高鵬 羅建軍

（1西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072）（2航天飛行動(dòng)力學(xué)技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，西安710072）

1 引言

人工勢(shì)函數(shù) （Artificial Potential Function，APF）制導(dǎo)方法具有在復(fù)雜環(huán)境下形式簡單、計(jì)算量小等優(yōu)點(diǎn)，近年來在空間近距離接近和操作方面得到了廣泛關(guān)注。文獻(xiàn)［1］將APF方法應(yīng)用到航天器自主避障的軌道設(shè)計(jì)中，將追蹤航天器在障礙物約束條件下的運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)化為在勢(shì)力場中的運(yùn)動(dòng)，并以邏輯判斷的形式進(jìn)行末制導(dǎo)。文獻(xiàn)［2-3］研究了在國際空間站的交會(huì)對(duì)接和近距離作業(yè)中，采用勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)的安全自主近距離機(jī)動(dòng)，對(duì)有靜態(tài)路徑約束的勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)算法進(jìn)行了開發(fā)和評(píng)估。文獻(xiàn)［4］針對(duì)非合作目標(biāo)，研究了規(guī)避靜態(tài)障礙物的勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)，并且在末制導(dǎo)階段考慮安全走廊。文獻(xiàn)［5］將人工勢(shì)函數(shù)法與模糊控制方法結(jié)合起來，考慮規(guī)避動(dòng)態(tài)障礙物，安全、快速地逼近目標(biāo)。文獻(xiàn)［6］提出一種自適應(yīng)的人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)方法，針對(duì)靜態(tài)障礙物，研究了航天器近距離操作中的軌道和姿態(tài)運(yùn)動(dòng)快速規(guī)劃，比傳統(tǒng)人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)方法更加節(jié)省燃料。上述研究大多針對(duì)靜態(tài)障礙物，且引入的斥力函數(shù)會(huì)使總的勢(shì)函數(shù)在收斂點(diǎn)處的值不為零，并且沒有考慮速度變化對(duì)引力勢(shì)函數(shù)的影響，影響了收斂精度和燃料消耗。

為此，本文首先針對(duì)傳統(tǒng)人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)中引入斥力函數(shù)會(huì)使勢(shì)函數(shù)在收斂點(diǎn)處的值不為零的情況，對(duì)斥力函數(shù)乘以修正項(xiàng)，使得在收斂點(diǎn)勢(shì)函數(shù)為零。然后，在規(guī)避靜態(tài)障礙物的基礎(chǔ)上，研究了規(guī)避動(dòng)態(tài)障礙物的勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)。最后，針對(duì)傳統(tǒng)人工勢(shì)函數(shù)沒有考慮速度變化的不足，考慮速度與引力梯度場之間的關(guān)系，采用負(fù)反饋，使引力梯度場 “適應(yīng)”速度變化，研究規(guī)避動(dòng)態(tài)障礙物的自適應(yīng)人工勢(shì)函數(shù) （AAPF）制導(dǎo)，并比較APF制導(dǎo)與AAPF制導(dǎo)的收斂精度和燃料消耗。本文研究的AAPF制導(dǎo)可用于航天器近距離安全接近的高精度、燃料較省的制導(dǎo)和控制任務(wù)中。

2 相對(duì)運(yùn)動(dòng)模型

若兩航天器運(yùn)行在近圓軌道上，相鄰航天器在目標(biāo)航天器軌道系中的相對(duì)運(yùn)動(dòng)可用C-W方程描述。定義目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系為O-xyz：原點(diǎn)O在目標(biāo)航天器質(zhì)心，Ox軸由地心指向目標(biāo)航天器，Oy軸在軌道平面內(nèi)與Ox軸垂直并指向目標(biāo)航天器前進(jìn)方向，Oz軸按右手法則確定。在目標(biāo)航天器軌道坐標(biāo)系O-xyz中，將C-W方程寫為狀態(tài)空間方程形式：

當(dāng)f＝0，給定初始條件r0，v0，rf，再給定轉(zhuǎn)移時(shí)間T，對(duì)式（1）進(jìn)行求解，可以得到

式中Φ11（T），Φ12（T），Φ21（T），Φ22（T）均為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

所需施加速度脈沖：

進(jìn)而可以得出脈沖作用后的任意時(shí)刻t的速度的表達(dá)式：

式中 上標(biāo) “＋”號(hào)表示脈沖作用后的狀態(tài)。

3 規(guī)避動(dòng)態(tài)障礙物的自適應(yīng)人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)

所謂 “障礙物”是指在航天器的飛行軌道上或追蹤航天器接近目標(biāo)航天器的規(guī)劃路徑上，阻礙航天器飛行或?qū)ζ滹w行安全造成威脅的空間物體，也可以是一些飛行路徑約束。通常是在規(guī)劃路徑上飛行的航天器、空間碎片或假設(shè)的航路點(diǎn)約束、飛行路徑和區(qū)域限制等。動(dòng)態(tài)障礙物是指其相對(duì)于目標(biāo)航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度不為零。

3.1 人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)

規(guī)避動(dòng)態(tài)障礙物的人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)方法的主要思想是：以追蹤航天器安全有效地接近目標(biāo)航天器為目標(biāo)，首先定義一個(gè)合適的標(biāo)量勢(shì)函數(shù)，該勢(shì)函數(shù)在期望的目標(biāo)狀態(tài)位置具有全局最小值，并且用具有較高勢(shì)函數(shù)值的區(qū)域表示運(yùn)動(dòng)路徑的限制條件或?qū)φ系K物的規(guī)避，其中高值勢(shì)函數(shù)區(qū)域的梯度值直接反映了施加在被控對(duì)象上規(guī)避障礙物或禁飛區(qū)域的斥力大?。蝗缓筮x擇適當(dāng)?shù)目刂坡墒箘?shì)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為負(fù)定，這樣便可以應(yīng)用Lyapunov穩(wěn)定性理論確保航天器的速度和位置均收斂于期望的目標(biāo)狀態(tài)點(diǎn)，且不違背路徑限制條件，從而在追蹤航天器接近目標(biāo)航天器的過程中，實(shí)現(xiàn)對(duì)追蹤航天器在整個(gè)狀態(tài)空間中的運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)控制和對(duì)障礙物的規(guī)避［4］。

在存在障礙物情況下，勢(shì)函數(shù)φ為引力勢(shì)能函數(shù)φa與斥力勢(shì)能函數(shù)φr之和，即有φ＝φa＋φr。通常選取φr為高斯函數(shù)形式，即

式中ψ和σ為斥力勢(shì)的高和寬；ri表示第i個(gè)障礙物在目標(biāo)航天器軌道系下的相對(duì)位置矢量；矩陣Ni是與障礙物形狀有關(guān)的外形矩陣，當(dāng)Ni＝I時(shí)，障礙物是以ri為中心的球形。考慮到采用式（3）作為φr會(huì)導(dǎo)致φ在r＝rf處的值不為零，即勢(shì)能函數(shù)在期望的平衡點(diǎn)處的值不為零，導(dǎo)致平衡點(diǎn)偏離，精度降低。若選擇Lyapunov函數(shù)為勢(shì)函數(shù)，則不滿足Lyapunov穩(wěn)定性條件。為使勢(shì)能在引入斥力勢(shì)能之后，在收斂點(diǎn)處的值為零，可將障礙物斥力勢(shì)的表達(dá)式修正為［4］

這樣，修正后的勢(shì)函數(shù)為

式中P為正定對(duì)稱矩陣；M為正定對(duì)稱矩陣。

為使追蹤航天器一直沿著勢(shì)能降低的方向運(yùn)動(dòng)，需要對(duì)航天器施加控制脈沖作用。施加控制作用的判斷條件是：勢(shì)能是否降低。如果勢(shì)能降低，則沿著運(yùn)動(dòng)方向繼續(xù)運(yùn)動(dòng)；如果勢(shì)能增加或不變，則施加沿勢(shì)能梯度方向相反的控制脈沖，使航天器沿著勢(shì)能降低的方向運(yùn)動(dòng)?？刂谱饔玫臄?shù)學(xué)表達(dá)式為［1］

式中u表示控制脈沖；k為大于零的常數(shù)；符號(hào) “?”表示梯度運(yùn)算；上標(biāo) “-”表示速度脈沖作用前的狀態(tài)。整個(gè)近距離操作過程中的總控制脈沖消耗為所有時(shí)刻所施加的控制脈沖的‖·‖1求和，即

對(duì)于動(dòng)態(tài)障礙物，勢(shì)函數(shù)在障礙物相對(duì)位置矢量下的梯度為

勢(shì)函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

3.2 自適應(yīng)人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)及穩(wěn)定性分析

對(duì)于航天器近距離空間操作任務(wù)，要求追蹤航天器能夠平穩(wěn)接近目標(biāo)航天器，需要均勻施加控制作用，而傳統(tǒng)人工勢(shì)函數(shù)沒有考慮速度變化對(duì)控制作用的影響。這樣，由于初始時(shí)刻相對(duì)速度與引力勢(shì)能梯度相差較大，需施加很大的控制作用；末時(shí)刻相對(duì)速度與引力勢(shì)能梯度相差較小，施加的控制作用很小。整個(gè)過程控制作用大小和時(shí)間不夠合理，會(huì)導(dǎo)致末端收斂較慢，精度不高，甚至在收斂點(diǎn)附近震蕩。針對(duì)上述不足，文獻(xiàn) ［6］考慮速度變化對(duì)控制作用的影響，研究了規(guī)避靜態(tài)障礙物的自適應(yīng)人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)。本文將該方法推廣應(yīng)用于規(guī)避動(dòng)態(tài)障礙物的制導(dǎo)。

自適應(yīng)人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)認(rèn)為引力勢(shì)能的權(quán)重為時(shí)變的，并使追蹤航天器在施加控制作用之后的引力勢(shì)能的梯度 “適應(yīng)”速度的變化，從而實(shí)現(xiàn)航天器近距離接近的快速、較省燃料的自適應(yīng)制導(dǎo)，其控制律為［6］

式中φ和可通過式（5）和式（9）得到；R為引力梯度系數(shù)三角分解后的上三角矩陣，其計(jì)算過程如下［6］。

為使追蹤航天器在施加控制作用之后的引力勢(shì)能的梯度 “適應(yīng)”速度的變化，定義廣義誤差向量為施加速度脈沖后的速度與引力勢(shì)能梯度之差，即e＝＋-（-?rφa）。考慮到引力勢(shì)能的權(quán)重為時(shí)變的，即P＝P（t），采用三角分解P（t）＝RΤ（t）R（t），有

則引力勢(shì)的導(dǎo)數(shù)變?yōu)?/p>

根據(jù)式（2）可計(jì)算出在任意位置r，t＝0時(shí)刻的速度為

這樣，廣義誤差為

對(duì)式（13）求導(dǎo)可得

通過適當(dāng)?shù)淖冃?，?/p>

其中

為使e→0，設(shè)計(jì)負(fù)反饋，令＝-e，得到

為判斷所采用的自適應(yīng)人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)方法在收斂點(diǎn)處的穩(wěn)定性，下面采用選取Lyapunov函數(shù)V＝φ，引力勢(shì)能的時(shí)變權(quán)重P（t）＝RΤR，利用Lyapunov第二法對(duì)自適應(yīng)人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

1）對(duì)于任意的r≠0，都有V＞0，當(dāng)r＝0時(shí)，V＝0；

2）當(dāng) ‖r‖ →＋∞時(shí)，V→＋∞；

3）當(dāng)˙V＞0時(shí)，利用式（4）、式（10）和式（11），可得

其中r及為有界向量，RΤR為系數(shù)矩陣，當(dāng)轉(zhuǎn)移時(shí)間給定，其他參數(shù)均為常值，那么必定存同理，對(duì)于第三項(xiàng)，必定存在一個(gè)δ2＞0，使得對(duì)于第二項(xiàng)·r，該項(xiàng)中只有第一、三項(xiàng)與k有關(guān)，其他兩項(xiàng)均為有限值。故通過以上分析，可以得到則存在一個(gè)k＞0值，可以使得

4 仿真計(jì)算與結(jié)果分析

以與運(yùn)行在軌道高度為700km圓軌道的目標(biāo)航天器交會(huì)對(duì)接為例，對(duì)APF和AAPF規(guī)避障礙物的性能進(jìn)行仿真。取初始相對(duì)位置r0＝［400 500 600］Tm，初始相對(duì)速度v0＝［000］Tm／s，末點(diǎn)相對(duì)位置rf＝［000］Tm，末點(diǎn)相對(duì)速度vf＝［000］Tm／s。

為驗(yàn)證AAPF制導(dǎo)是否具有規(guī)避動(dòng)態(tài)障礙物的能力，任意選取一個(gè)動(dòng)態(tài)障礙物，相關(guān)的參數(shù)及障礙物選?。鹤兞空系K物初始位置障礙物的移動(dòng)速度其他相關(guān)參數(shù)設(shè)置如下：

式中vmax＝1m／s；ψ＝1.5×105；σ＝900；k＝0.002；仿真步長1s；總仿真時(shí)間3 000s；采用四階龍格庫塔進(jìn)行數(shù)值積分。追蹤航天器的相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變量及控制作用隨時(shí)間的變化曲線如圖1和圖2所示。

圖1 追蹤航天器和障礙物相對(duì)目標(biāo)航天器的運(yùn)動(dòng)軌跡Fig.1 Relative moving trajectories of the chaser and obstacle with respect to the target

圖2 追蹤航天器相對(duì)位置、相對(duì)速度和施加的控制脈沖隨時(shí)間的變化Fig.2 Relative position，relative velocity and the control histories of the chaser

由圖1和圖2可以看出：追蹤航天器在AAPF制導(dǎo)律控制作用下，在1 000s之前，成功避開了障礙物，在2 000s之前相對(duì)位置、速度矢量均已收斂至0；在整個(gè)仿真中AAPF制導(dǎo)控制作用的大小和時(shí)間比較合理，這是由于在自適應(yīng)控制律中考慮了 “適應(yīng)”速度變化的結(jié)果。說明了AAPF制導(dǎo)律的正確性與有效性。

為比較APF和AAPF這兩種制導(dǎo)律的效能，分別考慮無障礙物、靜態(tài)障礙物、動(dòng)態(tài)障礙物這3種情況，數(shù)值仿真結(jié)果如表1所示。另外，為驗(yàn)證對(duì)斥力勢(shì)乘以修正項(xiàng)是否能夠提高收斂精度，在相同的初始條件下，對(duì)未引入修正項(xiàng)的制導(dǎo)方式進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表2所示。

由表1中兩種制導(dǎo)律的對(duì)比可以看出，在同樣的初始條件下，在逼近精度方面，AAPF制導(dǎo)比APF制導(dǎo)至少高兩個(gè)量級(jí)；在速度脈沖消耗方面，前者比后者大約節(jié)省30%。這表明，AAPF制導(dǎo)在考慮了速度變化影響后，比APF制導(dǎo)更加節(jié)省燃料和具有更高的精度。由表1和表2中相同制導(dǎo)方式的對(duì)比可以看出，對(duì)斥力勢(shì)乘以修正項(xiàng)比未乘以修正項(xiàng)的收斂精度更高。

表1 不同制導(dǎo)方式的計(jì)算結(jié)果 （有修正項(xiàng)）Tab.1 Results of different guidance methods （with correction term）

表2 不同制導(dǎo)方式的計(jì)算結(jié)果 （無修正項(xiàng)）Tab.2 Results of different guidance methods （without correction term）

5 結(jié)束語

根據(jù)航天器近距離操作中，追蹤航天器在向目標(biāo)航天器逼近過程中規(guī)避動(dòng)態(tài)障礙物的需求，本文在能夠規(guī)避靜態(tài)障礙物的傳統(tǒng)人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)方法的基礎(chǔ)上，研究了規(guī)避動(dòng)態(tài)障礙物的人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)方法?？紤]到在有障礙物情況下，引入斥力勢(shì)會(huì)使總的勢(shì)能函數(shù)在收斂點(diǎn)處的值不為0，使得收斂點(diǎn)偏離，影響收斂精度；在斥力勢(shì)中加入修正項(xiàng)，使勢(shì)能函數(shù)在收斂點(diǎn)處為零，從而提高收斂精度。在此基礎(chǔ)上，研究了規(guī)避動(dòng)態(tài)障礙物的自適應(yīng)人工勢(shì)函數(shù)制導(dǎo)。通過理論分析與仿真驗(yàn)證，得到的主要結(jié)論有：

1）通過引入修正項(xiàng)，使得勢(shì)函數(shù)在收斂點(diǎn)處的值為零，能夠提高追蹤航天器逼近的收斂精度。

2）APF與AAPF兩種制導(dǎo)律均能使追蹤航天器成功避開動(dòng)態(tài)障礙物，向目標(biāo)點(diǎn)逼近；AAPF制導(dǎo)方法與APF相比，由于考慮了對(duì)速度變化的 “適應(yīng)”，控制脈沖作用施加更加合理，減少了總速度脈沖消耗，且具有更高的精度。

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