劉瑞芳，賈會才

(1.鄭州大學(xué) 數(shù)學(xué)系，河南 鄭州 450001； 2.河南工程學(xué)院 數(shù)理科學(xué)系，河南 鄭州 451191)

組合數(shù)學(xué)又稱離散數(shù)學(xué)，通常也把組合數(shù)學(xué)和圖論加在一起稱為離散數(shù)學(xué).組合數(shù)學(xué)是計算機(jī)出現(xiàn)以后迅速發(fā)展起來的一門數(shù)學(xué)分支.計算機(jī)科學(xué)是算法的科學(xué)，而計算機(jī)所處理的對象是離散的數(shù)據(jù)，所以離散對象的處理就成了計算機(jī)科學(xué)的核心，研究離散對象的科學(xué)就是組合數(shù)學(xué).組合數(shù)學(xué)的發(fā)展改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中分析和代數(shù)占統(tǒng)治地位的局面.

組合數(shù)學(xué)作為一門重要的數(shù)學(xué)課程，在教學(xué)中如何引入與展開才能使學(xué)生更好地學(xué)習(xí)和掌握就成了一個重要的課題.組合數(shù)學(xué)有別于其他一些數(shù)學(xué)課程的是它與實際問題聯(lián)系密切，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和創(chuàng)造能力的培養(yǎng).組合數(shù)學(xué)解決問題的方法沒有連續(xù)性和固定套路，往往一個問題一種解法，這些特征促使教師在教學(xué)中要避免填鴨式的講授，要在講解知識的過程中激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)造性思維能力.下面將結(jié)合教學(xué)中的實踐來論述組合數(shù)學(xué)教學(xué)的引入與展開方法.文中所涉及的一些概念和術(shù)語如無詳細(xì)說明，可參見文獻(xiàn)[1-3].

1 課程設(shè)計

學(xué)生經(jīng)過幾年數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課和專業(yè)課的學(xué)習(xí)之后,很容易對數(shù)學(xué)產(chǎn)生枯燥、難懂、脫離實際的印象，組合數(shù)學(xué)課正好為改變學(xué)生的這些想法提供了一個契機(jī)，要通過第一堂課的引入使學(xué)生對課程產(chǎn)生興趣.

例1 甲、乙兩個人輪流從k堆錢幣中取錢，每次選定一堆，從中至少取出一個錢幣(可全取)，取到最后一個錢幣者勝(組合數(shù)學(xué)中著名的Nim對策).

例2 獵人帶著一擔(dān)白菜、一只羊和一條狼要過河，但是只有一條小船，只有獵人會劃船并且他一次至多只能帶白菜、羊和狼三者之一過河.如果讓狼和羊在一起而獵人不在旁邊的話，狼就會把羊吃掉；如果讓羊和白菜在一起而獵人不在旁邊的話,羊就會把白菜吃掉.問如何讓他們都平安過河?(組合數(shù)學(xué)中著名的船過河問題)

組合數(shù)學(xué)中類似的有趣問題非常多，如河洛圖(幻方)、穩(wěn)定婚姻問題、鋪地磚問題等.這樣的課程引入方式通過一個個生動有趣的問題組成了別致而生動的第一堂組合數(shù)學(xué)課，完全顯示了組合數(shù)學(xué)的神奇和奧妙.

2 教學(xué)中的引入與展開

2.1 激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

課程有了一個好的引入方式，能給學(xué)生帶來輕松的氣氛，進(jìn)一步展開課程以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣就成了下一個問題.在實際的教學(xué)中，可以從貼近生活的一個個有趣的例子入手來講解組合數(shù)學(xué)中重要的原理和概念，比如組合數(shù)學(xué)中重要的鴿籠原理.要想很好地運用鴿籠原理激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,可以從日常生活中有趣的小問題入手.

例3 某棋手有11周的備戰(zhàn)訓(xùn)練，每天至少下一盤棋，但每周不超過12盤.試證：必有連續(xù)的若干天恰好下21盤棋.

例4 100個人參加一個聚會，其中每個人都有偶數(shù)(可能是零)個朋友.證明：在這100個人中必定有3個人有相同數(shù)目的朋友.

給半小時的時間讓學(xué)生自己試著證明上述兩個貼近生活的例子，學(xué)生們在獨立思考與激烈爭論之后無形中已經(jīng)分別用了鴿籠原理的簡單形式(n+1個球放入n個盒子中，必有一個盒子含有兩個或者更多的球)和平均形式(將nr+1個球放入n個盒子中，必有一個盒子至少含有r+1個球)解決了例3和例4.最后，教師可再提出鴿籠原理，并指出鴿籠原理運用的關(guān)鍵是如何合理地選擇鴿子和籠子.這樣的講授方式學(xué)生很容易理解，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)鴿籠原理的積極性，讓學(xué)生感覺到學(xué)習(xí)組合數(shù)學(xué)簡單有趣，學(xué)習(xí)興趣得到了極大提高.

2.2 調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性

教師可以采用啟發(fā)式的教學(xué)方式使教學(xué)進(jìn)一步深入，充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，提高學(xué)生的自學(xué)能力和獨立思考問題的能力.

例如，在講授第二類Stirling數(shù)和第一類Stirling數(shù)時，因為二者是對偶的概念，先詳細(xì)給出第二類Stirling數(shù)的定義，接著介紹它的遞推公式及其詳細(xì)證明，最后給出第二類Stirling數(shù)的組合意義.利用反演和對偶的思想，關(guān)于第一類Stirling數(shù)的定義、遞推公式和組合意義，可以留給學(xué)生自己去證明.教師可采取上課提問的方式，這樣既可以調(diào)動學(xué)生的主動性，也可以加深學(xué)生對兩類Stirling數(shù)的比較與理解.

除此之外，對于重要的原理和方法，可以給出很多例子讓學(xué)生練習(xí).教師可以首先給出一個典型的例子加以詳細(xì)介紹，然后找學(xué)生當(dāng)堂練習(xí)一些類似的題目，這樣既活躍了課堂氣氛，又調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，并且還能查漏補(bǔ)缺，從而達(dá)到最好的教學(xué)效果.

2.3 提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力

要提高學(xué)生學(xué)習(xí)的主動積極性，就必須讓學(xué)生自己想出一些問題并試著解決它.給學(xué)生一個好問題，不如教會學(xué)生如何發(fā)現(xiàn)問題.在講解組合數(shù)學(xué)中的原理、模型及其思想方法時，應(yīng)該經(jīng)常提醒學(xué)生發(fā)散自己的思維，去建立一個新的概念或模型并研究其性質(zhì).當(dāng)然,這種發(fā)散不是漫無邊際的發(fā)散，通常是基于原有概念(模型)的推廣或者遷移.

以排列組合為例，n元集S的r-排列是指具有n個元素的集合S中r個元素的有序安排方式數(shù)，其中n個元素是完全不重復(fù)的.我們可以把集合的排列進(jìn)行推廣，引導(dǎo)學(xué)生考慮多重集合的r排列.首先，給出多重集S的定義，即集合S中每一個元素都有一個重數(shù)，例如S={2·a，3·b，5·c}表示集合S由2個a，3個b和5個c組成.然后，讓學(xué)生思考重數(shù)無限的多重集的排列和重數(shù)有限的多重集的排列.在講授組合數(shù)學(xué)的過程中，當(dāng)講述完一個概念或者模型時，鼓勵大家提出改進(jìn)模型的辦法，并提醒大家注意兩個原則——合理性和可行性.教師在講解的過程中一定要引導(dǎo)學(xué)生采用推廣或者遷移的方式獨立地提出新的問題，能夠提出一個好的問題也是獨立科學(xué)研究能力的象征，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益.

2.4 培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力

盡管如前所述，組合數(shù)學(xué)解題的具體方法是靈活的、離散的與不可模仿的，但我們還是可以在教學(xué)過程中有意識地訓(xùn)練學(xué)生的宏觀證明能力.通常來說，解決組合數(shù)學(xué)問題有貢獻(xiàn)法、數(shù)學(xué)歸納法、容斥原理、鴿籠原理、母函數(shù)法和二項式(多項式)定理等幾種基本方法，有時需要結(jié)合使用，下面舉例介紹.

貢獻(xiàn)法適用于證明計數(shù)恒等式.首先選定一個特殊的元素x，然后分別分析等式的左端和右端，看看兩端對這個事先選定好的元素的統(tǒng)計次數(shù)是否一樣多，如果一樣多則原計數(shù)恒等式得證.貢獻(xiàn)法在組合數(shù)學(xué)的證明中應(yīng)用廣泛，起到了不可替代的作用.巧妙運用貢獻(xiàn)法，可給出容斥原理的完美證明.

例5S中不具有任何一個性質(zhì)的元素數(shù)目為：

證明：設(shè)任意元素xS,它恰有m個性質(zhì)中的n個性質(zhì)(0≤n≤m).若n=0,則上式兩端對它的計算次數(shù)都是1；若n≥1,則x在左端計數(shù)0次，而在右端的計數(shù)為上述等式成立.

上面例子給出了容斥原理的簡單證明，可以發(fā)現(xiàn)該原理雖然重要，但是它的內(nèi)容和證明并不復(fù)雜，也不難理解.最重要的是，如何利用這個原理來解決更多的數(shù)學(xué)問題以及怎樣才能恰如其分地運用它，這就需要一種解決數(shù)學(xué)問題的綜合品質(zhì).

3 結(jié)語

以上組合數(shù)學(xué)課程教學(xué)中的引入和展開方式適用于各個層次的數(shù)學(xué)課程，教師要關(guān)注和重視這些課程教學(xué)中的技巧，充分調(diào)動學(xué)生課堂學(xué)習(xí)的積極性，傾聽他們的想法，使學(xué)生在交流互動中增強(qiáng)數(shù)學(xué)技能.

參考文獻(xiàn)：

[1] Brualdi R A. Introductory Combinatorics[M].Beijing:China Machine Press,2009.

[2] Cameron P J.Combinatorics Topics, Techniques, Algorithms[M].Beijing:Posts Telecom Press,2009.

[3] 盧開澄，盧華明.組合數(shù)學(xué)[M].4版.北京：清華大學(xué)出版社，2006.