢缘玫皆摻Y(jié)論，因?yàn)槁肪€ADCB需要花費(fèi)100分鐘，這是一個(gè)嚴(yán)格劣策略。

接下來證明這為什么是一個(gè)惟一的納什均衡。

可以注意到，當(dāng)所有人選擇通過CD的路線后，沒有參與者可以通過改變路線來獲益：如果回避CD路線，選擇上行或者下行路線，都將花費(fèi)90分鐘。再考慮它為什么是惟一的均衡解。我們也可以發(fā)現(xiàn)，在C、D間建立的這一條道路實(shí)際上是讓通過CD這條路段成為所有參與者的一個(gè)占優(yōu)策略。換句話說，一旦CD路段被建立，就會(huì)像一個(gè)魔盒將所有參與者吸過來，并損害了所有人的收益。

這種通過增加網(wǎng)絡(luò)運(yùn)力卻破壞完美均衡的現(xiàn)象被Dietrich Braess于1968年首次明確提出，后來成為著名的Braess悖論。［3］如同許多違反常理的異象一樣，它需要復(fù)雜的條件合成才會(huì)突然出現(xiàn)；但是，這個(gè)悖論已經(jīng)在一些現(xiàn)實(shí)中被觀測到——韓國首爾，通過將一個(gè)六車道的高速公路改造成停車場，不但沒有增加交通阻塞，反而比先前更加暢通?？瓷先?，這更加像從反面佐證了Braess悖論。［4］

研究人員正在考慮Braess悖論是如何發(fā)生的。用博弈理論來講，實(shí)際上在說明增加一個(gè)新策略的設(shè)置，會(huì)使每個(gè)人的狀況變得更差而已。一個(gè)著名的例子就是囚徒困境（prisoners’dilemma）：比較每個(gè)囚徒面對(duì)的可選策略只有“不坦白”，將“坦白”策略加入博弈，使得每個(gè)囚徒的境況變得更加糟糕，從而有利于審判，這也是為什么警長會(huì)這么做的原因。［1］（P229－247）

然而，從直覺層面上來說，我們所有人會(huì)有一種美好的感覺，“升級(jí)”一個(gè)網(wǎng)絡(luò)意味著一個(gè)更加美好的事情將要發(fā)生，所以當(dāng)“升級(jí)”使事情變得更加糟糕之時(shí)，便令所有人感到吃驚了。

實(shí)際上，Braess悖論只是有關(guān)交通博弈問題中一大堆工作的開始。人們可以保有疑問，在新加入一條路段之后，均衡時(shí)間能夠擴(kuò)大多少？它與原來的均衡又有多大聯(lián)系？交通網(wǎng)絡(luò)可不可以是任意的，這些問題或已經(jīng)得到解決，或有待研究。但是，本文所要考察的卻是通過這一悖論所引出的有關(guān)現(xiàn)實(shí)中的一個(gè)看似完美解決這一悖論的措施——在高速公路上安放收費(fèi)站，似乎可以阻止那種令人驚訝的壞的均衡發(fā)生。

二、均衡處的社會(huì)成本

我們?cè)囍チ炕幌?，最?yōu)的社會(huì)成本和均衡時(shí)的社會(huì)成本究竟有多大差距？而社會(huì)成本TSC（Total Social Cost）在該模型中被定義為所有使用道路的駕駛?cè)藛T行駛時(shí)間的總和。

圖3

先來看圖3（a），這時(shí)候所有4000名駕駛?cè)藛T（從A地到B地）的理性選擇使得車流平分為上下兩條路徑，各路徑上分別有2000人。在圖3（a）中導(dǎo)出了最小的社會(huì)成本，當(dāng)然，此時(shí)的社會(huì)福利也就是最大化的，每一位駕駛?cè)藛T都需花費(fèi)70分鐘去到達(dá)目的地。所以總的社會(huì)成本是TSC1＝70＊4000＝280000分鐘。

再來看圖3（b），這時(shí)候4000名駕駛?cè)藛T均會(huì)選擇ACDB這一“之”型的路線，因?yàn)檫@是他們的占優(yōu)策略，而每一位駕駛?cè)藛T的行駛時(shí)間為80分鐘。在圖3（b）中，納什均衡處的社會(huì)成本TSC2＝80＊4000＝320000分鐘。我們還知道的事實(shí)是，在圖3（b）中，280000分鐘是最優(yōu)的社會(huì)成本，但卻沒有被得到。

很明顯，TSC2＞TSC1，這從社會(huì)成本的角度再次印證了Braess悖論的發(fā)生，所以，當(dāng)加入一個(gè)新的路段到交通博弈中去時(shí)，壞的均衡是可能發(fā)生的。現(xiàn)在，我們考慮收費(fèi)站T伴隨新路段CD的加入而加入。為了得到完美地結(jié)果，或者說更加貼近現(xiàn)實(shí)，需要對(duì)以上分析的博弈稍加修改，這種修改也只是限于假設(shè)層面。

三、收費(fèi)站的設(shè)置

現(xiàn)在改變一些假設(shè)，參與博弈的駕駛?cè)藛T（從A地到B地）被平分成這樣的兩類人：一類是優(yōu)先考慮行駛的時(shí)間成本，另一類是首先考慮金錢成本。當(dāng)我們計(jì)算社會(huì)總成本的時(shí)候仍然以行駛時(shí)間為參照，即時(shí)間與金錢暫不考慮可以互相轉(zhuǎn)化。當(dāng)然我們是在摒棄燃油費(fèi)、建立路段CD和收費(fèi)站T的成本的條件下再次審視這個(gè)博弈。

這時(shí)候，我們?cè)賮砜紤]這個(gè)交通博弈，均衡會(huì)是什么呢？社會(huì)最優(yōu)解處的成本與博弈均衡解處的成本又有怎樣的差異？

圖4

我們可以從圖4看出，在均衡處，一類駕駛?cè)藛T會(huì)為了節(jié)省過路費(fèi)而選擇相對(duì)便宜的上下路徑，且這2000人會(huì)平均分布在ACB和ADB路線上，每個(gè)人花費(fèi)3000／100＋50＝80分鐘；而另一類駕駛?cè)藛T，他們則不顧收費(fèi)站的存在選擇占優(yōu)策略——ACDB“之”字型路徑，每個(gè)人花費(fèi)3000／100＋0＋3000／100＝60分鐘。

現(xiàn)在我們?cè)賮砜纯淳馓幍纳鐣?huì)總成本TSC＝80＊2000＋60＊2000＝280000分鐘，這與我們最初考察的社會(huì)最優(yōu)成本是一致的。所以，我們可以得出結(jié)論：

結(jié)論3：在新路段加入時(shí)，配套的收費(fèi)系統(tǒng)可以有效地防止Braess悖論發(fā)生，可以使那個(gè)壞的納什均衡不出現(xiàn)，此時(shí)社會(huì)福利是最優(yōu)的。

所以，在我們衡量政府一個(gè)措施出臺(tái)或者是規(guī)制的效果時(shí)，不能單單的考量其表面的一些數(shù)據(jù)，還應(yīng)看看其背后隱藏的許多其他要素間的相互影響，這也是博弈論在當(dāng)代分析工具領(lǐng)域所具有的獨(dú)特魅力所在。

四、本文的啟示與不足

本文的假設(shè)都是為了得到最終的結(jié)果。例如，對(duì)路段時(shí)間函數(shù)的設(shè)立，兩類人的平均概率分布，時(shí)間與金錢不相互轉(zhuǎn)化，還有交通均衡的納什均衡解是否存在，如何尋找的問題。這都是我們必須要進(jìn)一步深入探討的，如果放松上述條件仍然可以得到一個(gè)一般性的結(jié)論，那么就是說我們可以有效解決Braess悖論。但是，本文只是為了說明一個(gè)問題：當(dāng)人們總是在討論公路收費(fèi)問題是如何糟糕的時(shí)候，通過其背后隱藏的信息，有時(shí)候那些看似壞的規(guī)制并不總是很糟糕。所以，本文使用一些很強(qiáng)的假設(shè)足矣去說明一個(gè)問題：當(dāng)前形勢下的一些道路收費(fèi)政策，如果我們從博弈的視角看，是有其合理性的。

［1］David Easley ，Jon Kleinberg.Networks.Crowds，and Markets：Reasoning about a Highly Connected World ［M］.Cambridge University Press，2010.

［2］〔加〕馬丁.J.奧斯本，〔美〕阿里爾·魯賓斯坦.博弈論教程［M］.魏玉根，譯.高峰，校.北京：中國社會(huì)科學(xué)出版社，2000.

［3］Dietrich Braess.Uber ein paradoxon aus der verkehrsplanung［J］.Unternehmensforschung，1968，（12）.

［4］Linda Baker.Removing roads and traffic lights speeds urban travel ［J］.Scientific American.2009，2.

吳萬宗（1986－），男，上海大學(xué)社會(huì)科學(xué)學(xué)院政治經(jīng)濟(jì)學(xué)2010級(jí)碩士研究生，主要從事公共經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)主義經(jīng)濟(jì)理論研究；湯學(xué)良（1986－），男，上海財(cái)經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院經(jīng)濟(jì)學(xué)2011級(jí)博士研究生，主要從事博弈理論、宏觀經(jīng)濟(jì)理論研究。