白城師范學(xué)院(137000) 張淑艷 鄔偉三 楊新宇

本文主要是通過建立合理的數(shù)學(xué)模型來解決該住院部的病床合理安排問題，以提高對醫(yī)院資源的有效利用。

問題的分析

排隊論(Queueing Theory)，又稱為隨機服務(wù)系統(tǒng)理論，是通過服務(wù)對象到來及服務(wù)時間的統(tǒng)計研究，得出這些數(shù)量指標(biāo)(等待時間、排隊長度、忙期長短等)的統(tǒng)計規(guī)律，然后根據(jù)這些規(guī)律來改進服務(wù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或重新組織被服務(wù)對象，使得服務(wù)系統(tǒng)既能滿足服務(wù)對象的需要，又能使機構(gòu)的病人的安排指標(biāo)最優(yōu)。

排隊系統(tǒng)包括三個組成部分:

1．輸入過程。輸入過程考察的是顧客到達服務(wù)系統(tǒng)的規(guī)律。它可以用一定時間內(nèi)顧客到達數(shù)或前后兩個顧客相繼到達的間隔時間來描述，本文為隨機型。由于患者到達醫(yī)院的時刻是隨機的，且在一定時間間隔［a，a+t］內(nèi)，來醫(yī)院患者的概率與這段時間起始時刻無關(guān)，且與時刻a之前顧客數(shù)無關(guān)，在足夠小的時間內(nèi)只有一顧客到達，并且到達患者有限，所以在［0，t］時，k個患者來到醫(yī)院的概率服從Possion分布，從而患者相繼到達的時間間隔t內(nèi)必服從負指數(shù)分布，即在時間t內(nèi)到達n個顧客的概率為

或相繼到達的顧客的間隔時間T服從負指數(shù)分布，即

式中λ為單位時間患者期望到達數(shù)，稱為平均到達率;1/λ為平均間隔時間。在排隊論中，討論的輸入過程主要是隨機型的。

2．排隊規(guī)則。分為等待制、損失制和混合制三種。當(dāng)顧客到達時，所有服務(wù)機構(gòu)都被占用，則顧客排隊等候，即為等待制。在等待制中，為顧客進行服務(wù)的次序可以是先到先服務(wù)，后到先服務(wù)，或是隨機服務(wù)和有優(yōu)先權(quán)服務(wù)。如果顧客來到后看到服務(wù)機構(gòu)沒有空閑立即離去，則為損失制。有些系統(tǒng)因留給顧客排隊等待的空間有限，因此，超過所能容納人數(shù)的顧客必須離開系統(tǒng)，這種排隊規(guī)則就是混合制。從本文提供的數(shù)據(jù)看為等待制。

3．服務(wù)機構(gòu)?？梢允且粋€或多個服務(wù)臺。本文屬于多個服務(wù)臺可以是并列排列的。服務(wù)時間一般也分成確定型和隨機型兩種。如果服從負指數(shù)分布，則其分布函數(shù)是 P{v≤t}=1 － e－μt(t≥0)式中μ為平均服務(wù)率，1/μ為平均服務(wù)時間。

ai(i=1，2，…，5)—各患者比例，i=1，2，…，5 分別代表白內(nèi)障、白內(nèi)障(雙眼)、青光眼、視網(wǎng)膜的患者;wi(i=1，2，…，5)—平均住院的時間;Di(i=1，2，…，5)—平均等待入院時間;wi+Di—各類患者的平均逗留時間。

為簡化問題，做出如下模型假設(shè):

(1)假定顧客到達的時間間隔是相互獨立且同分布;(2)系統(tǒng)空間無限，允許白內(nèi)障、青光眼、眼角膜疾病患者永遠排隊;(3)任意有限時間內(nèi)到達有限個顧客的概率為1;(4)級別較高的比級別較低的顧客享有優(yōu)先服務(wù)權(quán);(5)外傷患者若在登記的第二日不能入院，則自動離開;(6)假設(shè)醫(yī)院眼科手術(shù)條件比較充分，沒有條件的限制;(7)每種疾病的手術(shù)時間都是相同的，即在一天內(nèi)完成手術(shù);(8)不考慮手術(shù)條件的限制。

因為病床始終沒有空閑時間，所以系統(tǒng)內(nèi)平均逗留時間將是一常值?？蓪⒅饕笜?biāo)定為病床有效利用率和公平度。

為了討論方便分別稱白內(nèi)障、白內(nèi)障雙眼、青光眼、視網(wǎng)膜和外傷患者為第一類、第二類、第三類、第四類和第五類患者。

模型的初步建立和求解

1．排隊論M/M/C模型

來到醫(yī)院的患者服從泊松分布。對有s個服務(wù)臺的服務(wù)系統(tǒng)，需要用到如下公式:

其中S—服務(wù)機構(gòu)中的服務(wù)臺的個數(shù);Lq—系統(tǒng)中的平均排隊長度;Ws—顧客在系統(tǒng)中的逗留時間;Wq—顧客在系統(tǒng)中的平均等待時間;Ls—平均顧客人數(shù);ρ—服務(wù)強度;τ—設(shè)備使用率;λ—平均到達率;μ—平均服務(wù)率;P0—系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)概率。

結(jié) 果

(1)目前各個醫(yī)院考察病床的安排優(yōu)劣，一般采用評價指標(biāo)“病床使用率”。醫(yī)院病床使用率至少達90%以上才為合理使用該醫(yī)院眼科病床現(xiàn)使用率為56%，所以病床使用不合理，會導(dǎo)致等待住院病人隊列越來越長。且服務(wù)強度(有效到達率)ρ=0.0176，相對太低。

由已出院的數(shù)據(jù)知白內(nèi)障、白內(nèi)障(雙眼)、青光眼、視網(wǎng)膜患者的平均服務(wù)時間分別為5天、6天、8天和9天，所以在此排隊論系統(tǒng)中，將病人分為4個優(yōu)先等級，第一優(yōu)先級為白內(nèi)障患者，第二優(yōu)先級為白內(nèi)障(雙眼)患者，第三優(yōu)先級為青光眼患者，第四優(yōu)先級為視網(wǎng)膜患者，同一天內(nèi)到達的病人優(yōu)先級高的病人先入住，第i級優(yōu)先權(quán)的病人的到達服從參數(shù)為λi(i=1，2，3，4)的 Poisson 分布，同時，系統(tǒng)對任何級別病人的服務(wù)時間均服從參數(shù)為μ的負指數(shù)分布。

當(dāng)患者的到達過程為參數(shù)λ的Poisson過程時，則患者相繼到達的時間間隔T必服從負指數(shù)分布，即每位患者接受服務(wù)的時間是獨立同分布的，其分布函數(shù)為 B(t)=1 －e－μt(t＞ =0)，其中 μ ＞0為一常數(shù)，代表單位時間的平均服務(wù)率，而1/μ則是平均服務(wù)時間。

用MATALAB軟件求解得p0=0.50945，平均到達人數(shù)Lq=5.64285，平均到達率λ=0.1547，平均服務(wù)時間wq=9.0086，平均服務(wù)率μ=0.111，服務(wù)強度ρ=0.0247.，隊長 L=7.0365，逗留時間 W=18，病床使用率τ=0.8019，易見病床使用率和服務(wù)強度都比醫(yī)院原來的安排模型要好很多。

(3)采用自適應(yīng)區(qū)間法，計算出各類病人每日出院人數(shù)的統(tǒng)計平均值分別 1.309、1.491、0.709、1.836、1，而這五類患者相應(yīng)的平均排隊時間為5.23、8.56、12.54、10.49、7.04 。為了讓患者以較高的可靠度得到大致的住院日期，取置信度為95%，對住院時間區(qū)間取整。則通過計算可得這5類患者的大致住院時間區(qū)間為［4，6］、［6，10］、［11，13］、［8，12］、［6，8］。

(4)白內(nèi)障、白內(nèi)障(雙眼)、青光眼、視網(wǎng)膜的患者從住院到手術(shù)的平均時間分別為3天、4天、3天、3天，周六，周日不安排手術(shù)，所以手術(shù)時間應(yīng)作出相應(yīng)調(diào)整，考慮到白內(nèi)障(雙眼)需在一周內(nèi)做完2次手術(shù)，其他眼科患者手術(shù)時間向后調(diào)整。由已有的各類患者的平均逗留時間可擬出剩余病人的入院時間和手術(shù)時間及出院時間。

(5)該問題為優(yōu)化問題，由于病床數(shù)只能為整數(shù)，且數(shù)量較大，故采用分支定界法來建立模型。

由Lingo軟件計算可得各類病人占用病床的比例，其中白內(nèi)障病人占17.72%;白內(nèi)障(雙眼)病人占24.05%;青光眼病人占12.66%;視網(wǎng)膜病人占29.11%;外傷病人占16.46%。

白內(nèi)障、白內(nèi)障(雙眼)、青光眼、視網(wǎng)膜、外傷的患者在系統(tǒng)內(nèi)的平均逗留時間(天)分別為16.15，18.07，20.7，22.08，8.036。

模型的評價和改進

該模型充分利用醫(yī)院數(shù)據(jù)，分析和研究了數(shù)據(jù)規(guī)律，實際地解決患者的滿意度情況，并且遵循公平原則、盡可能快的服務(wù)和盡可能擴大服務(wù)面等優(yōu)點。

此模型存在一些不足之處:如模型的實際檢測不夠，而且在公平性方面還存在一些漏洞，因此，就這一點還有待于商榷。作為醫(yī)院，可以通過引進醫(yī)院叫號系統(tǒng)程序，來統(tǒng)計患者到達間隔和服務(wù)時間的經(jīng)驗分布，然后按照統(tǒng)計學(xué)的方法進行檢驗，得出可靠結(jié)論。

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