程 曄，周翠英，黃林沖，文建華

中山大學(xué)工學(xué)院，廣州510275

復(fù)雜結(jié)構(gòu)可靠度分析中難以直接得到功能函數(shù)的解析表達(dá)式，普通的快速概率積分法無(wú)法求解.目前的蒙特卡洛 (Monte Carlo，MC)方法，包括在此基礎(chǔ)上改進(jìn)的各種抽樣模擬方法，可解決此類復(fù)雜問(wèn)題，但要達(dá)到較高精度仍需要大量樣本，計(jì)算量太大，難以實(shí)際應(yīng)用.隨機(jī)有限元方法不易編程實(shí)現(xiàn)，對(duì)非線性問(wèn)題和隨機(jī)變量變異系數(shù)大的情況，誤差仍較難控制.響應(yīng)面方法 (response surface method，RSM)最早由 Box和 Wilson提出［1］，具有思路簡(jiǎn)明、計(jì)算量小、精度較高等特點(diǎn)，是目前最具生命力的復(fù)雜結(jié)構(gòu)可靠度分析方法之一.該方法目前已經(jīng)發(fā)展了多種響應(yīng)面函數(shù)形式，如二次多項(xiàng)式［2-5］、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［6-8］和支持向量機(jī)［9-13］等.對(duì)于非線性較強(qiáng)的隱式功能函數(shù)，普通二次多項(xiàng)式難以有效逼近原函數(shù)，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機(jī)響應(yīng)面方法在構(gòu)造過(guò)程中對(duì)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)和布置仍存在較強(qiáng)的依賴性，求解精度不易控制.本研究采用具有較強(qiáng)非線性逼近能力的指數(shù)型插值基函數(shù)，發(fā)展一種基于多元指數(shù)插值的響應(yīng)面方法，構(gòu)造了相應(yīng)的迭代求解格式，以控制求解精度，并通過(guò)典型算例驗(yàn)證其求解精度和效率.

1 多元指數(shù)插值響應(yīng)面的構(gòu)造

1.1 多元指數(shù)插值函數(shù)

多元函數(shù)F(x)=F(x1，x2，…，xn)在m個(gè)點(diǎn)上的函數(shù)值分別為z1、z2、…、zm，可用指數(shù)插值函數(shù) f(x)逼近原函數(shù) F(x)［14］，

其中，

ζ和ρ為兩個(gè)待定參數(shù).插值函數(shù)f(x)連續(xù)可微，容易驗(yàn)證，無(wú)論ζ和ρ如何取值，均有f(xi)=zi，即保證插值函數(shù)f(x)總能通過(guò)所有插值點(diǎn).

插值函數(shù)f(x)逼近原函數(shù)F(x)的程度取決于兩個(gè)待定參數(shù)ζ、ρ以及插值點(diǎn)的數(shù)量和分布.下面給出待定參數(shù)ζ和ρ的確定方法.

1.2 指數(shù)插值函數(shù)響應(yīng)面的參數(shù)確定

首先取

則插值函數(shù)f(x)還剩下一個(gè)待定參數(shù)ρ.若用

表示插值函數(shù)集合，其中G表示整個(gè)插值區(qū)域，G1表示非插值點(diǎn)集合，則ρ的取值應(yīng)使插值函數(shù)f(x)在非插值點(diǎn)上盡量接近原函數(shù)，即

由于F(x)是未知函數(shù)，式 (9)的范數(shù)無(wú)法計(jì)算，但可通過(guò)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)來(lái)確定ρ，

也就是說(shuō)，具體計(jì)算中，除m個(gè)插值點(diǎn)外，再另取r個(gè)點(diǎn)，使得在此r個(gè)點(diǎn)上的插值函數(shù)f(xj，ρ)與原函數(shù)之差，在式(10)目標(biāo)函數(shù)意義下最小.

2 插值點(diǎn)的選取

2.1 插值點(diǎn)布點(diǎn)區(qū)域

在結(jié)構(gòu)可靠度分析中，先用R－F法將原始隨機(jī)變量空間變換至標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間.根據(jù)可靠度分析一般原則，插值點(diǎn)布點(diǎn)區(qū)域取 ±3σi=±3.對(duì)于一個(gè)3變量的多元函數(shù)，其布點(diǎn)區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)邊長(zhǎng)為6的立方體.

2.2 插值點(diǎn)的正交表法布置

正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) (orthogonal experimental design)是研究目標(biāo)與多因素多水平關(guān)系的實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方法之一［15］，它根據(jù)正交性從全面實(shí)驗(yàn)中挑選出部分有代表性的點(diǎn)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，這些有代表性的點(diǎn)具備“均勻分散，齊整可比”的特點(diǎn)，采用正交實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)形成的試驗(yàn)點(diǎn)表格也稱為正交實(shí)驗(yàn)表.如果考慮一個(gè)3因素，每個(gè)因素按7水平設(shè)計(jì)，所需樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為49個(gè)，具體布點(diǎn)如表1.如果按照網(wǎng)格點(diǎn)法，考慮3因素7水平網(wǎng)格布點(diǎn)，需要的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為個(gè)點(diǎn)，正交表法將樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)大大減少.若采用3因素5水平設(shè)計(jì)，可將樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)減少到25個(gè)，如表2.作為工程實(shí)際應(yīng)用而言，這樣的分析工作量更容易接受.后面的分析均采用5水平正交實(shí)驗(yàn)表來(lái)確定插值點(diǎn).

表1 3因素7水平正交實(shí)驗(yàn)布點(diǎn)表Table 1 Distribution table of orthogonal experiment with three factors and seven levels

表2 3因素5水平正交實(shí)驗(yàn)布點(diǎn)表Table 2 Distribution table of orthogonal experiment with three factors and five levels

2.3 校核點(diǎn)的布置

由于求解本研究建立的多元插值響應(yīng)面還需r個(gè)點(diǎn)，采用隨機(jī)投點(diǎn)法處理.給定區(qū)域?yàn)?/p>

Ri(t)為區(qū)域［－3σi，3σi］上服從均勻分布的隨機(jī)過(guò)程，則初始插值點(diǎn)集合為

3 可靠度指標(biāo)求解

將上述指數(shù)插值函數(shù)響應(yīng)面構(gòu)造方法用于復(fù)雜結(jié)構(gòu)工程可靠度分析，具體步驟為:

①利用R－F法將非正態(tài)隨機(jī)變量X當(dāng)量正態(tài)化成X'，其均值為μX'，標(biāo)準(zhǔn)差為σX'，協(xié)方差矩陣為VX';

②將獨(dú)立正態(tài)的隨機(jī)變量Y'標(biāo)準(zhǔn)化為Y;

③采用正交表法和有限元法生成插值點(diǎn)，建立隱式函數(shù)的指數(shù)插值函數(shù)f(x)，按照多因素5水平布點(diǎn)，另外再增加一組隨機(jī)投點(diǎn)，投點(diǎn)個(gè)數(shù)取3，以式 (10)為目標(biāo)函數(shù)，利用Matlab優(yōu)化工具箱得到指數(shù)插值函數(shù)的待定參數(shù)ρ值，確定f(x);

④利用常用的可靠度求解方法求解驗(yàn)算點(diǎn)y*(k)和可靠度指標(biāo) β(κ);

⑤計(jì)算驗(yàn)算點(diǎn)原函數(shù)值F(y*(k))，將其增加到插值點(diǎn)集合，修正插值函數(shù)f(x)，如前后兩次可靠度指標(biāo)滿足收斂條件，則輸出f(x)、y*(k)和β(k).否則，返回步驟③迭代計(jì)算.

根據(jù)上述求解思路，采用Matlab軟件編制程序，其中指數(shù)插值函數(shù)系數(shù)ρ和可靠指標(biāo)求解均利用Matlab提供的優(yōu)化工具箱求解.

4 算例分析

為檢驗(yàn)本研究指數(shù)插值響應(yīng)面方法的有效性，選取3個(gè)不同類型的數(shù)值算例.算例1極限狀態(tài)方程為二次型，引自文獻(xiàn) ［8］;算例2極限狀態(tài)方程為三次型;算例3極限狀態(tài)方程為指數(shù)型，算例2和算例3均引自文獻(xiàn) ［16］.

算例1 極限狀態(tài)方程z=x1x2－x3，其中隨機(jī)變量 x1～ N(0.547 2，0.027 4)，x2～ N(3.8，0.304)，x3～N(1.3，0.91)均服從正態(tài)分布.

分別采用一次二階矩法、二次序列響應(yīng)面方法和桂勁松等［8］建立的改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)面方法，與本研究方法做對(duì)比分析，結(jié)果如表3.對(duì)于該算例，這幾種方法均較精確找到原函數(shù)的驗(yàn)算點(diǎn)，求解的可靠度指標(biāo)也極為接近，但本研究方法和桂勁松的改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，在調(diào)用原函數(shù)的次數(shù)上相對(duì)二次序列響應(yīng)面方法有一定優(yōu)勢(shì).

表3 本研究方法與其他方法比較 (二次型)Table 3 Results comparison of the proposed method with other methods(quadratic form example)

算例2 極限狀態(tài)方程g(x1，x2)=x31+x32－4.0，其中，隨機(jī)變量滿足x1～N(3.0，1.0)，x2～N(2.9，1.0).分別采用一次二階矩法、二次序列響應(yīng)面法、改進(jìn)二次響應(yīng)面法［16］和本研究建立的多元指數(shù)插值響應(yīng)面法計(jì)算，結(jié)果如表4.由表4可見，本研究方法計(jì)算得到的驗(yàn)算點(diǎn)、可靠度指標(biāo)均與采用一次二階矩法、改進(jìn)的二次響應(yīng)面法結(jié)果非常接近，說(shuō)明本研究方法具有較高的計(jì)算精度，而一般二次響應(yīng)面法得到的結(jié)果與這3種方法的計(jì)算結(jié)果略有差異，反映出二次響應(yīng)面在逼近非線性更強(qiáng)的原極限狀態(tài)曲面時(shí)存在一定誤差.同時(shí)，本研究方法和改進(jìn)二次響應(yīng)面法的原函數(shù)調(diào)用次數(shù)均為17次，而二次序列響應(yīng)面方法為35次，也說(shuō)明了本研究方法計(jì)算效率較高.

表4 本研究方法與其他方法比較 (三次型)Table 4 Results comparison of the proposed method with other methods(cubic form example)

算例3 極限狀態(tài)方程z=exp(1+x1－x2)+exp(5－5x1－x2)－1，其中，隨機(jī)變量和均服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.該算例為一常用來(lái)考核隱式極限狀態(tài)可靠度分析方法精度的指數(shù)型極限狀態(tài)函數(shù).由于該算例非線性程度非常高，采用一次二階矩法和一般二次響應(yīng)面方法求解，迭代都不收斂.表5給出了改進(jìn)的二次響應(yīng)面方法［16］、貢金鑫采用的二次二階矩法［17］和本研究方法的計(jì)算結(jié)果.3種方法計(jì)算的驗(yàn)算點(diǎn)和可靠度指標(biāo)均十分接近，說(shuō)明本研究方法具有較高的精度.從原函數(shù)調(diào)用次數(shù)上看，本研究方法在該算例上體現(xiàn)出了極高的效率.

表5 本研究方法與其他方法比較 (指數(shù)型)Table 5 Results comparison of the proposed method with other methods(exponential form example)

結(jié) 語(yǔ)

本研究在分析目前隱式極限狀態(tài)方程可靠度分析的各類響應(yīng)面方法特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，探討了一類新的基于多元指數(shù)插值函數(shù)響應(yīng)面的構(gòu)造方法，并將其用于隱式極限狀態(tài)方程可靠度分析，研究表明:

①進(jìn)一步證實(shí)了各種多元函數(shù)插值方法均可用于構(gòu)造隱式功能函數(shù)的響應(yīng)面，各類方法求解精度和效率不僅取決于方法本身，還與原隱式功能函數(shù)形態(tài)密切相關(guān);

②提出了一類新的指數(shù)插值函數(shù)響應(yīng)面方法，并給出了相應(yīng)求解可靠度指標(biāo)的求解方法和步驟，從而建立了基于多元指數(shù)插值函數(shù)響應(yīng)面的可靠度分析方法，通過(guò)數(shù)值算例證實(shí)了該方法對(duì)非線性強(qiáng)的原始功能函數(shù)逼近能力較強(qiáng)，具有較好的精度與效率.

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