李 健，賈元華，敖谷昌

1)北京交通大學(xué)交通運(yùn)輸學(xué)院，北京100044;2)喬治亞大學(xué)富蘭克林理學(xué)院，雅典城30602，美國(guó);3)北京市軌道交通指揮中心，北京100101

通過匝道控制預(yù)防與疏導(dǎo)大城市高速公路聯(lián)絡(luò)線和快速路擁堵有較好功效［1-3］，其中，主線關(guān)聯(lián)多匝道協(xié)同形式最為突出.目前對(duì)其相關(guān)智能算法［4-5］及控制參數(shù)［6-8］的關(guān)注較多，而對(duì)深入的控制機(jī)制和策略［1，8-11］研究則相對(duì)欠缺.交通流密度保持在諧動(dòng)流相位內(nèi)，且小于同步流最小密度時(shí)，道路適度擁擠但通行能力提高［12］.為表征這種通行能力，本文定義“機(jī)動(dòng)容量”概念，即由主線密度、可接受間隙等因素決定的總允許調(diào)節(jié)量，其分配以效率提升和公平分配為原則.為討論其利用的方法及作用，本文對(duì)主線和匝道進(jìn)行系統(tǒng)描述，采用一種新的匝道冗余等待時(shí)間［13］為關(guān)鍵控制參數(shù)，設(shè)計(jì)“機(jī)動(dòng)容量”均衡分配最優(yōu)控制方法，并進(jìn)行案例仿真驗(yàn)證.

1 系統(tǒng)模型描述

考察一段包含n個(gè)區(qū)間的路段，描述如下.

以ω表示路段各區(qū)間的車道數(shù)數(shù)組，ωi為第i區(qū)間車道數(shù)，ω = ［ω1，ω2，…，ωi，…，ωn］T.

以δ表示路段各區(qū)間的長(zhǎng)度數(shù)組，δi為第i區(qū)間長(zhǎng)度，δ= ［δ1，δ2，…，δi，…，δn］T.

以a表示路段各區(qū)間容量數(shù)組，ai=ωiδi，a=［a1，a2，…，ai，…，an］T= ［ω1δ1，ω1δ2，…，ωiδi，…，ωnδn］T.

由于速度可認(rèn)為是關(guān)于密度的函數(shù)，而流量是隨機(jī)量，不屬可控范圍，因此僅以密度代表主線狀態(tài)向量 xM(k)= ［ρ1(k)，ρ2(k)，…，ρi(k)，…，ρn(k)］T.

以xE(k)表示以排隊(duì)長(zhǎng)度代表的入口匝道狀態(tài)向量，xE(k)= ［ζ1(k)，ζ2(k)，…，ζi(k)，…，ζn(k)］T，ζi(k+1)= ζi(k)+T［di(k)－ ri(k)］，di(k)+ ζi(k － 1)/T ≥ ri(k)≥ ri－min.

以TM(k)表示主線車輛的行駛時(shí)間向量，TM(k)=T∑axM(k);以TE(k)表示入口匝道車輛的等待時(shí)間向量，c表示為在形式上與a對(duì)稱而引入的一個(gè)單位向量，且TE(k)=T∑cxE(k).

以To(k)表示系統(tǒng)的時(shí)間目標(biāo)向量，To(k)=TM(k)+TE(k)=T∑axM(k)+T∑cxE(k);To(k)是系統(tǒng)總消耗時(shí)間的原始形式.

以u(píng)(k)表示入口匝道的控制律向量，u(k)=［r1(k)，r2(k)，…，ri(k)，…，rn(k)］T.

以u(píng)min表示入口匝道控制律下限約束向量，umin(k)= ［r1－min，r2－min，…，ri－min，…，ρn－min］T.

以wM(k)表示主線的始終端區(qū)間和出口匝道駛離產(chǎn)生的擾動(dòng)變量向量，wM(k)=［q0(k)，s1(k)，s2(k)，…，si(k)，…，sn(k)，qs(k)］T.

以wE(k)表示入口匝道需求產(chǎn)生的擾動(dòng)變量向量，wE(k)= ［d1(k)，d2(k)，…，di(k)，…，dn(k)］T;后續(xù)將以d(k)代表wM(k)和wE(k)表示系統(tǒng)總的擾動(dòng)變量向量.

主線狀態(tài)函數(shù)xM(k+1)可以表示為xM(k+1)= φ［xM(k)，u(k)，wM(k)］.

入口匝道狀態(tài)函數(shù)xE(k+1)可以表示為xE(k+1)=xE(k)+T·［wE(k)－ u(k)］= φE［xE(k)，u(k)，wE(k)］;系統(tǒng)狀態(tài)向量可表示為x(k+1)=F(k)［x(k)，u(k)，(k)］.

控制律約束向量形式為CM［x(k)，(k)］≤u(k)≤CE［x(k)，(k)］，有CM［x(k)，(k)］=umin，以及CE［x(k)，(k)］=wE(k)+xE(k)/T.

2 最優(yōu)控制方法

多匝道協(xié)同控制目標(biāo)方程可表示為

其中，K為時(shí)間域;?為終態(tài)狀態(tài)函數(shù);Lj(k)為子系統(tǒng)目標(biāo)函數(shù);wj為子目標(biāo)權(quán)重;M為子目標(biāo)數(shù).

采用各匝道調(diào)節(jié)量與排隊(duì)長(zhǎng)度比值的偏差，即調(diào)節(jié)率偏差作為控制目標(biāo)，表示機(jī)動(dòng)容量在滿足各匝道需求中資源分配的公平性.

首先，根據(jù)控制律向量和匝道狀態(tài)向量設(shè)計(jì)一個(gè)參數(shù)σ，表示匝道調(diào)節(jié)率向量，

各匝道調(diào)節(jié)率偏差向量可表示為

系統(tǒng)控制目標(biāo)方程為

式(4)中，盡管在目標(biāo)方程中加入了匝道調(diào)節(jié)率偏差，但反映的信息量很小，因此可省略.則原控制目標(biāo)方程式(4)可簡(jiǎn)化為

將常量T略去，得

劃分區(qū)間后ω和δ均可確定，狀態(tài)參數(shù)僅有ρi(k)和ζi(k)為變量，而排隊(duì)長(zhǎng)度ζi(k+1)，其中包含擾動(dòng)變量和控制變量，求解采用可行方向法［14］.

3 案例仿真與分析

3.1 研究對(duì)象

如圖1，選擇G2聯(lián)絡(luò)線下行主線及關(guān)聯(lián)多匝道為研究對(duì)象.實(shí)地交通流數(shù)據(jù)取自北京城市道路微波檢測(cè)系統(tǒng)，包括流量 (含長(zhǎng)車流量)、占有率和速度，采樣間隔為2 min，交通流關(guān)鍵參數(shù)如自由流速度和阻塞密度等［15］參考相關(guān)研究辨識(shí).

本文采用最優(yōu)化方法進(jìn)行多匝道協(xié)同控制對(duì)比，并以Matlab仿真實(shí)現(xiàn).

3.2 排隊(duì)隊(duì)列對(duì)比

對(duì)G2下行RS3uG2d、RS4uG2d及RE4dG2d等3個(gè)入口匝道在無控制 (N)和協(xié)同控制 (C)兩種狀態(tài)下的排隊(duì)長(zhǎng)度進(jìn)行比較，如圖2.

圖1 研究對(duì)象示意圖Fig.1 Illustration of research ramp and mainline

圖2 主線關(guān)聯(lián)多匝道排隊(duì)長(zhǎng)度對(duì)比 (2 min)Fig.2 Ramp queue profile comparison(2 min)

RS3uG2d、RS4uG2d及 RS4uG2d長(zhǎng)度分別為290、650及900 m，容量約為40、85及120 pcu，采用容量負(fù)擔(dān)比bi(k)表示隊(duì)列長(zhǎng)度與匝道容量之比，如圖3.無控制時(shí)均有明顯排隊(duì)溢出.實(shí)施協(xié)同控制后，bi(k)值總體降低，但排隊(duì)溢出仍突顯.實(shí)際中，即使在高峰期，匝道排隊(duì)超過容量2～5倍的現(xiàn)象也很難出現(xiàn).因此，需進(jìn)一步分析修正.

原因分析及改進(jìn)方法:在排隊(duì)溢出影響主線引起擁堵時(shí)，可將主線擁堵車輛視為匝道排隊(duì)，由于存在替代路徑，排隊(duì)一般不會(huì)持續(xù)增加;控制周期為2 min，按交通流整體推進(jìn)速度為60～70 km/h計(jì)算，區(qū)間長(zhǎng)度約為2 000～2 200 m，按照離散化路段考慮，很多機(jī)動(dòng)容量未利用.如果控制周期更長(zhǎng)，排隊(duì)長(zhǎng)度還會(huì)繼續(xù)增加，與實(shí)際情況差距更大.因此，以800～1 000 m匯入?yún)^(qū)間考慮，交通流整體推進(jìn)速度仍按60～70 km/h計(jì)算，設(shè)定控制周期為40 s，對(duì)兩種場(chǎng)景重新仿真，如圖4.

圖3 主線關(guān)聯(lián)多匝道容量負(fù)擔(dān)對(duì)比 (2 min)Fig.3 Ramp queue and capacity comparison profile(2 min)

圖4 主線關(guān)聯(lián)多匝道排隊(duì)長(zhǎng)度對(duì)比 (40 s)Fig.4 Ramp queue profile comparison(40 s)

對(duì)比圖2和圖4，控制周期優(yōu)化后，無控制和協(xié)同控制下相應(yīng)排隊(duì)長(zhǎng)度對(duì)比、總長(zhǎng)度值域、排隊(duì)持續(xù)時(shí)間和規(guī)模均有明顯降低.

以40 s為控制周期，各入口匝道在兩種控制狀態(tài)下的bi(k)值見圖5.由圖5可見，40 s控制時(shí)bi(k)絕對(duì)值減小并出現(xiàn)震蕩變化，明顯抑制了2 min周期控制時(shí)bi(k)值近于單調(diào)地遞增或長(zhǎng)時(shí)間保持一個(gè)較高數(shù)值的情況.

圖5 主線關(guān)聯(lián)多匝道容量負(fù)擔(dān)比 (40 s)Fig.5 Ramp queue and capacity comparison profile(40 s)

3.3 平均冗余等待周期數(shù)對(duì)比

為表征特定周期內(nèi)所有車輛經(jīng)歷的平均等待周期數(shù)，以Tw為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)Nw=Tt/Ts，稱冗余等待周期數(shù).以1～3分別表示2 min和40 s為周期控制時(shí)的0～30、31～60和61～90個(gè)周期，以及0～90、91～180和181～270個(gè)周期，Nw-N和Nw-C分別表示無控制和協(xié)同控制時(shí)的Nw，結(jié)果如表1.以2 min周期控制時(shí)，在降低Nw方面效果較無控制略差.以40 s周期控制時(shí)，Nw前后值域雖無明顯變化，但在多個(gè)時(shí)段內(nèi)均明顯降低，控制效果比無控制時(shí)要好.

改進(jìn)后，控制具有明顯的小步幅、高頻率及單次匯入量少的特點(diǎn)，有效減少了排隊(duì)積累，多匝道協(xié)同控制優(yōu)勢(shì)得到較充分發(fā)揮，主線“機(jī)動(dòng)容量”得到有效分配和利用，控制效果有明顯改進(jìn).

表1 平均冗余等待周期數(shù)Table 1 Average redundancy waiting cycle amount

結(jié) 語(yǔ)

多匝道協(xié)同控制旨在充分疏導(dǎo)通行能力，合理分配路權(quán).采用本文設(shè)計(jì)的系統(tǒng)控制方法，可以有效提高機(jī)動(dòng)容量的利用效率，挖掘通行潛能，明顯均衡各方向的交通等待成本.

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