張 慧，岳育英，白勇菊

(1.延安大學 數學與計算機科學學院，陜西 延安 716000;2.靖邊七中，陜西 靖邊 718500;3.吳堡縣宋家川鎮(zhèn)教委，陜西 吳堡 728200)

定義 1［1］設矩陣 A=(aij)n×n∈Mn(C)，Mij為矩陣A中元素aij的余子式，將矩陣

稱為矩陣A的弱伴隨矩陣。

定義2［2］矩陣A與B相抵(或等價)是指對矩陣A作行和列的有限次初等變換后可得到矩陣B，亦即存在初等矩陣 T1，…，Tp，S1，…，Sq使得

定義3［3］設矩陣A，B∈Mn(C)，如果存在非奇異矩陣S∈Mn(C)，使得

則稱B與A相似。

定義4［3］設矩陣A，B∈Mn(C)，如果存在酉矩陣 U∈Mn(C)，使得

則稱B酉等價(或酉相似)于A，如果U可以取實矩陣(因而是正交矩陣)，那么就稱B正交等價(正交相似)于A。

定義5［4］設矩陣A，B∈Mn(C)，如果存在非奇異矩陣Q∈Mn(C)，使得

則稱A與B是共軛相合(或共軛合同)的;或者使得

則稱A與B是轉置相合(或轉置合同)的。

引理 1［5］設矩陣 Eij，Ei(k)，Eij(k)∈Mn(C)，Eij是第一種初等矩陣，Ei(k)是第二種初等矩陣，Eij(k)是第三種初等矩陣，則

定理 設矩陣A，B∈Mn(C)，

(1)若 AB=BA，則 A*wB*w=B*wA*w;

(2)若A與B相抵，則A*w與B*w相抵;

(3)若A與B相似，則A*w與B*w相似;

(4)若A與B酉等價，則A*w與B*w酉等價;

(5)若A與B正交等價，則A*w與B*w正交等價;

(6)若A與B共軛相合，則A*w與B*w共軛相合;

(7)若A與B轉置相合，則A*w與B*w轉置相合。

證明(1)因為AB=BA，所以

(2)因為A與B相抵，所以存在初等矩陣T1，…，Tp，S1，…，Sq使得

因為 T1，…，Tp，S1，…，Sq是初等矩陣，所以，…，…也是初等矩陣，因此A*w與B*w也相抵。

(3)因為A與B相似，所以存在非奇異矩陣T使得 T－1AT=B。

①當|A|≠0，則|B|=|T－1AT|=|A|≠0，

②當|A|=0，|B|=|T－1AT|=|A|=0，則必存在 δ＞0，當0＜t＜δ時，

由①知存在非奇異矩陣Q使得

上式兩端矩陣的元素都是關于t的n次多項式，當0＜t＜δ時，對應元素相等，因此對任何t，(B+tE)*w=Q－1(A+tE)*wQ 都成立，取 t=0，B*w=Q－1A*wQ。

故A*w與B*w相似。

同理可證(4)，(5)也成立。

(6)因為A與B共軛相合，所以存在非奇異矩陣T，使得 THAT=B。

因為T是非奇異矩陣，所以(TH)*w也是非奇異矩陣。

故A*w與B*w共軛相合。

同理可證(7)成立。

［1］李順琴，劉興祥.弱伴隨矩陣及其性質［J］.延安大學學報，2005，24(4):24 －26.

［2］張賢科，許甫華.高等代數學［M］.北京:清華大學出版社，2004.

［3］Roger A H，Charles R J.Matrix analysis［M］.北京:人民郵電出版社，2005.

［4］陳景良，陳向暉.特殊矩陣［M］.北京:清華大學出版社，2001.

［5］張慧，劉興祥.弱伴隨矩陣的關聯性質［J］.河南科學，2011，29(3):32 －35.