宋勇軍，雷勝友，韓鐵林

（1.長安大學(xué) 公路學(xué)院，西安 710064；2.西京學(xué)院 工程技術(shù)系，西安 710123；3.西安理工大學(xué) 巖土工程研究所，西安 710048）

1 引 言

近年來，隨著工程建設(shè)規(guī)模的不斷發(fā)展，巖石的流變問題越來越突出，迫切需要建立巖石非線性流變模型，以模擬巖石全部3個階段的蠕變破壞過程[1]。許多研究者在這方面進行了大量的研究，從現(xiàn)象流變學(xué)的角度建立了眾多流變模型，根據(jù)經(jīng)典的線性基本力學(xué)元件建立多參數(shù)組合流變模型，并在線性流變模型的基礎(chǔ)上通過引入非線性力學(xué)元件建立非線性流變模型[2－10]，為了更好地擬合試驗結(jié)果，有的模型使用了多個元件，這樣的做法雖然達到了較好的擬合效果，但卻增加了參數(shù)的個數(shù)。因此，得到參數(shù)少、效果好的模型已成為很多研究者追求的目標。殷德順等[11]利用分數(shù)階微積分理論，提出一種軟體元件，用來模擬介于理想固體和流體之間的巖土材料，該元件能夠很好地反映蠕變現(xiàn)象的非線性漸變過程。然而，基于分數(shù)階微積分理論的軟體元件和經(jīng)典的線性力學(xué)元件的組合模型雖能夠描述巖石初始蠕變和穩(wěn)定蠕變的非線性行為，卻不能刻畫巖石的加速蠕變特性?；谝陨险J識，本文嘗試將非線性黏性元件和基于分數(shù)階微積分理論的軟體元件結(jié)合起來，建立一個參數(shù)較少、又能全面反映蠕變3階段的非線性流變模型，并用建立的流變模型對蠕變試驗結(jié)果進行擬合，驗證模型的適用性。

2 含分數(shù)階微積分的軟體元件

大多數(shù)巖石都具有明顯的流變特性。它像固體一樣具有一定剛度，同時又像流體一樣可以流動。在低應(yīng)力水平下巖石流變常表現(xiàn)為黏彈性特性，常用的黏彈性模型是將彈簧元件和黏性元件進行串并聯(lián)組合來反映巖石流變的黏彈性特征，如Maxwell模型、廣義Kelvin模型和Burgers模型等，然而彈簧元件是理想固體模型，黏性元件是理想流體模型，要想更好地擬合試驗結(jié)果，就要采用較多的力學(xué)元件。含分數(shù)階微積分的軟體元件被認為是介于理想固體和流體之間的一種元件模型，能夠很好地反映巖土材料的黏彈性特征[11－12]。分數(shù)階微積分有很多定義，本文采用Riemann-Liouville 型分數(shù)階微積分算子理論，對于函數(shù)f(t)的β階積分定義為

分數(shù)階微分定義為

式中：β＞0，且n-1＜β≤n（n為正整數(shù)）；Γ(β)為Gamma函數(shù)，其定義為

分數(shù)階微積分的Laplace變換公式為

眾所周知，理想固體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系滿足虎克定律σ(t)-ε(t)，理想流體滿足牛頓黏性定律：σ(t)-d1ε(t)/dt1，如果將σ(t)-ε(t)改寫為σ(t)-d0ε(t)/dt0，則有充分理由認為介于理想固體和理想流體之間的巖土材料應(yīng)該有

殷德順等[11]將滿足式（5）的力學(xué)元件定義為軟體元件，郭佳奇等[13]將其命名為FC元件。式（5）中β和ξ均為常數(shù)（對于某種材料而言），β為分數(shù)階微分的階數(shù)，當β=0時，該軟體元件就是彈簧元件，代表理想固體；當β=1時，該軟體元件就變成黏性元件，代表理想流體。式（5）不僅包含了理想固體和理想流體，而且刻畫了處于它們之間的其他材料。ξ為黏彈性系數(shù)，類似于虎克定律中的彈性模量，需要注意到的是，ξ量綱為[應(yīng)力·時間β]。

當σ(t)=常數(shù)，即應(yīng)力不變的情況下，元件將描述蠕變現(xiàn)象，對式（5）兩邊進行分數(shù)階積分，根據(jù)Riemann-Liouville型分數(shù)階微積分算子理論，可得FC元件的蠕變方程為

式中：σ0為初始恒定應(yīng)力。同理，當ε(t)=常數(shù)時，F(xiàn)C元件將描述應(yīng)力松弛，經(jīng)過推導(dǎo)可得松弛方程為

式中：ε0為對應(yīng)于初始應(yīng)力的初始應(yīng)變。對于不同材料，可通過調(diào)整 FC元件的參數(shù)β、ξ，改變?nèi)渥兦€或松弛曲線的線型，從而精確擬合材料的試驗結(jié)果，使它更真實地體現(xiàn)材料的蠕變特性。

3 非線性黏塑性體

巖石在較高應(yīng)力水平下大多表現(xiàn)為黏塑性加速流變特征，經(jīng)典的線性元件組合模型不能描述巖石的加速蠕變特性。為此，建立新的非線性黏彈塑性流變模型必須能夠反映巖石蠕變的這一特點，常用冪函數(shù)[4,8,14]黏塑性體來描述巖石加速蠕變階段變形隨時間的變化關(guān)系。相應(yīng)的蠕變方程為

式中：n為蠕變指數(shù)，反映巖石加速蠕變速率的快慢程度；σs為巖石的長期強度，可通過試驗確定；t0為參考時間，這里設(shè)定為1；H(σ)為Heaviside單位階躍函數(shù)，其表達式為

4 非線性流變模型

巖石流變往往是彈性、黏性、塑性、黏彈性和黏塑性等多種變形共存的一個復(fù)雜過程。為了清楚地描述巖石蠕變?nèi)^程，充分體現(xiàn)巖石蠕變非線性漸變過程和加速蠕變特性，本文采用四元件流變模型，用彈簧元件反映巖石的瞬時彈性特性，用 FC元件反映黏彈性特性，用冪函數(shù)黏塑性體反映加速蠕變的黏塑性特性，如圖1所示，相應(yīng)的蠕變模型狀態(tài)方程為

圖1 巖石非線性黏彈塑性流變模型Fig.1 Nonlinear viscoelasto-plastic rheological model of rock

以上兩式中：σ和ε分別為模型總的應(yīng)力和應(yīng)變；σ1、σ2和σ3分別為第1、2和3部分的應(yīng)力；ε1、ε2和ε3分別為第1、2和3部分的應(yīng)變；E和η分別為材料的彈性和黏性參數(shù)；ξ為黏彈性系數(shù)；β為分數(shù)階微分的階數(shù)。

對上述各等式分別進行Laplace變換，然后整理再進行 Laplace逆變換，可得非線性模型的流變本構(gòu)方程為

根據(jù)以上兩式，利用初始條件t=0、σ=σ0可求得蠕變方程為

5 非線性流變模型理論曲線與試驗驗證

結(jié)合本文提出的四元件非線性模型，給出在不同參數(shù)情況下的蠕變理論曲線，并根據(jù)徐衛(wèi)亞等[2－3]文中三軸蠕變試驗數(shù)據(jù)，利用本文非線性流變模型與徐衛(wèi)亞等[4]文中的非線性黏彈塑性流變模型進行比較分析，驗證該模型的適用性。

當 σ0≤σs時，當前應(yīng)力不大于巖石的長期強度，巖石的蠕變趨于穩(wěn)定，不會出現(xiàn)加速蠕變階段，冪函數(shù)黏塑性體不參與工作。根據(jù)式（14），將彈、黏性參數(shù)取為定值，β值取為變量得到的巖石蠕變理論曲線如圖2所示?？梢钥闯觯S著β值的逐漸增大，巖石表現(xiàn)出逐漸增強的蠕變特性。當β趨近于0時，F(xiàn)C元件接近理想彈性體，模型為兩個彈簧元件串聯(lián)，實質(zhì)仍為虎克體；當β逐漸增大趨近于1時，F(xiàn)C元件接近理想流體，模型為Maxwell模型。巖石的巖性不同，其蠕變特性也會出現(xiàn)差異。硬巖一般只具有微弱的蠕變特性，接近于理想彈性體，可用較小的β值進行模擬；軟巖具有較明顯的蠕變特性，則可用較大的β值進行模擬。

圖2 低應(yīng)力條件下的蠕變曲線Fig.2 Creep curves in low stress conditions

當σ0＞σs時，巖石經(jīng)歷初始蠕變、穩(wěn)定蠕變后進入加速蠕變階段，冪函數(shù)黏塑性體開始參與工作。根據(jù)式（15）得到的蠕變理論曲線如圖3所示。通過調(diào)整蠕變指數(shù)n值的大小，可用于描述巖石在加速流變階段的蠕變速率的快慢程度。

根據(jù)徐衛(wèi)亞等[2－3]文中利用巖石全自動流變伺服儀得到的錦屏一級水電站綠片巖典型三軸流變試驗數(shù)據(jù)，分別利用本文提出的非線性流變模型與徐衛(wèi)亞等[4]文中的五元件廣義Kelvin模型與冪函數(shù)黏塑性體串聯(lián)而成的非線性黏彈塑性流變模型（河海模型）進行比較研究，結(jié)果見圖 4，所用模型參數(shù)見表1。

本文模型為四元件模型，通過圖4的擬合結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，與七元件河海模型相比，擬合程度基本一致，說明FC元件、彈簧元件與冪函數(shù)黏塑性體相結(jié)合的非線性組合流變模型能有效地描述巖石的3階段蠕變特性，從而在擬合蠕變試驗規(guī)律時，在效果相同的情況下，應(yīng)用本模型可達到減少模型參數(shù)的目的。

圖3 高應(yīng)力條件下的蠕變曲線Fig.3 Creep curves in high stress conditions

圖4 綠片巖蠕變?nèi)糖€Fig.4 Creep curves of greenschist specimen

表1 模型參數(shù)Table1 Parameters of models

6 結(jié) 論

（1）根據(jù)分數(shù)階微積分理論，將含分數(shù)階導(dǎo)數(shù)的軟體元件（FC元件）與彈簧元件串聯(lián)，結(jié)合一個冪函數(shù)黏塑性體，提出一種新的非線性黏彈塑性流變模型，并給出該模型的本構(gòu)方程和蠕變方程。

（2）繪制不同應(yīng)力條件下非線性流變模型的理論曲線。巖石穩(wěn)定蠕變速率的快慢程度可通過調(diào)整分數(shù)階微分階數(shù)β值的大小進行有效地擬合，加速蠕變階段的蠕變速率變化則可通過調(diào)整蠕變指數(shù)n值進行模擬。在較低應(yīng)力水平時，非線性蠕變模型能夠描述材料的初始蠕變和穩(wěn)定蠕變；當應(yīng)力水平超過材料的長期強度時，模型能夠反映加速蠕變特性。

（3）利用本模型對三軸蠕變試驗數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果表明，含有軟體元件和冪函數(shù)黏塑性體的非線性流變組合模型能夠有效地描述巖石的3階段蠕變特性，從而減少了組合模型中的元件個數(shù)和模型參數(shù)。

（4）含軟體元件和冪函數(shù)黏塑性體的巖石非線性流變模型擬合效果好、模型參數(shù)少，為研究各類巖石蠕變現(xiàn)象提供了一種新的途徑。然而，該模型對于巖石應(yīng)力松弛的適用性尚需要進一步的理論研究和實踐檢驗，這也是今后要研究的重要課題。

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