丁傳炳 胡一峰 陶 勇

中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，上海 201108

0 引 言

為了提高火力系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和估計(jì)精度，根據(jù)試驗(yàn)飛行數(shù)據(jù)，應(yīng)用各種統(tǒng)計(jì)濾波方法重構(gòu)火力系統(tǒng)的飛行狀態(tài)，可以更精確地校訂系統(tǒng)的仿真模型。文獻(xiàn)［1-2］將擴(kuò)展卡爾曼濾波（EKF）應(yīng)用到了炮彈質(zhì)點(diǎn)彈道模型的參數(shù)估計(jì)中，得到了較好的估計(jì)效果。但擴(kuò)展卡爾曼濾波在對(duì)非線性函數(shù)進(jìn)行線性化的過程中，需要對(duì)高階項(xiàng)采用忽略和逼近的措施，而這樣勢(shì)必存在高階項(xiàng)截?cái)嗾`差，使得濾波算法不穩(wěn)定。另外，擴(kuò)展卡爾曼濾波需要計(jì)算Jacobin矩陣，其求解計(jì)算量較大，特別是對(duì)于六自由度的彈道模型，Jacobin矩陣的計(jì)算更是復(fù)雜。而采用無(wú)跡卡爾曼濾波（UKF）算法直接應(yīng)用于非線性系統(tǒng)則避免了引入線性化的誤差，從而可提高濾波精度，而且算法也較易實(shí)現(xiàn)。

運(yùn)用仿真手段來(lái)考核武器的性能，其前提條件是要對(duì)仿真模型進(jìn)行驗(yàn)證。仿真模型驗(yàn)證［3-4］是通過比較模型結(jié)果與實(shí)際系統(tǒng)運(yùn)行結(jié)果的偏差來(lái)表示模型準(zhǔn)確度，由于實(shí)際系統(tǒng)所處環(huán)境的復(fù)雜性和科學(xué)理論的局限性，要使仿真模型系統(tǒng)與實(shí)際模型系統(tǒng)的行為完全一致不現(xiàn)實(shí)，但二者所表現(xiàn)出的特性應(yīng)該基本相同［5］。本文將利用UKF算法，結(jié)合GPS觀測(cè)數(shù)據(jù)，對(duì)六自由度彈道模型的參數(shù)進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)，并采用TIC不等式系數(shù)法，利用彈道重構(gòu)得到的數(shù)據(jù)對(duì)彈道仿真模型進(jìn)行定量分析和驗(yàn)證，以為仿真模型的可靠性提供依據(jù)。

1 彈道重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)

1.1 彈道重構(gòu)狀態(tài)模型

彈道重構(gòu)的任務(wù)就是彈道參數(shù)估計(jì)，它是基于測(cè)量數(shù)據(jù)的彈體飛行狀態(tài)參數(shù)估計(jì)。因GPS定位存在誤差，為提高定位精度，必須對(duì)動(dòng)態(tài)定位數(shù)據(jù)進(jìn)行濾波處理，以估計(jì)出彈在飛行時(shí)的動(dòng)態(tài)參數(shù)，進(jìn)而有效地重構(gòu)彈道。

GPS彈載接收機(jī)用于對(duì)飛行的彈箭進(jìn)行探測(cè)，通過對(duì)實(shí)測(cè)到的彈道參數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理來(lái)計(jì)算出彈的實(shí)時(shí)位置、速度和姿態(tài)信息。根據(jù)上述彈道執(zhí)行過程，在基于GPS測(cè)量數(shù)據(jù)的濾波過程中，需要用到彈道模型，整個(gè)狀態(tài)方程組在地面坐標(biāo)系下建立，描述無(wú)控火箭彈的空間運(yùn)動(dòng)方程組為：

式中各符號(hào)的意義見參考文獻(xiàn)［6］。非線性方程（1）只是對(duì)彈箭運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的近似描述，存在一定的誤差，為了補(bǔ)償這個(gè)誤差，引入了一個(gè)隨機(jī)噪聲矢量作為狀態(tài)擾動(dòng)量，于是，系統(tǒng)的狀態(tài)方程模型可簡(jiǎn)化為：

式中，w(t)為系統(tǒng)的過程白噪聲矢量；X(t)為行為向量，

1.2 彈道重構(gòu)量測(cè)模型

GPS接收機(jī)測(cè)量的是彈星之間的偽距：

式中，vi為量測(cè)噪聲；(x，y，z) 和 (xsi，ysi，zsi) 分別為彈和衛(wèi)星在天球坐標(biāo)系中的位置坐標(biāo)；δl為由衛(wèi)星鐘差引起的距離誤差。上式可以寫為：

2 UKF濾波

系統(tǒng)模型（1）和量測(cè)模型（2）均為非線性，非線性濾波主要解決的問題是隨機(jī)量沿非線性系統(tǒng)的傳播。UKF算法是用一組確定性的采樣點(diǎn)來(lái)近似狀態(tài)分布，通過U變換得到變換采樣點(diǎn)來(lái)近似狀態(tài)的均值和方差，完成狀態(tài)沿非線性函數(shù)的傳播，對(duì)于Guass噪聲變換采樣點(diǎn)的分布，能夠以三階精度近似真實(shí)的均值和方差。

由于UKF使用的是離散時(shí)間非線性系統(tǒng)，因此，需要對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行離散化處理。本文采用四階Runge-Kutta法以數(shù)值積分的形式實(shí)現(xiàn)，處理后的系統(tǒng)模型和觀測(cè)模型為：

則UKF算法如下所示。

1）初始化

給定

2）采樣點(diǎn)及權(quán)值的計(jì)算

在初始化的基礎(chǔ)上，按照如下規(guī)則選取采樣點(diǎn)及其權(quán)值。

將上述采樣點(diǎn)分別通過非線性系統(tǒng)。其狀態(tài)預(yù)測(cè)值為：

上述整個(gè)算法流程及算法過程如圖1所示。

圖1 算法流程Fig.1 Flowchart of the algorithm

3 模型驗(yàn)證

模型驗(yàn)證就是比較仿真系統(tǒng)輸出與實(shí)際系統(tǒng)輸出的一致性，它分為靜態(tài)性能驗(yàn)證和動(dòng)態(tài)性能驗(yàn)證。對(duì)于彈箭這類復(fù)雜系統(tǒng)，人們往往關(guān)心的是其動(dòng)態(tài)過程的性能參數(shù)，動(dòng)態(tài)性能驗(yàn)證的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列譜密度的相容性檢驗(yàn)。仿真模型最好能給出這些動(dòng)態(tài)參數(shù)的定量驗(yàn)證指標(biāo)，因此，本文將采用TIC不等式系數(shù)法對(duì)六自由度彈道模型進(jìn)行驗(yàn)證。

TIC不等式系數(shù)法是在相同輸入條件下，根據(jù)仿真數(shù)據(jù)和實(shí)際數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，以此作為衡量?jī)深愝敵鲆恢滦院蛣?dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)性的定性指標(biāo)。這種方法對(duì)數(shù)據(jù)序列的要求比較寬松，不要求獨(dú)立性和正態(tài)性，而且原理簡(jiǎn)單、計(jì)算量小，是驗(yàn)證模型輸出與實(shí)際輸出動(dòng)態(tài)關(guān)聯(lián)性的有效方法。

設(shè)αi和 βi分別為實(shí)際和仿真輸出序列，數(shù)據(jù)長(zhǎng)度為M，則TIC不等式系數(shù)為：

ζ越小，表明αi與 βi的一致性越好。將仿真數(shù)據(jù)序列與實(shí)際序列帶入上式，便可求得ζ。

4 仿真與分析

已知火箭彈發(fā)射點(diǎn)的氣象條件及衛(wèi)星概略星歷：發(fā)射點(diǎn)的緯度為45.004°，經(jīng)度為120.01°。根據(jù)六自由度的彈體運(yùn)動(dòng)方程組，解算得到彈體的運(yùn)動(dòng)軌跡，將彈體飛行軌跡加載到GPS衛(wèi)星模擬器內(nèi)，衛(wèi)星模擬器即可模擬產(chǎn)生該飛行軌跡上彈載GPS接收機(jī)接收到的衛(wèi)星信號(hào)，并將該信號(hào)發(fā)射出來(lái)。彈載接收機(jī)則通過天線接收該信號(hào)并實(shí)現(xiàn)定位功能。

按上述方案進(jìn)行數(shù)值仿真計(jì)算，采用6D彈道模型計(jì)算生成彈道數(shù)據(jù)。彈在飛行中會(huì)受到各種因素的干擾，如彈體初始擾動(dòng)和發(fā)動(dòng)機(jī)推力偏心。將各種干擾加入彈道進(jìn)行仿真?；鸺龔椀纳涑虨?0km，飛行時(shí)間180s，濾波周期為0.5s。

仿真初始條件：x0=y0=z0=0 m，V0=80m/s，ωx=360 r/min，ωy=ωz=0 r/min ，ψv=ψ=γ=0°，?=58°，位置誤差均為15m，速度誤差均為2 m/s，姿態(tài)誤差均為2°。

根據(jù)彈載GPS飛行觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行彈道重構(gòu)。為了清晰地反映狀態(tài)估計(jì)值與真實(shí)值之間的差異，采用誤差曲線來(lái)反映算法的優(yōu)劣。圖2～圖10給出了彈的位置、速度及姿態(tài)的誤差重構(gòu)結(jié)果。

由圖2～圖7可知，x方向上的位置和速度誤差精度分別可達(dá)6 m和0.4 m/s，濾波穩(wěn)定時(shí)間分別為45 s和35 s；y方向上的位置和速度誤差精度分別可達(dá)10 m和1.0 m/s，濾波穩(wěn)定時(shí)間分別為40 s和35 s；z方向上的位置和速度誤差精度分別可達(dá)5 m和0.3 m/s，濾波穩(wěn)定時(shí)間分別為28 s和30 s。彈道的位置估計(jì)誤差和速度估計(jì)誤差分別降低到了單純的GPS觀測(cè)誤差的1/3和1/4左右，而且濾波發(fā)散問題和實(shí)際工程應(yīng)用中的精度問題也得到了有效解決。

圖2 x方向上的位置誤差曲線Fig.2 Position error curve in the x-direction of coordinates

圖3 x方向上的速度誤差曲線Fig.3 Velocity error curve in the x-direction of coordinates

圖4 y方向上的位置誤差曲線Fig.4 Position error curve in the y-direction of coordinates

圖5 y方向上的速度誤差曲線Fig.5 Velocity error curve in the y-direction of coordinates

圖6 z方向上的位置誤差曲線Fig.6 Position error curve in the z-direction of coordinates

圖7 z方向上的速度誤差曲線Fig.7 Velocity error curve in the z-direction of coordinates

由圖8～圖10可知，彈的姿態(tài)角誤差沒有很好的收斂效果，系統(tǒng)狀態(tài)變量誤差的大小和斂散性由外部的觀測(cè)信息決定。對(duì)于可觀測(cè)的狀態(tài)變量，經(jīng)過卡爾曼濾波器后，其狀態(tài)變量的誤差會(huì)收斂，從而能將這些狀態(tài)變量估計(jì)出來(lái)，但對(duì)于不可觀測(cè)的狀態(tài)變量，卡爾曼濾波器則無(wú)法觀測(cè)。因此，還有待于進(jìn)一步開展對(duì)GPS姿態(tài)測(cè)量系統(tǒng)的研究，從而有效提高彈的飛行姿態(tài)估計(jì)能力，提高火箭彈的射擊精度。

利用彈道重構(gòu)數(shù)據(jù)計(jì)算得到的賽氏系數(shù)如表1所示。結(jié)果表明，仿真模型的計(jì)算結(jié)果與實(shí)際飛行狀態(tài)的一致性較好，證明利用彈道重構(gòu)對(duì)彈箭六自由度仿真模型進(jìn)行驗(yàn)證是有效的。

圖8 俯仰角?誤差曲線Fig.8 Error curve of pitch angle?

圖9 偏航角ψ誤差曲線Fig.9 Error curve of yaw angleψ

圖10 滾轉(zhuǎn)角γ誤差曲線Fig.10 Error curve of roll angleγ

表1 TIC不等式系數(shù)計(jì)算結(jié)果表Tab.1 TIC inequality coefficients calculation results

5 結(jié) 語(yǔ)

本文采用彈載GPS觀測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)彈道重構(gòu)進(jìn)行了建模、仿真及分析，重構(gòu)出了用于模型驗(yàn)證的火箭彈飛行狀態(tài)誤差參數(shù)，提出了以TIC不等式系數(shù)法作為火箭彈仿真模型驗(yàn)證的定量方法。計(jì)算結(jié)果表明，利用彈道重構(gòu)對(duì)艦載火箭彈六自由度彈道仿真模型進(jìn)行驗(yàn)證是有效的。該算法對(duì)艦載火箭彈的導(dǎo)航性能具有較大的現(xiàn)實(shí)意義，為在艦載火箭彈箭上的工程應(yīng)用提供了一定的參考。

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