晁寧 羅曉英 李言俊

（1西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，西安710072）（2西安電力電子技術(shù)研究所，西安710061）

1 引言

由于地月系平動點附近的指數(shù)不穩(wěn)定性，且系統(tǒng)模型建立不完備、不準確以及入軌誤差執(zhí)行偏差等因素，航天器在其上暈軌道運行時進行軌道控制是必不可少的；而自從開始了各種平動點空間任務(wù)，暈軌道保持控制就一直是研究的熱點。軌控精度是測控精度、執(zhí)行精度、擾動等諸多因素的多元函數(shù)，由于控制級數(shù)的長足發(fā)展及執(zhí)行元件工藝的提升，目前軌控精度最高可達米的量級。文獻［1-2］最早提出了target控制模式，文獻［3］同樣基于線性化模型的思想，給出了控制器精度與能耗均滿足要求的折中策略。文獻［4］提出了一種線性二次型最優(yōu)LQR控制方法來保持暈軌道的穩(wěn)定，所設(shè)計的線性控制器也可以用于確定Halo軌道。文獻［5］利用最優(yōu)控制理論中極值曲線的變分成功求解了兩點邊值問題，實現(xiàn)了Halo軌道維持?？紤]到最優(yōu)控制求解的難度，文獻［6］提出了用于近似求解HJB方程的θ-D方法，這種方法具有很高的實時性。文獻［7］將序優(yōu)化理論與微分修正法相結(jié)合，優(yōu)化了暈軌道的入軌機動問題。這種方法在優(yōu)化過程中具有收斂速度快、對初值不敏感與計算量小的優(yōu)點。

本文對無攝三體動力學(xué)方程沿標稱軌道線性化，推導(dǎo)了三體動力模型的誤差線性模型。在線性模型的基礎(chǔ)上，利用模型標準軌道狀態(tài)向量選擇閉環(huán)目標極點，通過設(shè)計閉環(huán)極點配置控制狀態(tài)反饋增益陣K對地月系L1點附近受攝暈軌道進行了控制仿真與對比。針對K中三通道使用單一控制量級帶來的控制誤差，提出了利用入軌誤差比例設(shè)計的可變反饋陣系數(shù) （VKC）設(shè)計方法。根據(jù)入軌誤差在三軸分量上的不同比例來確定對三軸控制力度的大小，對入軌誤差的變化具有一定魯棒性。

2 圓限制性三體模型

對于圓限制性三體問題 （Circular Restricted Three-Body Problem，CRTBP），可描述為一個質(zhì)量忽略不計的小天體P在兩個相互環(huán)繞運動的大天體P1、P2（P1＞P2）引力作用下的運動狀態(tài)，通常利用以兩大天體質(zhì)心為圓心旋轉(zhuǎn)的會合坐標系（或稱旋轉(zhuǎn)坐標系）來研究，這是比二體問題更精確的一種合理近似。假定P不影響P1、P2的運動，兩大天體共同繞其質(zhì)心做角速度為ω的圓周運動。P1指向P2的方向為會合坐標系的x軸，ω方向為z軸，y軸與x、z軸成右手系。這種假設(shè)下的動力學(xué)模型不考慮攝動因素，即無攝圓限制性三體模型，小天體的無量綱化運動對應(yīng)一個二階常微初值問題，其分量形式為

對于該CRTBP目前僅找到5個特解和一個Jaccobi積分［8］。前者對應(yīng)5個引力平衡點，即作用在旋轉(zhuǎn)坐標系中這5個點上的航天器的引力和離心力相平衡，其中3個共線平衡點不穩(wěn)定，位于兩大天體連線上，記作Li（i＝1，2，3）；兩個三角平衡點Lyapunov穩(wěn)定。由于前兩個點的應(yīng)用價值較大，引發(fā)了學(xué)者們的深入研究。5個平衡點處對應(yīng)的Jacobi積分常數(shù)Ci（μ）有如下關(guān)系：

曲面2Ω（x，y，z）＝C即為零速度面［8］。

3 暈軌道特性及線性化

（1）暈軌道特性

暈軌道是存在于共線平動點附近的一類周期軌道。這種軌道具有許多特殊的動力學(xué)特性，主要有不穩(wěn)定性、周期性及可控性，并且對初始值十分敏感，詳見文獻［9］。以暈軌道周期Thalo＝13.580 8天，入軌精度為10-8（10m）量級為例，由于其不穩(wěn)定性，運行于地月系L1點暈軌道上的無控航天器最多在維持約3個周期后就開始發(fā)散，如圖1所示。軌道初值為

圖1 地月系L1點某暈軌道Fig.1 Earth-Moon system L1point some halo orbit

本文將以圖1中暈軌道的第一周期作為標準軌道，并人為引入不同等級的誤差進行極點配置控制分析。

（2）線性化

由于深空探測的無攝圓限制性三體模型表現(xiàn)出很強的非線性，在考慮攝動因素后這種非線性特性就更加明顯。而在一定時間范圍內(nèi)，當實際軌道與標準軌道的狀態(tài)誤差較小時，其誤差系統(tǒng)模型具有較強的線性特性。誤差線性系統(tǒng)模型具有較高的準確度。通常用到的線性化方法有兩種：

1）將誤差狀態(tài)作為新的狀態(tài)變量，利用多元向量函數(shù)的雅可比矩陣作為線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣；

2）仍以原位置速度作為狀態(tài)量，將動力學(xué)系統(tǒng)轉(zhuǎn)換關(guān)系作為系數(shù)矩陣。

以第一種方法為例，將誤差狀態(tài)作為新的狀態(tài)變量，利用多元向量函數(shù)的雅可比矩陣作為線性系統(tǒng)的系數(shù)矩陣A。設(shè)狀態(tài)變量控制向量u＝［uxuyuz］T，暈軌道標準狀態(tài)為狀態(tài)誤差則非線性系統(tǒng)可近似化為線性系統(tǒng)［9］

式中b1＝0。方便起見，下面均用X代替Z。

4 極點配置方法

對于近似小偏差線性系統(tǒng)來說˙X＝AX＋Bu，X為誤差向量。如果控制起始點存在一個狀態(tài)偏差，則動力學(xué)系統(tǒng)存在兩種線性化基礎(chǔ)，即沿理論軌道線性化或沿實際軌道線性化。兩種基礎(chǔ)對應(yīng)理論系數(shù)矩陣Am（t）與實際系數(shù)矩陣Ap（t）。這樣一來，如果基于實際軌道的線性系統(tǒng)完全能控，就可以利用狀態(tài)反饋矩陣K，以Am（t）為目標對Ap（t）進行極點配置。

（1）基于誤差線性系統(tǒng)的極點配置

一個線性定常系統(tǒng)的極點配置條件如下［10］：

設(shè)線性受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為

式中A∈Rn×n，B∈Rn×m，X∈Rn，u∈Rm，n為系統(tǒng)階數(shù)，m為輸入維數(shù)。若要通過狀態(tài)反饋的方法使閉環(huán)系統(tǒng)極點配置于理想位置上，其充要條件是式（4）完全能控。

原開環(huán)系統(tǒng)˙X＝AX＋Bu通過加入狀態(tài)反饋K∈Rm×n，構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)使系統(tǒng)鎮(zhèn)定。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示，雙線代表多輸入、多輸出。圖2中可見，閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)方程變?yōu)楱BX＝ （A-BK）X＋Bv，對受控系統(tǒng)進行極點配置的關(guān)鍵是求解狀態(tài)反饋陣K。要利用狀態(tài)反饋u＝v-Kx是閉環(huán)極點si（i＝1，2，…，n）位于指定位置λ1，…，λn，應(yīng)滿足

圖2 狀態(tài)反饋閉環(huán)結(jié)構(gòu)Fig.2 Closed-loop of state feedback

本文受控模型主要為動態(tài)方程形式，狀態(tài)反饋極點配置則是在誤差線性模型的基礎(chǔ)上進行。標準軌道初始值與真實軌道初始值在誤差線性系統(tǒng)中將分別對應(yīng)不同的系統(tǒng)矩陣Am和Ap。按照極點配置的思路，通過引入狀態(tài)反饋增益陣K來實現(xiàn)近似線性系統(tǒng)鎮(zhèn)定，則閉環(huán)系統(tǒng)的期望極點位于多項式det（sⅠ-Am）＝0的解在s平面上的位置。

根據(jù)誤差線性系統(tǒng)的可加性，系統(tǒng)狀態(tài)反饋陣K可以通過三軸分量疊加得到，即

另外由于控制律與三通道間偏差數(shù)量級的不同，反饋控制律在引入原非線性系統(tǒng)時存在比例系數(shù)ci（i＝1，2，3）以彌補原控制律三通道間單一數(shù)量級的缺陷。于是有反饋控制律u＝-KcX，其中狀態(tài)向量

（2）可變反饋陣系數(shù)

試驗發(fā)現(xiàn)，反饋增益陣K中常系數(shù)c1～c3的取值直接影響跟蹤控制的精度。而誤差級反映了飛行器在三通道上位置誤差及速度誤差的宏觀情況，這種指標不能明確反映出三通道中各分量的誤差大小。因此，若入軌誤差主要由z通道引入，前面假設(shè)c1～c3的相互關(guān)系便不成立，這樣同時也會給控制器引入設(shè)定誤差。對于這種情況，本文考慮在系數(shù)設(shè)定階段對狀態(tài)偏差三分量所占比例進行分析，并按照各分量偏差比例自適應(yīng)調(diào)整系數(shù)大小。

由式（8）能夠看出K的系數(shù)與三軸偏差成正比，誤差越大則控制幅度越大。進行數(shù)字仿真時，選取

式中k為比例系數(shù)；A1～A3為幅值系數(shù)。幅值系數(shù)表示了三軸各自的數(shù)據(jù)跨度，跨度越大則控制幅度也越大。同樣將比例系數(shù)完全歸納于k，則幅值系數(shù)取值為

比例系數(shù)k通過對跟蹤方差和TVS尋優(yōu)得到。

跟蹤方差和 （TVS）表示三軸分量方差在控制周期T內(nèi)的總和。TVS按照式（11）計算

式中為標準軌道狀態(tài)；var為向量方差運算；Xcon為受控軌道狀態(tài)；n為Thalo內(nèi)的累加次數(shù)。

5 仿真試驗

（1）固定系數(shù)反饋增益陣控制

利用地月系L1點暈軌道的小偏差線性模型和不同誤差等級 （10-5～10-7）進行分析。選擇˙X（0）＝0，y（0）＝0為暈軌道起點，幅值A(chǔ)X＝0.032 18。根據(jù)式（3）中的矩陣分塊，系統(tǒng)的受控部分僅為A1子塊，且該子系統(tǒng)能控。因此，僅對該部分子系統(tǒng)進行分析與控制是合理的簡化計算。以誤差等級為10-6，圖1所示幅值暈軌道為例，表1列出了理論軌道與實際軌道分別對應(yīng)的能控子系統(tǒng)矩陣元素。這里以對會合坐標系中x軸施控為例，選擇控制矩陣b＝［1 0 0］T，則狀態(tài)反饋陣k1＝［k1k2k3］T。

表1 子系統(tǒng)矩陣及極點位置Tab.1 Subsystem matrix and pole position

表1中，Am、Ap分別為A1在標準初始狀態(tài)和實際初始狀態(tài)下的取值。同理可得，坐標系中y軸與z軸兩通道的狀態(tài)反饋陣為

下面將通過誤差線性系統(tǒng)推導(dǎo)出的反饋控制律引入原非線性系統(tǒng)中驗證效果。以前述三維閉合halo周期軌道為控制對象，并根據(jù)式（7），系數(shù)關(guān)系選擇為c1＝c2≈40c3。根據(jù)試驗，誤差在10-6數(shù)量級下取c1＝1／23.8，10-7數(shù)量級下取c1＝1／24.5，10-5數(shù)量級下取c1＝1／50。

圖3是基于誤差線性系統(tǒng)的控制情況。從中可見，3種誤差等級下對應(yīng)的控制效果不同，10-7誤差級控制效果最好，受控軌道滿足了閉合與周期性要求。對于周期halo軌道來說，如果選擇單周期受控軌道首尾盡可能閉合為控制目標，則受控軌道入軌誤差越小，受控軌道越接近理論軌道，跟蹤控制效果越好。圖3（c）表示的誤差級最大，利用極點配置方法控制后，受控軌道雖在x-y平面內(nèi)實現(xiàn)了周期軌道閉合，但在z方向仍存在不可消除的控制偏差。在實際軌道與理論軌道偏差較大時，利用線性系統(tǒng)的極點配置方法控制后并未獲得一個閉合的周期軌道。這種情況也說明，對非線性動力學(xué)系統(tǒng)進行基于小偏差理論的誤差線性化變換后得到的線性系統(tǒng)是對原三體動力學(xué)系統(tǒng)的近似，入軌誤差越小，近似線性系統(tǒng)與原系統(tǒng)的相似度就越高。當入軌誤差增大到一定程度時，基于近似線性系統(tǒng)推導(dǎo)出的控制律效果就會不理想。

圖3 極點配置前后控制情況Fig.3 Control effect of pole assigment

表2列出了3種誤差級下的反饋增益陣常系數(shù)以及跟蹤方差和TVS，TVS反映了受控跟蹤軌道與理論軌道的接近程度，Ac表示控制過程中消耗的總加速度，為量綱一的變量。對比表2中的TVS值也能看出入軌誤差小時跟蹤精度較高，且消耗能量較少。

表2 不同誤差級指標對比Tab.2 Comparison of performances in different error level

（2）VKC控制

采用可變反饋系數(shù)后的跟蹤方差和TVSb對比如表3所示，TVSb中的下標 “b”表示可變系數(shù)控制方法。

表3 變系數(shù)方法控制效果Tab.3 Control effect of variable coefficient method

從表3中可以看到，采用變系數(shù)方法后的極點配置控制效果與固定系數(shù)法相比有所改善，各誤差級下的跟蹤方差和也相應(yīng)減小。從圖4中也可以看到使用改進方法后，即使在較大誤差級別情況下也獲得了閉合周期軌道，控制效果改善比較明顯。但在較大初始誤差情況下仍舊不能達到很高的控制精度，這主要是由于極點配置方法的固有缺陷帶來的，如系統(tǒng)模型必須滿足小偏差假設(shè)，基于狀態(tài)空間方程推導(dǎo)的反饋控制律在原非線性系統(tǒng)下存在未建模動態(tài)等。實際非線性系統(tǒng)所需的控制量不一定與系統(tǒng)狀態(tài)呈完全線性關(guān)系，這也是線性控制方法的固有缺陷。

6 結(jié)束語

本文利用閉環(huán)極點配置控制理論設(shè)計了狀態(tài)反饋增益陣K，來實現(xiàn)對地月系L1點附近受攝暈軌道保持控制，并試驗驗證了可行性。針對K中三通道使用單一控制量級帶來的控制誤差，及誤差線性模型對大入軌偏差的局限性，提出了利用入軌誤差比例設(shè)計的VKC設(shè)計方法，區(qū)別對待各分量偏差，實現(xiàn)了對三軸的控制力度的自適應(yīng)調(diào)整。改善了原有極點配置方法在較大入軌誤差情況下受控軌道不閉合的情況，并通過仿真試驗驗證了控制效果。

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