潘冬 王興貴 趙陽

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱150001）

1 引言

衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)是在空間特定環(huán)境下，用來實現(xiàn)天線兩自由度運(yùn)動與定位的專用空間機(jī)構(gòu)，可以實現(xiàn)天線對目標(biāo)的實時跟蹤、定位、伺服等多種功能。雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)在國內(nèi)外的通信衛(wèi)星和數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星上廣泛應(yīng)用［1］。

隨著航天事業(yè)發(fā)展，對衛(wèi)星天線指向精度提出了更高的要求，雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)有運(yùn)動副的存在，就不可避免地存在間隙，間隙的存在，使得機(jī)構(gòu)的運(yùn)動、動力學(xué)特性變得異常復(fù)雜，尤其存在內(nèi)碰撞，嚴(yán)重影響機(jī)構(gòu)的精度與穩(wěn)定性。由于制造工藝及成本限制，通過制造精度消除間隙是不現(xiàn)實的，綜合分析間隙引入各因素對天線雙軸機(jī)構(gòu)動態(tài)特性的影響，分析其主要影響因素、影響程度和影響規(guī)律，進(jìn)而加以控制，是提高衛(wèi)星天線指向精度的有效途徑。國內(nèi)外學(xué)者對含間隙機(jī)構(gòu)的運(yùn)動學(xué)和動力學(xué)問題開展了多年的研究，并取得了豐碩的成果［2-5］，但現(xiàn)有文獻(xiàn)對于衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)的研究甚少，文獻(xiàn)［6］應(yīng)用虛擬樣機(jī)技術(shù)研究了理想情況下雙軸機(jī)構(gòu)運(yùn)動特性，文獻(xiàn)［7］對雙軸機(jī)構(gòu)指向精度的靜態(tài)影響因素進(jìn)行了分析，對點波束天線指向計算問題進(jìn)行了詳細(xì)的研究。目前，尚未見文獻(xiàn)對含間隙衛(wèi)星天線雙軸機(jī)構(gòu)指向精度動態(tài)影響因素及其影響規(guī)律進(jìn)行研究。

本文以中國某高指向精度要求的衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)為研究對象，分析運(yùn)動副間隙及其大小、不同驅(qū)動力矩等因素對機(jī)構(gòu)動力學(xué)特性的影響規(guī)律，可為衛(wèi)星天線雙軸機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)設(shè)計與優(yōu)化提供理論參考。

2 衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)

衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)分為橫向、縱向兩個完全相同的驅(qū)動軸，即俯仰軸和方位軸，每個驅(qū)動軸由驅(qū)動電機(jī)、減速器、軸承等結(jié)構(gòu)組成。兩個驅(qū)動軸再加上天線本體相應(yīng)支架就構(gòu)成了雙軸驅(qū)動的天線系統(tǒng)。俯仰軸和偏航軸采用偏航-俯仰的布局形式，即偏航軸的輸出端通過連接法蘭與整個俯仰軸相連，當(dāng)偏航軸電機(jī)接到驅(qū)動信號轉(zhuǎn)動時帶動整個俯仰軸及天線本體繞偏航軸轉(zhuǎn)動；俯仰軸的輸出端通過法蘭直接與天線反射面相連，俯仰軸轉(zhuǎn)動時帶動天線本體作俯仰運(yùn)動，從而實現(xiàn)衛(wèi)星天線在三維空間中的運(yùn)動，并精確定位，其具體機(jī)構(gòu)簡圖如圖1所示。

圖1 雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)簡圖Fig.1 Two-axis-position mechanism

3 含間隙雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)動力學(xué)建模

3.1 間隙運(yùn)動副矢量模型

對雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)間隙鉸進(jìn)行真實有效描述是實現(xiàn)衛(wèi)星天線系統(tǒng)運(yùn)動、動力學(xué)仿真的關(guān)鍵。如圖2所示，間隙矢量模型通過在軸和軸承的旋轉(zhuǎn)鉸中引入一個間隙矢量來表達(dá)旋轉(zhuǎn)鉸的真實潛在行為，間隙矢量表征軸和軸承兩構(gòu)件間連接點的精確相對位置。圖2中，OXY為慣性坐標(biāo)系。

間隙矢量定義在一個局部浮動笛卡爾坐標(biāo)系中 （Oixiyi），以軸承的回轉(zhuǎn)中心為間隙矢量的基準(zhǔn)起始點，間隙矢量的方向指向軸和軸承相對運(yùn)動時的潛在接觸點，該潛在接觸點構(gòu)成了軸與軸承的相對碰撞點對。間隙矢量的大小被嚴(yán)格限制在以軸承回轉(zhuǎn)中心為圓心且以軸和軸承的徑向尺寸公差為半徑的間隙圓內(nèi)，間隙矢量大小的變化能夠反映間隙運(yùn)動副元素是否接觸［8］。

圖2 運(yùn)動副間隙矢量模型示意Fig.2 Sketch of vector model kinematic pair with clearance

對含間隙天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動副，考慮到轉(zhuǎn)動副鉸接處軸承與軸同心，間隙大小用軸承與軸半徑之差來描述，則間隙為

式中ri為軸承的半徑；rj為軸的半徑。

3.2 間隙運(yùn)動副數(shù)學(xué)模型

圖3為軸與軸承碰撞時旋轉(zhuǎn)鉸間隙示意，其中Oi和Oj分別為軸承和軸的中心；Qi和Qj分別為軸承和軸的潛在接觸點；rqi和rqj是軸承和軸潛在接觸點對在全局慣性坐標(biāo)系下的位置矢量；roi和roj是軸承和軸的中心在全局慣性坐標(biāo)系下的位置矢量。

由圖3可知，軸承與軸的間隙矢量為

當(dāng)軸承和軸接觸碰撞時，碰撞引起的接觸變形大小可表示為

圖3 碰撞時旋轉(zhuǎn)鉸間隙示意Fig.3 Schematic diagram of revolute joints with clearance

軸和軸承是否發(fā)生碰撞可以根據(jù)接觸變形量δ來判定，軸和軸承接觸碰撞的條件為

式中δ＜0表明未接觸、自由運(yùn)動；δ＝0表明開始接觸或開始脫離；δ＞0表明接觸、發(fā)生彈性變形。

3.3 間隙運(yùn)動副接觸碰撞力模型

含間隙運(yùn)動副的一個重要特征就是其系統(tǒng)為變拓?fù)湎到y(tǒng)，即分為無約束的自由運(yùn)動和受單邊幾何約束的運(yùn)動。自由運(yùn)動時機(jī)構(gòu)在運(yùn)動副處不受力的作用較好處理，但是當(dāng)受單邊幾何約束時，運(yùn)動副處將會有力的作用。為了建立系統(tǒng)動力學(xué)模型，需要將幾何約束轉(zhuǎn)化為力約束，利用合理碰撞力模型來預(yù)測接觸碰撞力是建立正確動力學(xué)模型的關(guān)鍵。

本文采用非線性彈簧阻尼模型來建立軸與軸承間隙接觸碰撞模型，如圖4所示，其廣義形式可表示為

式中Fn為接觸點法向接觸力；Fk為彈簧恢復(fù)力；Fd為阻尼力；Kn為等效接觸剛度；δ為接觸點法向穿透深度；為接觸點法向相對速度；C（δ）為與δ有關(guān)的阻尼因子；m為指數(shù)，且m≥1。

圖4 旋轉(zhuǎn)鉸非線性彈簧阻尼模型Fig.4 Nonlinear equivalent spring-damp model

3.4 間隙運(yùn)動副摩擦力模型

間隙處還將存在切向摩擦力，摩擦力產(chǎn)生的摩擦力矩將進(jìn)一步影響含間隙機(jī)構(gòu)的動力學(xué)特性，求解間隙處切向摩擦力采用修正的庫倫摩擦模型，切向摩擦力可以表示為

式中μd為滑動摩擦系數(shù)；cd為動態(tài)修正系數(shù)；vt為相對切向速度。

通過上面建立的法向接觸力和切向摩擦力模型，可以較準(zhǔn)確描述天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)間隙鉸處的約束問題，含間隙雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)動力學(xué)方程為

式中q為廣義坐標(biāo)列陣；M、C、K、φq、F分別為雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)的廣義質(zhì)量陣、阻尼陣、剛度陣、約束方程的雅克比矩陣、廣義速度二次項以及力陣；λ為Lagrange乘子列陣；t為時間。

3.5 衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)模型

對于含間隙機(jī)構(gòu)動力學(xué)問題，準(zhǔn)確檢測接觸碰撞點并進(jìn)行精確求解是研究的難點。當(dāng)建立了機(jī)構(gòu)的動力學(xué)模型后，如何編程實現(xiàn)對接觸碰撞點的實時監(jiān)測將很困難，而多體動力學(xué)分析軟件Adams能很好地解決這一問題。所以本文基于虛擬樣機(jī)技術(shù)，應(yīng)用Adams計算平臺對含間隙衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)進(jìn)行仿真分析。

含間隙運(yùn)動副的衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)的虛擬樣機(jī)模型如圖5所示。

圖5 雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)虛擬樣機(jī)模型Fig.5 Virtual prototype of two-axis-position mechanism

4 仿真結(jié)果與分析

下面針對運(yùn)動副間隙及其大小、不同驅(qū)動力矩等因素進(jìn)行仿真分析，研究其對機(jī)構(gòu)動態(tài)特性的影響規(guī)律。

4.1 間隙大小對衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)影響分析

運(yùn)動副間隙對雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)動力學(xué)特性的影響直接表現(xiàn)為間隙大小的影響。下面針對雙軸機(jī)構(gòu)中軸與軸承間的多種間隙大小進(jìn)行仿真。

圖6為不同間隙大小情況下雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)的動力學(xué)仿真曲線。圖6（a）表明，間隙的存在影響機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動的角位移，使得角位移出現(xiàn)偏差，且隨著時間的積累偏差逐漸增大，說明間隙對機(jī)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)特性影響是個慢變過程。由圖6（b）可知，間隙的存在使機(jī)構(gòu)的速度在初始階段出現(xiàn)波動，間隙越大，角速度波動峰值越大。圖6（c）中的角加速度曲線則表明，初始階段角加速度瞬時峰值很大，這是由于間隙的存在使間隙鉸處發(fā)生了內(nèi)碰撞，間隙越大，碰撞越劇烈，隨著系統(tǒng)能量的消耗，逐漸趨于穩(wěn)定。圖6（d）為不同間隙下鉸間接觸碰撞力，接觸碰撞力與角加速度有很大的相似性，都是隨著間隙的增大，峰值變大，且出現(xiàn)峰值的時間有所延遲（見圖7）。

圖6 不同間隙大小下仿真結(jié)果Fig.6 Simulation results under different clearance

通過上面的分析可以看出，間隙的存在使間隙鉸處發(fā)生內(nèi)碰撞，且隨著間隙的增大，雙軸機(jī)構(gòu)的角速度、角加速度在初始階段波動越劇烈，間隙對機(jī)構(gòu)動態(tài)特性影響嚴(yán)重；雖然對穩(wěn)態(tài)特性 （角度偏差等）影響緩慢，但隨著時間逐漸積累，勢必影響衛(wèi)星天線指向精度。因此，鉸間隙對衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性及精確性都是極其不利的，應(yīng)盡量減小間隙。

圖7 不同間隙大小下統(tǒng)計結(jié)果Fig.7 Simulation statistics results under different clearance

4.2 驅(qū)動力矩對衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)影響分析

雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)驅(qū)動天線進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動與定位是通過橫軸和縱軸的步進(jìn)電機(jī)提供轉(zhuǎn)矩實現(xiàn)的。為此，分析不同驅(qū)動力矩對含間隙雙軸機(jī)構(gòu)動力學(xué)特性的影響。

圖8（a）、（b）分別為不同電機(jī)轉(zhuǎn)矩下雙軸機(jī)構(gòu)的角位移和角速度，可以看到，隨著驅(qū)動力矩的增加，機(jī)構(gòu)在相同的運(yùn)行時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度及角速度也隨之增加；驅(qū)動力矩的變化對雙軸機(jī)構(gòu)的角位移和角速度無太大影響。圖8（c）、（d）分別為雙軸機(jī)構(gòu)的角加速度和間隙碰撞力，可以看出，驅(qū)動力矩增大，導(dǎo)致角加速度及碰撞力的峰值增大，且第一次發(fā)生碰撞的時間也有所提前（見圖9）。

圖8 不同驅(qū)動力矩下仿真結(jié)果Fig.8 Simulation results under different driving torque

通過上面的分析可知，增大驅(qū)動力矩可以使雙軸機(jī)構(gòu)更快地完成天線的姿態(tài)機(jī)動任務(wù)。但是由于驅(qū)動力矩的增大，也使機(jī)構(gòu)的間隙碰撞力及姿態(tài)角偏差增大，從而影響雙軸機(jī)構(gòu)的穩(wěn)定性，這是一個相互矛盾的過程。衛(wèi)星天線的機(jī)動既要求快速性，又要求平穩(wěn)性，所以需要對這兩方面因素進(jìn)行綜合分析，選擇最合適的驅(qū)動轉(zhuǎn)矩。

圖9 不同驅(qū)動力矩下統(tǒng)計結(jié)果Fig.9 Simulation statistics results under different driving torque

5 結(jié)束語

本文研究了間隙大小、不同驅(qū)動力矩等因素對間隙鉸和天線系統(tǒng)的動態(tài)特性影響規(guī)律。結(jié)果表明：間隙的存在將會導(dǎo)致鉸間的內(nèi)碰撞，產(chǎn)生很大的碰撞力，從而影響雙軸機(jī)構(gòu)的角速度、角加速度等動力學(xué)參數(shù)，并進(jìn)一步影響衛(wèi)星天線的定位精度。

1）間隙越大碰撞越劇烈，隨著間隙的增大，碰撞力及姿態(tài)角偏差增大，天線系統(tǒng)的定位精度及平穩(wěn)性越差；

2）驅(qū)動力矩增大雖然能加快衛(wèi)星天線的定位速度，但也將加劇內(nèi)碰撞，增大姿態(tài)角偏差，影響定位精度。

因此，間隙的大小、驅(qū)動力矩等因素對衛(wèi)星天線雙軸機(jī)構(gòu)動力學(xué)特性都有一定的影響，且由于間隙不可避免，綜合分析各種因素對雙軸機(jī)構(gòu)的影響規(guī)律，對衛(wèi)星天線雙軸驅(qū)動機(jī)構(gòu)進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，是減小運(yùn)動副間隙對機(jī)構(gòu)影響的有效途徑。

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