許悟生, 謝可夫

(湖南師范大學(xué)a.物理與信息科學(xué)學(xué)院，b.計(jì)算機(jī)教學(xué)部，中國 長沙 410081)

邊緣檢測是圖像處理和計(jì)算機(jī)視覺中的基本問題，其目的是標(biāo)識(shí)數(shù)字圖像中亮度變化明顯的點(diǎn)．邊緣檢測是底層視覺處理中最重要的環(huán)節(jié)之一, 也是圖像分割、目標(biāo)區(qū)域識(shí)別、區(qū)域形狀提取等圖像分析方法的基礎(chǔ)，目前已經(jīng)逐漸被廣泛地應(yīng)用于生物醫(yī)學(xué)、模式識(shí)別以及工程技術(shù)中的零部件檢查、故障診斷等更多領(lǐng)域．一直以來，如何準(zhǔn)確快速地提取圖像邊緣是圖像處理領(lǐng)域中的熱點(diǎn)問題．

傳統(tǒng)的邊緣檢測方法以微分算子法最為常用，其原理是通過對(duì)鄰域內(nèi)像素的灰度差分運(yùn)算代替導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)或梯度考察圖像小鄰域灰度的躍變情況，構(gòu)造邊緣檢測算子，如基于一階微分的Roberts算子、Sobel算子、Prewitt算子、Canny算子和基于二階微分的拉普拉斯(Laplacian)算子等[1]．因?yàn)楦魉阕幽０宓臉?gòu)造特性,各算子對(duì)不同邊緣的敏感程度不一，因此在檢測邊緣時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同類型的邊緣采用合適的算子．但是，這些算子各有優(yōu)缺點(diǎn)，Roberts算子和Laplacian算子對(duì)顯著邊緣變化的圖像響應(yīng)較好,抗噪能力較弱；而Sobel、Prewitt和Kirsch算子等具有較好的抗噪能力和圖像響應(yīng)，但其響應(yīng)并未考慮中心像素灰度的影響；雖然Canny算子是目前傳統(tǒng)檢測算子中效果最好的一種，實(shí)驗(yàn)證明它的邊緣強(qiáng)度估計(jì)和邊緣定位優(yōu)于其他算子,但它使用2×2的算子模板檢測邊緣梯度，使得它對(duì)邊緣的準(zhǔn)確定位有所偏差．

隨著信息時(shí)代的不斷發(fā)展，由于傳統(tǒng)微分算子的局限性，有關(guān)邊緣檢測的新理論、新技術(shù)層出不窮，諸如邊緣檢測的小波變換算法，蟻群算法以及神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法等[2-4]．20世紀(jì)后期，人類將量子力學(xué)理論引入到信息科學(xué)領(lǐng)域，量子信息科學(xué)[5]由此誕生，包括量子密碼術(shù)、量子通信、量子計(jì)算機(jī)等幾個(gè)方面，其理論和實(shí)驗(yàn)研究也隨之取得了重大突破．20世紀(jì)80年代，Bennett和Brassard提出了著名的量子密鑰分配協(xié)議——BB84協(xié)議[6]、Deutsch提出的量子圖靈機(jī)概念[7]，充分證明了量子信息的高安全性和量子計(jì)算的強(qiáng)計(jì)算能力；20世紀(jì)90年代，Schumacher首次提出了量子比特的概念[8]，奠定了量子信息體系化的理論基礎(chǔ)．隨之，基于量子理論的圖像處理新方法的研究得到了廣泛的關(guān)注，如Chien-Cheng Tseng的量子圖像處理方法[9]、邵桂芳等人提出的基于遺傳量子的自適應(yīng)圖像分割算法[10]以及謝可夫所提出的量子衍生圖像處理方法的研究[11]等，事實(shí)表明基于量子理論的圖像處理方法的現(xiàn)實(shí)可行性和優(yōu)越性．

本文提出將量子信息理論作為一種公理化數(shù)學(xué)體系，借鑒量子疊加態(tài)模型建立了鄰域像素之間的相干性，并利用它們的相干性運(yùn)算取代傳統(tǒng)的模板卷積操作，實(shí)現(xiàn)了一種關(guān)聯(lián)像素的量子衍生邊緣檢測算法．

1 量子系統(tǒng)的定義

量子比特(Qubit)是量子計(jì)算機(jī)中最基本的信息存儲(chǔ)單位．一個(gè)量子比特是一個(gè)有兩個(gè)基態(tài)的雙態(tài)量子系統(tǒng)．與經(jīng)典比特相比，量子比特的狀態(tài)是基態(tài)|0〉和|1〉的線性組合，即

|φ〉=α|0〉+β|1〉，

(1)

其中α和β是復(fù)數(shù)，分別稱為狀態(tài)|0〉和|1〉的概率幅，它們滿足

|α|2+|β|2=1，

(2)

(1)式表明，量子態(tài)|φ〉將以|α|2的概率得到態(tài)|0〉，以|β|2的的概率得到態(tài)|1〉．可以看出，量子比特的狀態(tài)是二維復(fù)向量空間中的向量，其所有的運(yùn)算都包容于希爾伯特(Hilbert)內(nèi)積空間．

(3)

上式中，i2為i的二進(jìn)制表示,態(tài)矢|i2〉則表示態(tài)|ψ〉的第i位基態(tài)，其概率幅為ωi，且滿足歸一化條件

(4)

2 基于量子疊加的灰度關(guān)聯(lián)

2.1 圖像的量子比特表示

設(shè)一幅灰度級(jí)歸一化處理后的數(shù)字圖像f(m,n)，其中f(m,n)表示圖像在像素點(diǎn)(m,n)處的灰度值，f(m,n)∈[0,1]，(m,n)∈Z2．基于對(duì)量子態(tài)的理解，假設(shè)f(m,n)表示像素點(diǎn)(m,n)∈Z2處灰度值為1的概率，1-f(m,n)為灰度值取0的概率，則圖像f(m,n)可以用量子比特表示為：

(5)

2.2 基于量子疊加的灰度關(guān)聯(lián)

假設(shè)圖像中(m,n-1)、(m,n)和(m,n+1)相鄰3個(gè)像素點(diǎn)的灰度值分別為f(m,n-1)、f(m,n)和f(m,n+1)，簡記為fm,n-1、fm,n和fm,n+1．根據(jù)量子態(tài)疊加原理，它們可以構(gòu)成一個(gè)的小鄰域灰度關(guān)聯(lián)系統(tǒng)，其狀態(tài)可表示為：

(6)

根據(jù)(3)式定義，上式中疊加態(tài)矢|i2〉前的系數(shù)分別為對(duì)應(yīng)的概率幅ωi(m,n)．上述量子系統(tǒng)是一個(gè)8維Hilbert空間，其中任何一維態(tài)矢的概率|ωi(m,n)|2可構(gòu)造一幅相應(yīng)疊加態(tài)子圖，能有效地對(duì)鄰域像素間的灰度進(jìn)行并行關(guān)聯(lián)．

根據(jù)量子測量坍縮理論，若采用相應(yīng)的測量算子組，僅對(duì)(6)式的第二量子位(對(duì)應(yīng)中心像素點(diǎn))進(jìn)行測量，則其坍縮到0或1的概率均為0.5，且設(shè)坍縮到0、1后量子態(tài)分別為|Ψ0(m,n)〉和|Ψ1(m,n)〉，則有

(7)

(8)

明顯，上兩式中得到態(tài)矢|011〉和|001〉的概率同為(1-fm,n-1)fm,n+1，|110〉和|100〉的概率同為fm,n-1(1-fm,n+1)．其中，態(tài)矢|011〉和|110〉的概率差為fm,n+1和fm,n-1的幅度差．由此，坍縮后的量子態(tài)運(yùn)算可以構(gòu)造Sobel算子模板．同理，Roberts算子模板可以通過對(duì)邊上某點(diǎn)進(jìn)行量子坍縮退化運(yùn)算來實(shí)現(xiàn)．

3 圖像邊緣檢測新方法

3.1 雙向差分平均式

本文提出采用雙向差分平均式描述鄰域像素灰度的躍變情況，其實(shí)質(zhì)是鄰域內(nèi)三像素的中心像素與其他兩像素灰度的差分加權(quán)后的幾何平均值，其具體構(gòu)造過程如下：

在(6)式表示的圖像量子關(guān)聯(lián)系統(tǒng)中，態(tài)矢由三位二進(jìn)制數(shù)組成，稱從左至右出現(xiàn)01跳變的態(tài)矢為正走向態(tài)矢，如|011〉和|001〉，而出現(xiàn)10跳變的態(tài)矢稱為負(fù)走向態(tài)矢，如|110〉和|100〉．此外在正、負(fù)走向態(tài)矢中，每個(gè)態(tài)矢有且僅有一對(duì)鄰位構(gòu)成跳變，若將構(gòu)成跳變的兩鄰位取反則得到另一態(tài)矢，該態(tài)矢稱為原態(tài)矢的反態(tài)矢，如態(tài)矢|011〉的反態(tài)矢為|101〉．

考慮到沿邊緣梯度方向，鄰域像素灰度的變化特征為逐漸增大或減?。诙M(jìn)制數(shù)制中，正、負(fù)走向態(tài)矢的數(shù)值跳變情況正好對(duì)應(yīng)了這一事實(shí)，其與相應(yīng)反態(tài)矢的差式則反映了鄰域(間隔為1的鄰域)像素的躍變情況．

結(jié)合(6)式，利用所定義正、負(fù)走向態(tài)矢的概率與其對(duì)應(yīng)反態(tài)矢的概率進(jìn)行差運(yùn)算，則有

(|ω011(m,n)|2-|ω101(m,n)|2)=(fm,n-fm,n-1)fm,n+1，

(|ω001(m,n)|2-|ω010(m,n)|2)=(1-fm,n-1)(fm,n+1-fm,n)，

(|ω100(m,n)|2-|ω010(m,n)|2)=(fm,n-1-fm,n)(1-fm,n+1)，

(|ω110(m,n)|2-|ω101(m,n)|2)=fm,n-1(fm,n-fm,n+1)，

可以看出，以上表達(dá)式均為相鄰兩像素灰度的差分與相應(yīng)第三個(gè)像素點(diǎn)的灰度乘積，即對(duì)間隔為1的鄰域差分結(jié)果進(jìn)行了加權(quán)運(yùn)算(自適應(yīng)權(quán)數(shù))，其權(quán)值大小取決于第三個(gè)像素點(diǎn)的灰度．這樣鄰域內(nèi)三像素建立了一種新的相干方式．

針對(duì)以上概率差式，將兩個(gè)相應(yīng)的正、負(fù)走向態(tài)矢的差式的幾何平均值稱為雙向差分平均式(以下簡稱平均式)，即：

(9)

(10)

3.2 邊緣檢測算法

考慮到傳統(tǒng)的Prewitt算子采用的3×3模板，但其定義的差分不能真實(shí)反映鄰域三像素的灰度相互關(guān)聯(lián)，提出利用平均式代替Prewitt算子差分，構(gòu)建3×3的邊緣檢測模板．

以水平零角度方向?yàn)槔?，其雙向差分平均式構(gòu)造如下，先取得此方向上的正、負(fù)走向態(tài)矢與其對(duì)應(yīng)反態(tài)矢的概率差式

(11)

進(jìn)而通過定義求得相應(yīng)正、負(fù)走向的平均式

考慮水平45°和-45°方向的三量子位系統(tǒng)的平均式，可得

同理，對(duì)垂直各個(gè)角度方向進(jìn)行分析，可得以下6個(gè)平均式

將上述6個(gè)水平平均式和6個(gè)垂直平均式，分別定義為水平和垂直邊緣檢測算子．提出取水平邊緣檢測算子中的正走向態(tài)矢平均式之和與負(fù)走向平均式之和的最大值，作為水平方向上的檢測分量Gx；同理，取垂直邊緣檢測算子中正、負(fù)走向態(tài)矢平均式之和的最大值，作為垂直方向上的檢測分量Gy，即

(12)

(13)

通過水平和垂直方向上的檢測分量之和描述圖像灰度躍變情況，即邊緣灰度

G(m,n)=|Gx(m,n)|+|Gy(m,n)|.

(14)

3.3 邊緣提取

本算法利用邊緣灰度圖像提取邊緣的具體步驟描述如下：

(1)設(shè)定閾值．本算法選定邊緣灰度的兩倍均值作為提取邊緣的閾值，即：th=2×mean(G(m,n))；

(2)對(duì)邊緣灰度函數(shù)G(m,n)進(jìn)行非最大值抑制法提取二值邊緣圖像函數(shù)fo．運(yùn)算如下：

If

(G(m,n)>th)and(((Gx(m,n)≥(Gy(m,n)-ε))and(G(m,n-1)≤G(m,n))and(G(m,n)>G(m,n+1)))or

((Gy(m,n)≥Gx(m,n)-ε)and(G(m-1,n)≤G(m,n))and(G(m,n)〉G(m+1,n))))，fo(m,n)=1

else,fo(m,n)=0;

(3)輸出邊緣檢測二值圖像函數(shù)fo．

所提出算法利用3×3模板各個(gè)方向上的雙向差分平均式來描述灰度躍變情況．相比Roberts算子，此方法增大了鄰域關(guān)聯(lián)范圍，對(duì)噪聲有一定的平滑作用；且其有效地將待檢測的像素點(diǎn)作為模板的中心，準(zhǔn)確地定位圖像邊緣．相比Priwitt算子和Sobel算子，此方法采用了間隔為1的鄰域差分運(yùn)算，且有效地兼顧相鄰三個(gè)像素點(diǎn)的灰度影響，更能反映待檢像素點(diǎn)處的灰度躍變情況．

4 仿真結(jié)果對(duì)比分析

本仿真實(shí)驗(yàn)是在Matlab環(huán)境下實(shí)現(xiàn)的．實(shí)驗(yàn)選取的兩幅實(shí)驗(yàn)圖片以及相應(yīng)加噪(0.01椒鹽噪聲)圖片，如圖1(a)中前兩幅圖片為無噪原圖，后兩幅為相應(yīng)的加噪圖片；圖1(b)、(c)、(d)分別為Sobel算法、Canny算法以及本文所提出算法對(duì)圖1(a)中各圖片進(jìn)行邊緣檢測的仿真結(jié)果．其中，傳統(tǒng)邊緣檢測的Sobel算法和Canny算法的檢測結(jié)果由Matlab內(nèi)的edge函數(shù)直接獲得．

(a)原圖 (b)Sobel算法

(c)Canny算法 (d)本文算法圖1 仿真結(jié)果對(duì)比

由上圖仿真結(jié)果可見，本文所提出的邊緣檢測算法對(duì)圖像的灰度突變敏感，邊緣定位精準(zhǔn)，并且具有更好的抗噪能力．例如前兩幅實(shí)驗(yàn)圖片，可以明顯看出所提算法提取的邊緣細(xì)節(jié)豐富、輪廓清晰，定位準(zhǔn)確；對(duì)比后兩幅加噪圖片，Sobel算法因噪聲影響致使邊緣丟失了部分細(xì)節(jié)，Canny算法則會(huì)在噪聲點(diǎn)處產(chǎn)生通心粉效應(yīng)，而本文所提算法檢測出來的邊緣不存在上述現(xiàn)象．綜合而言，所提出算法提取邊緣的效果較好，抗噪能力更強(qiáng)．

5 結(jié)束語

本文從量子理論出發(fā)，定義數(shù)字圖像的量子比特表示形式，根據(jù)量子疊加理論衍生出鄰域像素的并行關(guān)聯(lián)形態(tài)，構(gòu)造一種基于圖像灰度處理的邊緣檢測算法．理論上，本算法兼顧地繼承了Roberts算法對(duì)灰度變化的敏感性以及Priwitt算子和Sobel算法對(duì)噪聲的平滑性能，邊緣定位能力更強(qiáng)．通過與傳統(tǒng)算法仿真結(jié)果對(duì)比分析，驗(yàn)證了該算法的有效性和優(yōu)越性．

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