劉 欽，李術(shù)才，李利平，原小帥，趙 勇

（1. 長安大學(xué) 建筑工程學(xué)院，西安 710061；2. 山東大學(xué) 巖土與結(jié)構(gòu)研究中心，濟(jì)南 250061；3. 鄭州市軌道交通建設(shè)管理辦公室，鄭州 450000；4. 鐵道部工程設(shè)計(jì)鑒定中心 橋隧咨詢部，北京 100844）

1 引 言

根據(jù)國民經(jīng)濟(jì)和社會發(fā)展戰(zhàn)略部署，高速增長的資源流動性和速度需求使得我國交通網(wǎng)建設(shè)、能源開采、油氣儲備等大型基礎(chǔ)建設(shè)活動近年來呈現(xiàn)迅猛的發(fā)展態(tài)勢[1－2]。我國是個(gè)多山的國家，山區(qū)主要分布于西南地區(qū)，因此，基礎(chǔ)建設(shè)過程中所規(guī)劃的長、大、深隧道難免要穿過軟弱破碎地層，而軟弱破碎地層的巖體的變形往往具有累進(jìn)性擴(kuò)展和時(shí)間效應(yīng)兩大特征，給施工建設(shè)造成極大的困 難，也給隧道設(shè)計(jì)、施工帶來一系列的問題。巖體工程的失穩(wěn)和破壞絕大多數(shù)都與巖石的蠕變特性有關(guān)[3－6]，為了保證軟弱破碎圍巖隧道巖土工程施工安全及長期穩(wěn)定性，必須考慮巖石的蠕變特性[7－9]。

本文以貴廣(貴陽至廣州)鐵路天平山隧道軟弱破碎圍巖地段炭質(zhì)頁巖為研究對象，采用分級加載的方式，對該巖石進(jìn)行了常規(guī)三軸壓縮試驗(yàn)和三軸壓縮蠕變試驗(yàn)。基于試驗(yàn)成果，分析了炭質(zhì)頁巖的蠕變力學(xué)特征，建立了黏彈塑性應(yīng)變軟化蠕變力學(xué)模型，并推導(dǎo)了該力學(xué)模型的本構(gòu)方程，借助MATLAB程序中的最小二乘工具，對模型的參數(shù)進(jìn)行了辨識。結(jié)果顯示，本文模型能夠較好地描述依托工程頁巖蠕變過程，且能夠反映其蠕變機(jī)制。

2 工程概況

在建的貴廣高速鐵路是我國重點(diǎn)支撐性基礎(chǔ)設(shè)施項(xiàng)目。貴廣鐵路是我國西南地區(qū)一條重要的戰(zhàn)略要道，全長857 km，途徑我國西南的貴州省、廣西壯族自治區(qū)，終于南部沿海省份廣東省。貴陽至廣州鐵路天平山隧道(DK366+870～DK380+875)，全長14005 m，最大埋深775 m，為雙線單洞隧道，設(shè)計(jì)時(shí)速為250 km。隧道洞身穿過奧陶系、寒武系地層，以砂巖、頁巖為主，局部段落為頁巖夾炭質(zhì)頁巖，砂巖裂隙發(fā)育，且洞身段穿越4條區(qū)域性大斷層，地下水發(fā)育，炭質(zhì)頁巖屬軟弱圍巖，尤其當(dāng)厚層炭質(zhì)頁巖、構(gòu)造發(fā)育、巖體破碎、富含地下水時(shí)，因圍巖強(qiáng)度低、開挖后風(fēng)化快、透水性弱、親水性強(qiáng)，浸水后容易產(chǎn)生較大的塑性變形甚至蠕變，在施工中可能引起較大的擠壓性變形。當(dāng)隧道開挖前處在高圍壓狀態(tài)時(shí)，尚具有較高的強(qiáng)度和穩(wěn)定性；當(dāng)圍壓降低、圍巖應(yīng)力差增大時(shí)，結(jié)構(gòu)面張開或滑移，圍巖整體強(qiáng)度和模量降低，表現(xiàn)出顯著的結(jié)構(gòu)蠕變特點(diǎn)。

圖1為天平山隧道開挖至軟弱變形段處洞內(nèi)揭露圍巖。

圖1 天平山隧道洞內(nèi)揭露圍巖Fig.1 Exposed rock of Tianpingshan tunnel

3 炭質(zhì)頁巖力學(xué)特性試驗(yàn)

3.1 試驗(yàn)過程及試驗(yàn)結(jié)果

試驗(yàn)中所用的炭質(zhì)頁巖取自天平山隧道試驗(yàn)里程段，在現(xiàn)場進(jìn)行簡單切割之后，采用土工布包裹，運(yùn)輸至試驗(yàn)室。經(jīng)過 ZS-100鉆孔取樣機(jī)水鉆法鉆取巖芯，巖石切割機(jī)切割，雙端面磨平機(jī)打磨等幾道工序，制成直徑為50 mm，高100 mm的圓柱形巖樣，符合國際巖石力學(xué)學(xué)會規(guī)定的高徑比2.0～2.5的要求。試件加工精度按我國《工程巖體試驗(yàn)方法標(biāo)準(zhǔn)》[16]執(zhí)行。

本次試驗(yàn)采用等側(cè)向壓力條件下的三軸壓縮試驗(yàn)（σ2=σ3）。將安裝完成的試塊置入三軸室之后，對三軸室充油，打開圍壓控制閥，施加圍壓，圍壓分別采用0、3、5 MPa，最后一次性連續(xù)加載軸壓直至試件破壞，加載速度控制在0.5 MPa/s。試驗(yàn)機(jī)自動記錄試驗(yàn)過程的應(yīng)力和變形值，采樣間隔設(shè)置為0.02 min，試驗(yàn)過程中蠕變儀全程記錄試驗(yàn)過程中試件的應(yīng)力、變形等數(shù)據(jù)。三軸壓縮試驗(yàn)過程及部分試件破壞形態(tài)見圖2。圖3為頁巖試件在不同圍壓條件下的瞬時(shí)三軸應(yīng)力-應(yīng)變曲線。

圖2 三軸壓縮試驗(yàn)過程及部分試件破壞形態(tài)Fig.2 Triaxial compression test process and failure modes of some tests

圖3 不同圍壓下頁巖試件的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.3 σ-εcurves of shale samples under different confining pressures

由于本次三軸試驗(yàn)在圍壓較低情況下進(jìn)行，試驗(yàn)巖樣呈現(xiàn)出明顯的脆性破壞，表現(xiàn)出較明顯的應(yīng)變軟化特性，相比3 MPa圍壓和5 MPa圍壓條件下的峰后軟化段曲線變化平緩，并且峰值強(qiáng)度和殘余強(qiáng)度均有所提高。巖石在三向應(yīng)力狀態(tài)下是受主應(yīng)力的作用，主平面為受壓平面，試件表面無剪應(yīng)力作用，故當(dāng)軸向壓力增大時(shí)，巖石試塊一方面會沿著最大主應(yīng)力方向的微裂紋產(chǎn)生拉裂且延伸，另一方面，由于圍壓作用迫使其沿著最大主應(yīng)力斜交方向產(chǎn)生滑動，使巖石試塊產(chǎn)生以張裂為主的拉剪的宏觀破壞[11－14]。巖石強(qiáng)度特性隨著應(yīng)力狀態(tài)的改變而變化，相比單軸應(yīng)力狀態(tài)，三向應(yīng)力狀態(tài)下巖石的強(qiáng)度較高。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果，3 MPa圍壓條件下，頁巖試件的極限抗壓強(qiáng)度在 20～30 MPa之間；5 MPa圍壓條件下，頁巖試件的極限抗壓強(qiáng)度在40～50 MPa之間。

巖石的室內(nèi)蠕變試驗(yàn)通常有兩種加載方式[15]：分別為加載和分級加載。前者是在同樣的儀器和試驗(yàn)條件、不同的應(yīng)力水平情況下，對同一種巖樣進(jìn)行試驗(yàn)，目的是為了得到一組不同應(yīng)力水平下的蠕變?nèi)^程曲線。從理論上說，這種方法較符合蠕變試驗(yàn)的要求，但卻難以保證試驗(yàn)條件完全相同。后者是在同一巖樣上逐級施加不同的應(yīng)力水平，在一級應(yīng)力水平下蠕變達(dá)到穩(wěn)定或經(jīng)歷既定的時(shí)間后，將應(yīng)力水平增加至下一級，直至巖樣破壞。這種方法不僅節(jié)省了巖樣和儀器的數(shù)量，而且能夠避免因巖石性質(zhì)不均勻?qū)е碌脑囼?yàn)結(jié)果的離散，但其缺點(diǎn)在于分級加載中上一級荷載應(yīng)力水平會對巖樣造成不同程度的損傷?？傊?，兩種方法各有所長。目前室內(nèi)蠕變試驗(yàn)普遍采用分級加載的方式。

本試驗(yàn)采用分級等圍壓三軸壓縮蠕變試驗(yàn)，軸向加載應(yīng)力水平取 5～8級。根據(jù)巖石的單軸抗壓強(qiáng)度值，確定每級圍壓下巖樣三軸蠕變分級加載試驗(yàn)的應(yīng)力水平。由于時(shí)間和成本等因素，本次試驗(yàn)對兩塊試件分別進(jìn)行不同圍壓下的三軸蠕變試驗(yàn)。

在以往的三軸壓縮蠕變試驗(yàn)中，圍壓值一般取值較大，而現(xiàn)有的隧道支護(hù)方式和支護(hù)結(jié)構(gòu)對圍巖所提供的徑向力較小，故研究低圍壓條件下巖石的蠕變規(guī)律對軟巖隧道的支護(hù)有重要的實(shí)踐意義[16]，因此，本次對標(biāo)準(zhǔn)試件進(jìn)行了圍壓為3、5 MPa的三軸蠕變試驗(yàn)。對于不同的圍壓，均按單軸壓縮蠕變的軸向加荷數(shù)值依次分級施加主應(yīng)力差，即(σ1-σ3)=15%σc、30%σc、45%σc、60%σc、75%σc、90%σc、105%σc、120%σc，… 的比例分級加載，每級荷載穩(wěn)定的時(shí)間為3～5 d。越接近蠕變的破壞階段時(shí)，其軸向加荷數(shù)可酌情減少，得到在不同圍壓下反映巖石蠕變的初期階段、蠕變的發(fā)展階段和蠕變的破壞階段所對應(yīng)的一系列不同主應(yīng)力差，以及對應(yīng)的軸向應(yīng)變-時(shí)間以及徑向應(yīng)變-時(shí)間的關(guān)系曲線。在試件加載過程中，首先給試件一個(gè)較小的軸向應(yīng)力，以保證試件與壓力機(jī)的壓頭接觸密切，然后逐漸增大圍壓，同時(shí)加載軸向壓力，圍壓加載結(jié)束后，將軸向位移和橫向位移傳感器的數(shù)據(jù)清零，保持恒定的圍壓以位移控制方式增大軸向壓力直到試件破壞。

圖4、5分別為炭質(zhì)頁巖在圍壓 3 MPa和5 MPa分級荷載條件下的單軸蠕變曲線。圖中，圖4(a)、圖 5(a)為巖樣試驗(yàn)峰值前的應(yīng)力-應(yīng)變曲線，圖4(b)、圖5(b)為應(yīng)變隨時(shí)間變化曲線。由圖4(a)、5(a)可見，在3、5 MPa圍壓條件下，頁巖試樣在較低應(yīng)力水平時(shí)，蠕變現(xiàn)象不明顯，隨著應(yīng)力水平的增大，蠕變現(xiàn)象逐漸明顯，在圖中表現(xiàn)為“平臺”，即應(yīng)力水平增大時(shí)，平臺的長度明顯變長，說明了應(yīng)力不變的情況下應(yīng)變在持續(xù)增長。由圖4(b)、5(b)可見，本試驗(yàn)中的圍壓條件下，頁巖試件只出現(xiàn)了減速蠕變和等速蠕變階段，在更高的應(yīng)力水平下，試件并未出現(xiàn)加速蠕變的情況，從變形加劇直至潰屈，歷時(shí)很短，但圍壓在一定程度上，提高了巖石的屈服強(qiáng)度，彈性模量亦有隨著圍壓增大的趨勢。因此，在工程實(shí)踐中，通過支護(hù)措施和加固手段來增大圍壓，能夠降低巖體的蠕變程度，進(jìn)而提高巖體工程的穩(wěn)定性和安全性。

圖4 3 MPa圍壓分級荷載下頁巖軸向蠕變曲線Fig.4 Shale axial creep curves under changeable load with confining pressures of 3 MPa

圖5 5 MPa圍壓分級荷載下頁巖軸向蠕變曲線Fig.5 Shale axial creep curves under changeable load with confining pressures of 5 MPa

軟巖試件在試驗(yàn)過程中有如下規(guī)律和時(shí)效特征：（1）巖樣在每一級應(yīng)力加載瞬間，瞬時(shí)應(yīng)變量隨著應(yīng)力水平的增加而增大，且總變形中瞬時(shí)應(yīng)變占主要部分；（2）蠕變試驗(yàn)過程中，在較低的應(yīng)力水平下，巖樣的變形隨時(shí)間的增長而增大，但減速蠕變現(xiàn)象不明顯。應(yīng)力水平隨著時(shí)間增大時(shí)，逐漸呈現(xiàn)出等速蠕變現(xiàn)象，而蠕變速率呈增大趨勢；（3）圍壓越大，相應(yīng)的軸向變形量越小，巖樣越不易產(chǎn)生軸向蠕變；（4）隨著應(yīng)力水平的進(jìn)一步增大，巖樣變形急劇增長，短時(shí)間內(nèi)，隨即破壞。

3.2 炭質(zhì)頁巖本構(gòu)模型及本構(gòu)方程的建立

由前述蠕變試驗(yàn)結(jié)果可知，低應(yīng)力水平時(shí)，炭質(zhì)頁巖試件的變形由瞬時(shí)變形和不穩(wěn)定蠕變變形兩部分組成，其中不穩(wěn)定蠕變變形經(jīng)歷了減速蠕變和等速蠕變。瞬時(shí)彈性變形要求蠕變模型里包括彈性元件，試驗(yàn)蠕變曲線反映了應(yīng)變隨時(shí)間增加而增大，則模型里應(yīng)包括黏性元件。由于頁巖巖樣在低圍壓條件下，未出現(xiàn)明顯的加速蠕變階段，峰后頁巖因塑性應(yīng)變軟化，強(qiáng)度急劇降低，為了描述軟巖峰后蠕變變形破壞特性，引進(jìn)一種塑性應(yīng)變軟化元件，簡稱 SS元件[17]。該元件基于 Mohr-Coulomb后繼屈服準(zhǔn)則，當(dāng)應(yīng)力σ未達(dá)到Mohr-Coulomb后繼屈服應(yīng)力σs時(shí)，SS元件的應(yīng)變?yōu)?；當(dāng)應(yīng)力σ≥σs時(shí)，SS元件服從塑性應(yīng)變軟化流動規(guī)律。因此可以提出圖所示的蠕變模型結(jié)構(gòu)來描述頁巖的蠕變力學(xué)特性。

圖6 頁巖黏蠕變力學(xué)模型結(jié)構(gòu)Fig.6 Creep model structure of shale

模型分為兩個(gè)部分：第I部分是典型的廣義開爾文模型，用于描述頁巖的瞬時(shí)彈性變形、減速蠕變變形和等速蠕變變形；第II部分為SS模型，用于描述頁巖峰后的塑性應(yīng)變軟化特性。

在推導(dǎo)蠕變模型的本構(gòu)方程之前，假定模型中的黏彈性和黏塑性應(yīng)變率分量變形協(xié)調(diào)，則當(dāng)σ＜σs時(shí)，模型簡化為廣義開爾文模型；當(dāng) σ≥σs，模型由廣義開爾文模型與SS黏塑性元件串聯(lián)組成。以下將推導(dǎo)該蠕變模型的本構(gòu)方程。

（1）當(dāng)σ＜σs時(shí)

廣義開爾文模型由一個(gè)開爾文元件和一個(gè)彈簧串聯(lián)組成，其本構(gòu)方程的推導(dǎo)過程如下。

由于串聯(lián)，

對式（5）進(jìn)行進(jìn)一步整理

即模型的一維微分本構(gòu)方程。式中：E1為瞬時(shí)彈性模型量；E2為黏彈性模型量；η為黏性系數(shù)；各符號上帶點(diǎn)表示對該求導(dǎo)。

對式（8）進(jìn)行0初始條件下的Laplace變換，則可得如下代數(shù)方程：

式中：pk、qk為決定材料性質(zhì)的常數(shù)； sk為對時(shí)間的微分算子。

考慮線性黏彈性材料在突加載荷 σ=σ0H(t)作用下隨時(shí)間而變換的應(yīng)變響應(yīng)，可表示為

式中：J(t)為蠕變?nèi)崃?；H(t)為單位階躍函數(shù)，可表示為

對式（12）進(jìn)行Laplace變換，可得

再考慮對突加載荷σ=σ0H(t)進(jìn)行Laplace變換，并注意到 L[H(t)]=1/s，則可得

將式（10）、（15）代入式（14），有

對一維情況下廣義開爾文模型的微分本構(gòu)方程式（7），有

式中：

將式（17）代入式（16），得到廣義開爾文模型蠕變?nèi)崃康南蠛瘮?shù)：

采用Heaviside展開式對式（19）進(jìn)行Laplace逆變換，得到廣義開爾文模型的蠕變?nèi)崃繛?/p>

將式（18）代入式（20），整理可得

利用 Botzmann線性疊加原理，一維情況下的廣義開爾文模型蠕變本構(gòu)的方程的積分形式可以表示為

蠕變模型的三維本構(gòu)模型可以由一維本構(gòu)方程推廣得到。在三維應(yīng)力狀態(tài)下，頁巖內(nèi)部的應(yīng)力張量可分解為球應(yīng)力張量σm和偏應(yīng)力張量Sij，其表達(dá)式為

式中：δij為Kronecker函數(shù)。

一般地，球形張量σm只能改變材料的體積，而不能改變其形狀，偏應(yīng)力張量Sij只能引起形狀變化而不引起體積的變化。同理，可以相應(yīng)地將應(yīng)變張量分解成球應(yīng)變張量εm和偏應(yīng)變張量eij，即

設(shè)頁巖的剪切模型為G，體積變形模量為K，則對于三維應(yīng)力狀態(tài)下的虎克體有

耶格(Jaeger)與庫克(Cook)給出了三維黏彈性本構(gòu)關(guān)系[18]：

式中：P′、Q′與微分算子P、Q相似，但需將P、Q中的所有彈性模量、黏彈性模量換為彈性剪切模量和黏彈性剪切模量；黏滯系數(shù)換為剪切黏滯系數(shù)；P′′、Q′′為反映材料黏彈性體積變形的算子，若材料體積變形呈彈性，則可取Q′′=K，P′′=1(K為彈性體積模量)。

因此，在三維應(yīng)力狀態(tài)下廣義開爾文模型的本構(gòu)方程采用Stieltjes卷積分可以寫成

式中：*為卷積符號。

在實(shí)驗(yàn)室三軸蠕變試驗(yàn)過程中，σ2=σ3，ε2=ε3，故

將式（30）代入式（29），積分得軸向應(yīng)變：

式（31）為典型的廣義開爾文模型的三維本構(gòu)方程，K、G1、G2、ηG為模型的4個(gè)參數(shù)。

（2）當(dāng) σ≥σs時(shí)

模型由廣義開爾文模型和 SS黏塑性模型串聯(lián)組成，模型的總應(yīng)變可認(rèn)為由廣義開爾文模型的應(yīng)變與 SS模型的塑性應(yīng)變之和，因此模型三維微分形式的本構(gòu)方程為

對SS塑性模型，有

采用相關(guān)聯(lián)流動準(zhǔn)則時(shí)，塑性勢函數(shù)g可取為塑性屈服函數(shù) f，服從應(yīng)變軟化模型 Mohr-Coulomb后繼屈服函數(shù)，即

4 炭質(zhì)頁巖蠕變模型參數(shù)辨識

根據(jù)蠕變試驗(yàn)曲線規(guī)律以及所建立的與試驗(yàn)曲線吻合的蠕變元件模型，采用數(shù)學(xué)方法，可對蠕變模型的參數(shù)進(jìn)行辨識。由章節(jié)3可知，模型有4個(gè)參數(shù)：K、G1、G2、η，巖體在靜水壓力作用下其體積變形在受力瞬間完成，不隨時(shí)間產(chǎn)生體積變化，而且蠕變過程中，巖體的泊松比μ保持不變[19]。

當(dāng)t=0時(shí)，根據(jù)式（22）可求得

將所測試驗(yàn)數(shù)據(jù)代入式（35），求得E1= 1.96 GPa。根據(jù)現(xiàn)場實(shí)際的工程情況和單軸壓縮室內(nèi)試驗(yàn)結(jié)果，泊松比μ=0.37，進(jìn)一步求得K = 2.5 GPa。因此，只需擬合G1、G2、η三個(gè)參數(shù)。

借助最小二乘法對兩個(gè)參數(shù)進(jìn)行非線性回歸分析，運(yùn)用 MATLAB編制回歸分析程序，分別對荷載水平為σ1= 27.5、35.0、42.5、50.0、57.5 MPa等6個(gè)應(yīng)力水平下的蠕變曲線進(jìn)行模型參數(shù)辨識，結(jié)果如表1和圖7所示。由圖可見，試驗(yàn)曲線有一定的離散性，但模型的擬合曲線與試驗(yàn)曲線基本吻合，辨識參數(shù)的結(jié)果能夠體現(xiàn)試驗(yàn)巖樣的蠕變特征，可用于巖石蠕變的模擬分析。

表1 模型參數(shù)辨識結(jié)果Table1 Identification results of model parameters

5 結(jié) 論

(1) 三軸壓縮條件下，圍壓較低時(shí)頁巖試樣呈現(xiàn)出明顯的脆性破壞和應(yīng)變軟化特性。三向應(yīng)力狀態(tài)下，巖樣受主應(yīng)力作用，主平面為受壓平面，試塊產(chǎn)生剪切破壞。巖石的強(qiáng)度特性隨著應(yīng)力狀態(tài)的改變而變化，相比單軸應(yīng)力狀態(tài)，三向應(yīng)力狀態(tài)下的巖石強(qiáng)度有所提高，主要體現(xiàn)在巖樣的彈性模量、峰值強(qiáng)度和殘余強(qiáng)度等參數(shù)。

(2) 在較低應(yīng)力水平下，蠕變現(xiàn)象不明顯，隨著應(yīng)力水平的增大，蠕變現(xiàn)象逐漸明顯。在更高的應(yīng)力水平下，試件并未出現(xiàn)加速蠕變的情況，從變形加劇直至潰屈，歷時(shí)很短。巖樣在每一級應(yīng)力加載瞬間，瞬時(shí)應(yīng)變量隨著應(yīng)力水平的增加而增大，且總變形中，瞬時(shí)應(yīng)變占主要部分。圍壓越大，相應(yīng)的軸向變形量越小，巖樣越不易產(chǎn)生軸向蠕變，在本試驗(yàn)提供的圍壓下，只出現(xiàn)了減速蠕變和等速蠕變階段。

依據(jù)頁巖試樣的三軸壓縮蠕變試驗(yàn)曲線，建立了依托工程巖石蠕變?nèi)^程的黏彈塑性應(yīng)變軟化蠕變模型，并推導(dǎo)了蠕變模型的一維和三維本構(gòu)方程，確定了該模型的參數(shù)，并在此基礎(chǔ)上，借助MATLAB程序中的最小二乘法工具，對模型的參數(shù)進(jìn)行了辨識，擬合曲線與試驗(yàn)曲線基本吻合，結(jié)果表明所建模型能夠描述頁巖三軸壓縮條件下的蠕變特征，可以用來研究該隧道軟弱破碎圍巖的蠕變性質(zhì)和穩(wěn)定性。

圖7 模型參數(shù)辨識的最小二乘擬合曲線Fig.7 Fitting curves by least-squares procedure of parameters identification

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