陳曉雪， 李增濤

（江蘇大學(xué)理學(xué)院，鎮(zhèn)江 212013）

樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的若干性質(zhì)

陳曉雪， 李增濤

（江蘇大學(xué)理學(xué)院，鎮(zhèn)江 212013）

主要研究了樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的若干性質(zhì)，它與一般直線上的馬氏鏈有類(lèi)似的性質(zhì).［關(guān)鍵詞］樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈；單調(diào)類(lèi)定理；條件概率

1 引 言

設(shè)T是一局部有限無(wú)窮樹(shù)，選擇一個(gè)頂點(diǎn)作為根頂點(diǎn)，記為ο頂點(diǎn).設(shè)τ，σ是樹(shù)圖T上任意兩個(gè)頂點(diǎn)，如果τ處在ο到σ的唯一路徑上，則記為τ≤σ，并記為這個(gè)路徑的邊數(shù).對(duì)于樹(shù)圖上任意兩個(gè)頂點(diǎn)σ，τ，記σ∧τ是滿足σ∧τ≤σ，σ∧τ≤τ離ο最遠(yuǎn)的頂點(diǎn).設(shè)σ≠ο記是滿足≤σ且＝｜σ｜-1的頂點(diǎn)，即σ是的子代.

定義1［1，2］設(shè)T為一樹(shù)圖，G＝｛0，1，2，…｝為一可列集合，｛Xσ，σ∈T｝是定義在概率空間（Ω，F(xiàn)，μP）上在G中取值的隨機(jī)變量族.設(shè)p＝｛p（x），x∈G｝是G上一概率分布，P＝（μP（y｜x））是定義在G2上的隨機(jī)矩陣.如果?σ∈T，τi∈T且滿足τi∧σ≤，1≤i≤n，?x，y，x1，…，xn∈G，有

并且μP（Xο＝x）＝p（x），則稱｛Xσ，σ∈T｝為具有初始分布p與轉(zhuǎn)移矩陣P在G上取值的樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈.

容易驗(yàn)證以上定義的樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈定義了一樹(shù)圖T上的Markov隨機(jī)場(chǎng).文［3］，［4］P.456分別定義了兩類(lèi)特殊的有限狀態(tài)樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈.由以上樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的定義可知，如果每一個(gè)頂點(diǎn)的子代只有一個(gè)頂點(diǎn)，則樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈就是一般的直線上的馬氏鏈.一般直線上的馬氏鏈的性質(zhì)大家都很熟悉，而樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的類(lèi)似性質(zhì)并沒(méi)有相關(guān)文獻(xiàn)給出，本文由樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的定義并且利用單調(diào)類(lèi)定理證明了樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的一些性質(zhì).

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)T為一樹(shù)圖，G＝｛0，1，2，…｝為一可列集合，｛Xσ，σ∈T｝為取值在G上由定義1定義的樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈，則?A∈σ（Xτ，σ∧τ≤ˉσ，τ∈T），有

證設(shè)xi∈G，τi∈T且τi∧σ≤ˉσ，1≤i≤n，由以上樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈的定義，有

應(yīng)用單調(diào)類(lèi)定理證明［5］：令

證因?yàn)闃?shù)圖是一連通圖，所以對(duì)?t∈T且滿足σ≤t，總能找到相鄰的有限個(gè)頂點(diǎn)ti∈T（i＝1，2，…，n）且σ≤ti≤t，即ti是在σ到t的唯一路徑上.這里我們證明時(shí)不妨假設(shè)σ到t間只有一個(gè)頂點(diǎn)t1，其它情形類(lèi)似可證.設(shè)x1，y∈G，于是由條件概率的性質(zhì)，有

上式第四個(gè)等號(hào)成立主要是由于定理1的結(jié)論而得.所以命題得證.

定理3 設(shè)T為一樹(shù)圖，G＝｛0，1，2…｝為一可列集合，｛Xσ，σ∈T｝為取值在G上由定義1定義的樹(shù)指標(biāo)馬氏鏈，f是Borel函數(shù)，f（Xσ）可積，τi∧σ≤ˉσ，1≤i≤n，y∈G，則

［1］ Benjamini I.Peres Y.Markov chains indexed by trees［J］.Ann Probb，1994，22：219-243.

［2］ 楊衛(wèi)國(guó)，劉文.關(guān)于齊次樹(shù)指標(biāo)可列馬氏鏈的若干極限性質(zhì)［J］.工程數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2004，21（5）：769-773.

［3］ Spitzer F.Markov random fields on an infinite tree［J］.Ann Probab，1975，3：387-398.

［4］ Kemeng J G，Snell J L，Knapp A W.Denumberable markov chains［M］.New York：Springer，1976：456.

［5］ 嚴(yán)加安.測(cè)度論講義［M］.北京：科學(xué)出版社，2004.

Some Properties for Markov Chains Indexed by a Tree

CHEN Xiao-xue， LI Zeng-tao
（Faculty of Science，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China）

We study some properties for Markov chains indexed by a tree.These properties are similar to the general Markov chains.

Markov chains indexed by a tree；monotone class theorem；conditional probability

O211.6

A

1672-1454（2012）03-0076-04

2009-11-16