沙俊名，劉澤乾，龐 帥，夏志申

(空軍航空大學(xué)航空軍械工程系，長(zhǎng)春 130022)

0 引言

航空武器在制導(dǎo)末段獲取紅外圖像過(guò)程中，由于受惡劣外界環(huán)境條件和探測(cè)器本身固有特性的影響，不可避免的產(chǎn)生大量噪聲。這些噪聲主要包括熱噪聲、散粒噪聲、電流噪聲、復(fù)合噪聲等，并可以用高斯模型來(lái)描述[1]。這些噪聲對(duì)紅外圖像后期的分析和處理帶來(lái)很大影響，因此，圖像去噪成為航空武器紅外圖像處理中不可或缺的重要部分。傳統(tǒng)的去噪方法如：直方圖濾波、維納濾波和中值濾波等，雖然算法簡(jiǎn)單，硬件實(shí)現(xiàn)方便，但在復(fù)雜背景條件下去噪效果顯得力不從心。近年來(lái)，基于小波變換的去噪方法成為目前圖像去噪的主要手段之一。小波變換以其基于頻率域內(nèi)信號(hào)與噪聲譜不重疊的思想保證了圖像細(xì)節(jié)信息不丟失，同時(shí)小波還具有低熵性、多分辨率、去相關(guān)性、選基靈活性等優(yōu)點(diǎn)，使得小波變換在圖像去噪中具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。

文中在Donoho提出的小波閾值去噪算法基礎(chǔ)上對(duì)閾值函數(shù)和閾值選取方法分別加以改進(jìn)，提出了一種改進(jìn)的小波去噪算法，并將其應(yīng)用于航空武器獲取到的紅外圖像上。通過(guò)建立評(píng)價(jià)體系，將該算法與傳統(tǒng)閾值算法、維納濾波算法以及中值濾波算法的處理結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步定量分析，以證明該方法在紅外圖像去噪中的優(yōu)勢(shì)。

1 小波變換原理

1.1 小波變換

與傅里葉變換不同，小波變換的基礎(chǔ)函數(shù)是一些具有變化的頻率和有限持續(xù)時(shí)間的小型波，稱為小波，它被認(rèn)為是數(shù)學(xué)顯微鏡。小波變換定義為：把一個(gè)稱為基本小波的函數(shù)ψ(t)做位移τ后，在不同尺度a下與待分析信號(hào)x(t)做內(nèi)積：

其中ψ*為ψ的共軛。從式(1)可以看出小波變換的實(shí)質(zhì)是用一個(gè)合適的基小波ψ(t)通過(guò)時(shí)間軸上的位移與縮放和幅度的變化產(chǎn)生一系列派生小波，用系列小波對(duì)要分析的信號(hào)進(jìn)行時(shí)間軸上的平移比較，獲得用以表征信號(hào)與小波相似程度的小波系數(shù)，從而獲得傅里葉分析不能獲得的局部時(shí)間區(qū)間信息。小波函數(shù)ψ(t)存在許多可選性，如非正交小波、正交小波以及雙正交小波等，針對(duì)處理問(wèn)題的不同可選用不同的小波函數(shù)。

1.2 Mallat算法

1986年S.Mallat和Y.Meyer提出了多分辨率分析概念，其思想是將原始信號(hào)分為不同分辨率上的幾個(gè)信號(hào)，然后選擇合適的分辨率或者在各級(jí)分辨率上處理此信號(hào)[2]。在多分辨率理論分析的基礎(chǔ)上，S.Mallat引入了離散柵格上小波變換的快速算法，即Mallat算法，此算法被廣泛應(yīng)用于圖像去噪領(lǐng)域。

把紅外圖像看成二維可分離信號(hào)，設(shè)矩陣Aj(l，k)為在空間分辨力2j上(j是分辨力索引，M≤j≤N，M、N為圖像矩陣的大小)對(duì)原始圖像Y的多分辨分析。根據(jù)Mallat算法，有：

從圖1表示的分解過(guò)程可以看出：二維圖像的小波分解可以對(duì)圖像依次按行、按列與一維的低通h和高通g濾波器作卷積來(lái)實(shí)現(xiàn)，在卷積之后進(jìn)行相應(yīng)的降2采樣。二維圖像的這種行、列可分離性簡(jiǎn)化了圖像的小波變換，保證了圖像處理的快速性。

圖1 二維Mallat算法分解過(guò)程

2 改進(jìn)的小波閾值算法研究

近年來(lái)，基于小波變換的去噪方法層出不窮。Zhang提出的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)閾值函數(shù)法[3]，通過(guò)一系列平滑非線性函數(shù)對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行解算，最終得到最佳閾值;Chang S G等人提出的一種BaresShrink去噪方法[4]，具有很好的自適應(yīng)特性，去噪效果好。文中結(jié)合空地導(dǎo)彈捕獲目標(biāo)的實(shí)時(shí)性要求選擇實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)便、處理效果較好的閾值萎縮法對(duì)獲取到的紅外圖像進(jìn)行去噪。

2.1 閾值萎縮去噪方法

由于小波分解后能夠?qū)⒃夹盘?hào)的能量集中到幾個(gè)比較大的小波系數(shù)上，將噪聲的能量分散到其他大量的小波系數(shù)上，因而噪聲的小波系數(shù)比較小。通過(guò)設(shè)置合適的閾值算子λ削減這些較小的小波系數(shù)，同時(shí)保持較大的小波系數(shù)不變。常用的閾值函數(shù)為Donoho提出的軟閾值(soft thresholding)和硬閾值(hard threshloding)函數(shù)。分別定義如下：

軟閾值函數(shù)：

硬閾值函數(shù)：

其對(duì)應(yīng)的圖像分別如圖2(a)、圖2(b)所示。

圖2 兩種函數(shù)的圖形比較

從圖2的對(duì)比中可以看出，軟閾值函數(shù)整體連續(xù)性較好，處理效果相對(duì)平滑。但對(duì)閾值以外的信號(hào)進(jìn)行了壓縮處理，影響了重構(gòu)后圖像的逼近程度，造成邊緣模糊等失真現(xiàn)象;硬閾值函數(shù)在閾值點(diǎn)處不連續(xù)，導(dǎo)致圖像出現(xiàn)偽吉布斯效應(yīng)等視覺(jué)失真。因此，有必要對(duì)閾值去噪方法加以改進(jìn)。

2.2 閾值函數(shù)的改進(jìn)

為了彌補(bǔ)傳統(tǒng)閾值方法的不同，Sahraeian等人提出了一種基于指數(shù)函數(shù)形式的非線性濾波器[5]，該方法既具有硬閾值函數(shù)刻畫圖像細(xì)節(jié)的性能，又具有軟閾值函數(shù)平滑圖像的處理效果。但該函數(shù)圖像在閾值點(diǎn)處上升過(guò)快，曲線不平滑，導(dǎo)致圖像出現(xiàn)振鈴現(xiàn)象。

文中在此方法的基礎(chǔ)上加以改進(jìn)，構(gòu)造了一種新的閾值函數(shù)，該函數(shù)在閾值點(diǎn)處趨近平滑，曲線近似連續(xù)，避免了圖像產(chǎn)生振蕩。閾值函數(shù)表示如下：

其中：t=0.1·(log(λ)+4.6)+0.1是此閾值函數(shù)的穩(wěn)定因子，它對(duì)較大的閾值進(jìn)行壓縮以滿足在任何情況下(閾值為任何值時(shí))函數(shù)始終保持曲線平滑效果;式中的指數(shù)函數(shù)用來(lái)實(shí)現(xiàn)噪聲區(qū)間與信號(hào)區(qū)間函數(shù)的平穩(wěn)過(guò)渡，指數(shù)函數(shù)的冪越大，曲線曲率越大，反之冪越小，曲線越平滑。閾值函數(shù)圖像如圖3所示。

圖3顯示的是當(dāng)閾值為0.5時(shí)的硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)以及改進(jìn)后的閾值函數(shù)。從比較中可以看出，改進(jìn)后的閾值函數(shù)不僅具備軟閾值函數(shù)的連續(xù)性，并且在閾值外更加逼近于硬閾值函數(shù)，能夠保留更多的圖像信息，保護(hù)圖像邊緣。在閾值附近的圖像逼近平滑，避免了動(dòng)蕩圖像的產(chǎn)生。

圖3 閾值函數(shù)圖像

2.3 新閾值的確定

閾值的選取是小波閾值去噪的中心問(wèn)題之一，閾值選取的好壞直接影響到去噪效果。如果閾值選擇過(guò)大，在去除噪聲小波分量的同時(shí)，有用信號(hào)的一部分小波系數(shù)也會(huì)被去除，造成圖像細(xì)節(jié)丟失[6];反之，如果閾值選擇過(guò)小，就不會(huì)有效地去除噪聲小波分量。

傳統(tǒng)的閾值選取包括全局閾值、通用閾值以及BayesShrink閾值等[7]。全局閾值由Donoho 和Johnstone提出，是目前最常用的閾值，其表達(dá)式為：T為噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差，N為信號(hào)的尺寸長(zhǎng)度。該方法運(yùn)算簡(jiǎn)便，對(duì)一些要求不高的圖像處理效果較好。事實(shí)上，小波變換將噪聲從信號(hào)域壓縮到小波域，這使得噪聲方差隨著小波分解級(jí)數(shù)的增多而基本不變，信號(hào)方差將會(huì)越來(lái)越大[8]。

將圖像dam做1～5層小波分解，分別計(jì)算在每一分解級(jí)數(shù)上的信號(hào)方差、噪聲方差以及噪聲信號(hào)比率。其統(tǒng)計(jì)圖如圖4所示。

其中，橫坐標(biāo)為小波分解級(jí)數(shù)。從圖中可以看出，隨著小波分解級(jí)數(shù)的增加，信號(hào)方差不斷變大，噪聲方差幾乎無(wú)變化，噪聲在系數(shù)方差中的比例不斷下降。在一級(jí)分解中子帶所含近一半信息幾乎被噪聲淹沒(méi)，隨著分解級(jí)數(shù)的遞增，到第5級(jí)分解，噪聲在系數(shù)中的方差僅占0.15%。

基于以上現(xiàn)象，全局閾值無(wú)法適用于多級(jí)小波分解。因此需要對(duì)全局閾值加一權(quán)重因子，使其隨著分解級(jí)數(shù)的增加閾值有所減小。設(shè)定：

圖4 方差統(tǒng)計(jì)圖

其中：σ為噪聲標(biāo)準(zhǔn)方差;N為信號(hào)的尺寸長(zhǎng)度;j為小波分解級(jí)數(shù);β為文中設(shè)定的權(quán)重因子，該權(quán)重因子使閾值隨著噪聲信號(hào)方差比的衰減而成比例的下降。

2.4 改進(jìn)的小波閾值算法步驟

改進(jìn)后的小波閾值算法步驟如圖5所示。

圖5 改進(jìn)后的算法步驟

具體處理步驟為：

1)選擇合適的小波母函數(shù)及小波分解級(jí)數(shù);

2)對(duì)航空武器獲取到的紅外圖像利用Mallat算法進(jìn)行小波分解;

3)運(yùn)用式(5)～式(7)分別計(jì)算出閾值函數(shù)和閾值;

4)對(duì)分解出的高頻小波系數(shù)運(yùn)用改進(jìn)的閾值函數(shù)進(jìn)行去噪處理;

5)將處理后的小波系數(shù)運(yùn)用Mallat小波重構(gòu)算法進(jìn)行重構(gòu)，從而得到去噪后的紅外圖像。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

基于db8母小波支集長(zhǎng)度長(zhǎng)、正則性好的特點(diǎn)[9]，文中選用db8母小波對(duì)紅外圖像dam進(jìn)行3級(jí)Mallat小波分解，并對(duì)分解后的高頻小波系數(shù)進(jìn)行改進(jìn)后的閾值去噪處理。改進(jìn)后的處理結(jié)果以及其他方法的處理結(jié)果如圖6所示。

圖6 圖像去噪效果比較

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以觀察到：中值濾波與維納濾波去除了圖像中的部分噪聲，但處理后的圖像過(guò)于平滑，且丟失了部分細(xì)節(jié);硬閾值法有效地去除了圖像中大部分噪聲，且較好的保持了圖像邊緣的細(xì)節(jié)特性，但圖像出現(xiàn)了一些震蕩;軟閾值法的去噪效果雖然不及硬閾值法，但保持了圖像的平滑特性;改進(jìn)后的閾值算法去噪效果優(yōu)于之前的算法，且較好的保留了圖像細(xì)節(jié)信息，視覺(jué)效果清晰。

為進(jìn)一步對(duì)以上5種算法的不同去噪效果做定量分析，建立評(píng)價(jià)體系結(jié)構(gòu)，對(duì)其進(jìn)行峰值信噪比(PSNR)的計(jì)算。計(jì)算公式為：

其中MSE是均方誤差，表達(dá)式為：

表1 不同圖像去噪方法的峰值信噪比比較

從統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)可以看到，采用改進(jìn)后的閾值去噪方法得到的峰值信噪比明顯大于其他算法，表明該算法在去噪方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

針對(duì)航空武器在制導(dǎo)末段獲取到的紅外圖像噪聲較大的問(wèn)題，提出運(yùn)用小波變換的方法對(duì)紅外圖像進(jìn)行去噪處理。文中在Donoho提出的小波閾值去噪算法基礎(chǔ)上對(duì)閾值函數(shù)和閾值選取方法做了研究并加以改進(jìn)，提出了一種新的小波閾值去噪算法，并將其應(yīng)用于航空武器獲取到的紅外圖像上。實(shí)驗(yàn)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明改進(jìn)后的算法在圖像去噪方面具有明顯的優(yōu)勢(shì)，并且保留了圖像的細(xì)節(jié)信息，避免了振蕩的產(chǎn)生。應(yīng)用改進(jìn)后的小波閾值算法對(duì)紅外圖像進(jìn)行去噪處理有效地提高了航空武器末段精確打擊的能力。

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