鮑玲玲， 仇秋生

(浙江師范大學數(shù)理與信息工程學院，浙江金華 321004)

0 引言

向量均衡問題是優(yōu)化理論的重要組成部分，向量變分不等式、向量優(yōu)化、向量Nash平衡及向量互補性問題等都是向量均衡問題的特例．近20多年來，許多學者研究了向量均衡問題解的存在性和解的性質［1-9］，但關于向量均衡問題解的最優(yōu)性條件的研究比較少．Giannessi等［3］在有限維空間中把帶約束的向量變分不等式問題轉化成無約束的向量變分不等式問題，并給出了有效解與弱有效解的充分條件;Morgan等［10］應用次微分的概念，在Hilbert空間中給出了向量廣義擬變分不等式問題的弱有效解的標量化及K-T條件;龔循華［11］在局部凸空間中給出了帶約束的錐凸向量均衡問題解的最優(yōu)性條件;仇秋生［12］獲得了廣義凸向量均衡問題弱有效解的充分與必要條件;戎衛(wèi)東等［13］引進了向量均衡問題的ε-弱有效解的概念，給出了集值向量均衡問題的ε-弱有效解的存在性結果;楊曉奇等［14］引進了向量變分不等式問題的ε-近似解的概念，得到了Banach空間中向量變分不等式問題的ε-有效解的最優(yōu)性條件;Gutierrez等［15］研究了向量優(yōu)化問題的Tanaka近似解的性質，通過標量化給出了近似解的充分與必要條件;龔循華等［16］獲得了Banach空間中無約束向量均衡問題的ε-解的最優(yōu)性條件．本文在文獻［11-16］的基礎上，首先討論了向量均衡問題近似解的一些性質;其次，引進了帶約束向量均衡問題的ε-有效解、ε-弱有效解的概念，研究了帶約束向量均衡問題的ε-有效解、ε-弱有效解的充分與必要條件，改進和推廣了文獻［14，16］的主要結果．

1 定義與引理

若無特別申明，以下總假設X，Y，Z為Banach空間，X*為X的共軛空間，D為X的非空子集，0為Y的零元，U為 Y中的閉單位球，C?Y和 K?Z為2個點凸錐．設 g：D→Z，F(xiàn)：D×D→Y，且?x∈D，

設S為X的任意一個非空子集，用cl S，int S分別表示S的閉包和內部．C的共軛錐用C*表示，即

其中，P∪{0}為Y中的凸錐．

2)映射 f：D→Y 在 D 上稱為 C-次類凸的，若存在 θ∈int C，使得?x1，x2∈D，?λ∈［0，1］，?ε ＞0，存在 x3∈D，有 εθ+f(x1)+(1-λ)f(x2)-f(x3)∈C．

注1［17］1)f是C-類凸的當且僅當 f(D)+C是凸集;f是C-次類凸的當且僅當 f(D)+int C是凸集．

2)若f是C-類凸的，則一定是C-次類凸的;反之一般不成立．

引理1［14］令M={y∈Y：y+U?-int C}，且r0=d(0，M)，則 M 是一個內部非空的凸集且r0≥1．

引理2［18］設C?Y為內部非空的點凸錐．

1)若 c*∈C*{0}，c∈int C，則〈c*，c〉＞0;

2)若 c*∈int C*，c∈C{0}，則〈c*，c〉＞0．

2 向量均衡問題近似解的一些性質

把所有(VEPC)的有效解、弱有效解、ε-有效解、ε-弱有效解組成的集合分別記作 E(F，A，C)，WE(F，A，C)，AE(F，A，C，ε)和 WAE(F，A，C，ε)．

注2 由定義1 和定義2 易得：1)若 int C≠?，則 AE(F，A，C，ε)?WAE(F，A，C，ε);

2)若0≤ε1≤ε2，則 AE(F，A，C，ε1)?AE(F，A，C，ε2);

3)若 ε =0，則 AE(F，A，C，0)=E(F，A，C)，WAE(F，A，C，0)=WE(F，A，C)．

定理1 設：1)ε≥0，{εn}?R+，且 εn→ε;2)對?y∈A，F(xiàn)(x，y)關于 x 在 A 上連續(xù)．則

其中，lim supWAE(F，A，C，εn)={x∈A ：存在序列{xn}，使得 xn∈WAE(F，A，C，εn)，xn→x}．

證明 假設結論不成立，則存在 x0∈lim supWAE(F，A，C，εn)，但 x0?WAE(F，A，C，ε)．于是，存在 y0∈A，使得

由 x0∈lim supWAE(F，A，C，εn) 知，存在 xn∈WAE(F，A，C，εn)且 xn→x0，從而

又由y0∈A得

而 F(x，y0)關于 x在 A上連續(xù)，Y(-int C)為閉集，且 εn→ε 和 xn→x0，故結合式(2)有 F(x0，y0)+εb∈Y(-int C)，?b∈U，即 F(x0，y0)+εU?Y(-int C)．這與式(1)矛盾．定理1 證畢．

由定理1可以得到下面的推論：

推論1 設 A 為閉子集，?y∈A，F(xiàn)(x，y)關于 x在 A 上連續(xù)，則 WAE(F，A，C，ε)為閉集．

推論2 設：1)y∈A，F(xiàn)(x，y)關于 x 在 x0處連續(xù);2){εn}?R+，{xn}?A 且 ε↓0，xn→x0．若對每個n，xn∈WAE(F，A，C，εn)，則 x0∈WE(F，A，C)．

定理2 設：1)x0∈A，?y∈A，F(xiàn)(x，y)關于 x 在 x0處連續(xù);2){εn}?R+，{xn}?A 且 εn↓0，xn→x0;3){F(xn，y)}為單調增序列(即?m ＞ n，F(xiàn)(xn，y)∈F(xm，y)-C)，且 C 為閉集．若對每個 n，xn∈AE(F，A，C，εn)，則 x0∈E(F，A，C)．

證明 假設 x0?E(F，A，C)，則存在 y∈A，使得 F(x0，y)∈ -C{0}，即

由{F(xn，y)}為單調增序列知，對?m＞n有

又對 y∈A，F(xiàn)(x，y)關于 x在 x0處連續(xù)和 xm→x0知

由式(5)及 C 為閉集，在式(4)中令 m→∞，有 F(x0，y)∈F(xn，y)+C，?n∈N，從而

而 xn∈AE(F，A，C，εn)，即 F(xn，A)?Y((-C){0})+εnU，也就是

于是，(F(xn，A)-εnU)∩(-C)={0}．由式(6)知

從而 F(xn，y)={0}，由式(5)有 F(x0，y)=0．這與式(3)矛盾．定理 2 證畢．

3 最優(yōu)性條件

又A?D，由式(8)可知，

證明 若ε=0，則由式(11)有

又A?D，由式(12)可知

從而，由‖c*‖=1及式(15)可知

式(16)中，r0如引理1的定義．

從而

結合C，K為凸錐，得

由式(19)及式(20)知

令λ→∞，有

同式(19)的證明可得

結合式(29)及〈k*，-int K〉≤0，可知式(16)成立．定理5證畢．

注3 定理5將文獻［16］的定理2．2作了以下推廣：

1)將無約束向量均衡問題推廣為帶約束向量均衡問題;

2)將目標函數(shù)由類凸映射推廣為次類凸映射．

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