符云錦

（鳳凰縣兩林學(xué)區(qū)，湖南鳳凰 416211）

一種雙參數(shù)指權(quán)平均

符云錦

（鳳凰縣兩林學(xué)區(qū)，湖南鳳凰 416211）

首先定義了雙參數(shù)指權(quán)平均，然后討論其單調(diào)性得到了一些結(jié)論，并利用這些結(jié)論導(dǎo)出一系列平均和不等式。

雙參數(shù)平均；單調(diào)性；不等式

1 定義

定義1.1 若ai，bi＞1（i＝1，2，…，n），帶參數(shù)s和t的雙參數(shù)指權(quán)平均定義為

本文探究Za，b（s，t）關(guān)于參數(shù)s和t的單調(diào)性，并發(fā)現(xiàn)它本身包含有許多著名的平均，同時(shí)利用其單調(diào)性導(dǎo)出了許多不等式。

2 引理

引理2.1 若ai，bi＞0（i＝1，2，…，n）,則

于是當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）是下凸函數(shù),根據(jù)詹生不等式〔1-2〕，得

引理2.2〔3〕若ai＞0（i=1，2，…，n），則函數(shù)

為增函數(shù)。

證明:見(jiàn)文獻(xiàn)［3］。

3 主要結(jié)論

定理3.1 雙參數(shù)指權(quán)平均Za，b（s，t）關(guān)于參數(shù)s是遞增的。

證明:(為了簡(jiǎn)便，Za，b（s，t）簡(jiǎn)記為Z)

兩端取自然對(duì)數(shù)并對(duì)其求導(dǎo)，得

于是，當(dāng)s≠0時(shí)，Za，b（s，t）關(guān)于參數(shù)s是遞增的。

又由洛必達(dá)法則（L’Hospital）［4-5］易知

故雙參數(shù)指權(quán)平均Za，b（s，t）關(guān)于參數(shù)s是遞增的。

定理3.2 若ai，bi＞0（i=1，2，…，n），則

（Ⅰ）當(dāng)0＜ai＜1,0＜bi＜1或ai＞1，bi＞1或s=0時(shí),Z關(guān)于參數(shù)t遞增；

（Ⅱ）當(dāng)0＜ai＜1,bi＞1或ai＞1，0＜bi＜1且s≠0時(shí),Z關(guān)于參數(shù)t遞減；

（Ⅲ）當(dāng)bi=1時(shí),Z關(guān)于參數(shù)t不變。

證明:當(dāng)s=0時(shí),由引理2.2可知，Z關(guān)于參數(shù)t遞增；

當(dāng)bi≠1時(shí),判定λ的符號(hào)如下：

由引理2.2知，若s≠0時(shí),則當(dāng)λ與s同號(hào)時(shí)，Z't≥0；當(dāng)λ與s異號(hào)時(shí)，Z't≤0,即定理中(Ⅰ)、(Ⅱ)成立。

當(dāng)bi=1時(shí)，雙參數(shù)指權(quán)平均變?yōu)閮缙骄?，即?/p>

與t無(wú)關(guān)，即(Ⅲ)成立。

綜上所述，定理3.2得證。

定理3.3 若ai＝bi（i=1，2，…，n）時(shí)，則Z關(guān)于參數(shù)s，t均遞增。

證明:由ai＝bi，則

為一種雙參數(shù)平均［3］，具體證明見(jiàn)文獻(xiàn)［3］。

定理3.4 若s1≤s2，則Za,b（s1，t）≤Za,b（s2，t）。

證明:根據(jù)定理3.2可知Za,b（s1，t）≤Za,b（s2，t）。

4 應(yīng)用

4.1 應(yīng)用雙參數(shù)指權(quán)平均導(dǎo)出許多著名平均

（1）當(dāng)ai＝bi時(shí)，可以引出許多著名的平均，見(jiàn)文獻(xiàn)［3］。

（2）令t＝1，則可得到加權(quán)冪平均［6-13］，即H?lder’s平均：

特別的，當(dāng)bi=1（i=1，2，…，n）時(shí)，Za,b（s，1）為冪平均［14］。

4.2 應(yīng)用雙參數(shù)指權(quán)平均的性質(zhì)導(dǎo)出新的不等式

（1）若ai，bi＞0時(shí)，由定理3.1可得

（2）若0＜ai＜1,0＜bi＜1,時(shí)，由定理3.2可得

（3）若ai＞1,0＜bi＜1,且s≠0時(shí)，由定理3.2可得

根據(jù)本文的結(jié)果，還可以導(dǎo)出許多不等式，這里不再贅述。

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A Two-parameter Defining Weighted Average

FU Yunjin
（Lianglin School District of Fenghuang，F(xiàn)enghuang,Hunan 416211,China）

This article refers to two-parameter defining the weighted average,and then discusses its monotonicity.Finally some conclusions are summarized,which are used to derive many averages and inequalities.

two-parameter mean；monotony；inequality

O178［文獻(xiàn)標(biāo)志碼］A［文章編號(hào)］1672-2345（2012）04-0001-04

2011-04-21

2011-05-08

符云錦，主要從事初等數(shù)學(xué)、分析學(xué)及其應(yīng)用、微分方程、教育理論及其應(yīng)用研究.

（責(zé)任編輯 袁 霞）