王馬法，李翔宇，盧芳云，龔柏林

（國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)沙410073）

從上世紀(jì)70年代起，以美國(guó)為代表的一些國(guó)家對(duì)導(dǎo)彈遭遇段仿真技術(shù)進(jìn)行了大量研究，并開發(fā)出了幾種數(shù)字仿真系統(tǒng)[1，2]，如 FASTGEN、SCAN、SHASAM、IVAVIEW、OPEC、AMES 和 AMVS等.國(guó)內(nèi)這方面的研究起步較晚，南京理工大學(xué)和中國(guó)工程物理研究院在這方面做了大量研究，并建立了各自的仿真計(jì)算平臺(tái)[3～7].

彈目交會(huì)中命中點(diǎn)參數(shù)（包括命中點(diǎn)坐標(biāo)、命中部位、命中數(shù)、破片落速、落角和命中時(shí)刻等）的計(jì)算是導(dǎo)彈遭遇段仿真技術(shù)中的關(guān)鍵技術(shù)之一.在傳統(tǒng)的彈目交會(huì)仿真中，一般通過概率密度積分的方法求命中點(diǎn)參數(shù)，此方法計(jì)算精度較差，而且無法計(jì)算命中破片的落速、落角、命中點(diǎn)坐標(biāo)等具體參數(shù).王宏波[8]等提出了一種計(jì)算命中點(diǎn)參數(shù)的算法，該算法能夠克服傳統(tǒng)命中點(diǎn)參數(shù)計(jì)算方法的不足，但該方法沒有考慮破片速度衰減對(duì)命中點(diǎn)參數(shù)的影響，且該方法在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)要對(duì)所有命中點(diǎn)參數(shù)進(jìn)行遍歷判斷.莊志洪[9]等在相對(duì)速度坐標(biāo)系中討論了破片速度衰減對(duì)命中位置的影響.結(jié)果表明，在目標(biāo)速度較低或者脫靶量較小時(shí)可以不考慮破片速度衰減的影響；反之，則需要考慮破片速度衰減的影響.鑒于空中目標(biāo)具有高速運(yùn)動(dòng)的特性，在計(jì)算彈目交會(huì)命中點(diǎn)參數(shù)時(shí)，要計(jì)算得更加準(zhǔn)確就必須考慮速度衰減的影響.

在彈目交會(huì)計(jì)算中忽略重力的影響，破片只受到空氣阻力的影響.在相對(duì)速度坐標(biāo)系中，即使只考慮空氣阻力的影響，破片運(yùn)動(dòng)軌跡亦為曲線，這不利于討論破片命中點(diǎn).而在地面坐標(biāo)系（原點(diǎn)在地面上的某一觀察點(diǎn)）下觀察，破片運(yùn)動(dòng)軌跡是一條射線（稱為破片射線）.因此，在地面坐標(biāo)系下討論破片命中點(diǎn)參數(shù)有一定的優(yōu)勢(shì).本文在地面坐標(biāo)系下利用射線來描述破片軌跡，建立破片命中點(diǎn)參數(shù)計(jì)算的理論模型，并對(duì)解的存在范圍進(jìn)行討論.該計(jì)算方法通過一次遍歷即可求解整個(gè)戰(zhàn)斗部破片對(duì)目標(biāo)的命中點(diǎn)參數(shù)，而不需要在每個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)對(duì)目標(biāo)面元和破片進(jìn)行遍歷.利用該模型討論彈目交會(huì)參數(shù)和破片速度衰減系數(shù)對(duì)命中點(diǎn)參數(shù)的影響，為研究導(dǎo)彈遭遇段戰(zhàn)斗部威力和目標(biāo)易損性提供理論和技術(shù)支撐.

“一次遍歷”是指，在戰(zhàn)斗部起爆破片獲得初速時(shí)，利用本文提出的計(jì)算模型，只需對(duì)所有破片進(jìn)行一次循環(huán)即可確定每枚破片是否與目標(biāo)有交點(diǎn)，如果有，則可以計(jì)算出該破片的命中點(diǎn)參數(shù).

1 破片命中點(diǎn)精確計(jì)算模型

根據(jù)目標(biāo)的幾何參數(shù)，利用三角形面元對(duì)目標(biāo)形體進(jìn)行建模，如圖1所示.

圖1 目標(biāo)三角面元模型

圖1中每個(gè)三角形面元有3個(gè)頂點(diǎn)，面元的位置和法向可由3個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)確定.如圖2所示，△ABC為一面元，面元的法向由A、B、C三點(diǎn)確定為n′＝lAB×lAC，將n′單位化即可得到單位法向向量n.

破片與目標(biāo)面元的交會(huì)過程如圖2所示.在t0＝0時(shí)刻，破片所在位置為P點(diǎn)，破片射線與目標(biāo)面元ABC所在平面交于點(diǎn)H；經(jīng)過t1－t0時(shí)間后，破片從P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至P′點(diǎn)，面元ABC運(yùn)動(dòng)至A′B′C′，此時(shí)面元所在平面與破片射線交于H′.若存在某個(gè)時(shí)刻t＊使得P′與H′點(diǎn)重合，則說明破片會(huì)與面元所在平面有交點(diǎn)，通過破片運(yùn)動(dòng)軌跡即可求出該交點(diǎn)的坐標(biāo).再通過三角形面積法判斷該點(diǎn)是否在三角形面元內(nèi)，如果在面元內(nèi)，則該點(diǎn)即為破片命中點(diǎn).此時(shí)通過破片速度方向和面元法向量即可求出落角.下面對(duì)計(jì)算過程進(jìn)行推導(dǎo).

圖2 單枚破片與目標(biāo)面元的交會(huì)過程

1.1 破片飛行軌跡

以戰(zhàn)斗部爆炸時(shí)刻為0時(shí)刻，破片的軌跡方程為

式中，s（t）為破片在t時(shí)刻所飛行的距離；vfn為破片速度方向的單位矢量；X為t時(shí)刻破片空間坐標(biāo)，X0為0時(shí)刻破片的空間坐標(biāo).

根據(jù)文獻(xiàn)[10]，破片在空氣中飛行速度的衰減方程為vf＝v0exp（－αs），由此可以得到破片飛行距離與時(shí)間的關(guān)系為

式中，α為衰減系數(shù)；v0為破片初始速率；vf為破片在t時(shí)刻的速率.

1.2 目標(biāo)面元所在平面的運(yùn)動(dòng)方程

在0時(shí)刻，目標(biāo)某面元所在的平面方程為

式中，n為目標(biāo)面元法向單位向量；D0為一標(biāo)量常數(shù)，表示坐標(biāo)原點(diǎn)到目標(biāo)面元的距離；Y0為三角形面元中任意一頂點(diǎn)的初始坐標(biāo).由該面元在0時(shí)刻的3個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)即可求得n和D0的值.

假設(shè)在彈目遭遇段目標(biāo)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，且目標(biāo)為剛體.因此，目標(biāo)面元的運(yùn)動(dòng)也是勻速直線運(yùn)動(dòng)，且不會(huì)發(fā)生翻轉(zhuǎn)，即面元只有平動(dòng)，面元的法向不變，所以面元所在平面的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為

式中，vt為目標(biāo)在遭遇段的運(yùn)動(dòng)速度.

1.3 目標(biāo)面元所在平面與破片射線交點(diǎn)的計(jì)算

目標(biāo)面元平面與破片射線的交點(diǎn)H可由式（1）和式（4）聯(lián)立解得：

式中，h（t）為t時(shí)刻面元平面與破片射線交點(diǎn)到破片初始位置X0的距離.注意到式中n·vfn≠0.如果n·vfn＝0，則破片飛行方向與目標(biāo)面元法向垂直，即與目標(biāo)面元平行，因此不可能有交點(diǎn)，不再需要計(jì)算.

式（5）中的h（t）與式（2）中的s（t）不同，s（t）對(duì)應(yīng)于圖2中P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，而h（t）則對(duì)應(yīng)于H點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡.將h（t）化為

式中，k＝（n·vt）/（n·vfn），h0＝－（n·X0＋D0）/（n·vfn），皆可以由彈目交會(huì)參數(shù)求出.

1.4 破片命中點(diǎn)參數(shù)的計(jì)算

若存在某時(shí)刻t＊使得s（t）＝h（t），即P′點(diǎn)與H′重合，則說明破片可以命中目標(biāo)面元所在的平面.因此，求破片對(duì)目標(biāo)面元的命中點(diǎn)，即要求解方程：

將該方程的解代入式（5）或式（1）求得命中點(diǎn)X＊的坐標(biāo)：

通過破片速度方向向量、目標(biāo)速度和面元方向向量求得落角：

1.5 命中點(diǎn)是否在三角形面元內(nèi)的判定

利用三角形面積法判斷該命中點(diǎn)是否屬于該目標(biāo)面元.三角形面積法即判斷某點(diǎn)與三角形任意兩頂點(diǎn)面積之和是否等于該三角形的面積，如果等于則該點(diǎn)在三角形內(nèi)，否則在三角形外.以圖2中的△A′B′C′為例，判定下式：

若取等號(hào)則H′位于三角形面元內(nèi)，即破片命中該面元，并且以上獲得的命中點(diǎn)參數(shù)即為該破片的命中點(diǎn)參數(shù)；否則，點(diǎn)H′位于面元外（即破片未命中該目標(biāo)面元）.

由以上推導(dǎo)過程即可判斷一枚破片與一個(gè)面元是否相交，并且求解該破片與該面元的交會(huì)參數(shù).由此，通過對(duì)戰(zhàn)斗部破片和目標(biāo)面元的一次遍歷即可求出戰(zhàn)斗部與目標(biāo)的所有命中點(diǎn)參數(shù).

2 模型解分析

由計(jì)算模型可以看出，計(jì)算彈目交會(huì)命中點(diǎn)參數(shù)的關(guān)鍵是求解方程s（t）＝h（t），即式（7）是個(gè)超越方程，在數(shù)學(xué)上沒有解析解表達(dá)式，但通過數(shù)值計(jì)算方法很容易求解.在方程中，對(duì)于每枚破片而言，α和v0為已知量，而k和h0則只能在交會(huì)過程中由破片和目標(biāo)面元的信息共同決定，因此有必要對(duì)其作討論.

2.1 k和h0的物理意義

從k的表達(dá)式k＝（n·vt）/（n·vfn）可以看出，它與面元法向、目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度和破片速度方向有關(guān)，它代表目標(biāo)面元平面與破片射線的交點(diǎn)H在破片軌跡直線上的運(yùn)動(dòng)方向和運(yùn)動(dòng)快慢.k＞0表示交點(diǎn)H與破片的運(yùn)動(dòng)速度方向相同，k＜0表示交點(diǎn)H與破片的運(yùn)動(dòng)速度方向相反.h0表示面元與破片初始時(shí)刻的位置關(guān)系，在圖2中即為P點(diǎn)與H點(diǎn)的距離，h0＞0表示目標(biāo)面元初始時(shí)刻在破片運(yùn)動(dòng)前方，h0＜0則表示目標(biāo)面元初始時(shí)刻在破片運(yùn)動(dòng)后方.

2.2 k和h0取值關(guān)系

求解方程（7）等價(jià)于求解曲線s（t）和h（t）的交點(diǎn)，由方程可以看出兩曲線的關(guān)系由直線的斜率k和截距h0決定.下面討論k、h0的取值對(duì)解的影響.

1）當(dāng)k＝0時(shí).

此時(shí)n·vt＝0，即目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度為0或者平行于面元，h（t）＝h0為一條平行于時(shí)間軸的直線，兩條曲線關(guān)系示意圖如圖3所示.圖中，y為破片運(yùn)動(dòng)軌跡上的點(diǎn)與破片初始點(diǎn)的距離.顯然只有當(dāng)h0＞0才有解且是唯一解，此時(shí)對(duì)應(yīng)于目標(biāo)在破片飛行的前方（當(dāng)h0＜0時(shí)有一負(fù)解，由于0時(shí)刻為戰(zhàn)斗部起爆時(shí)刻，所以該解為虛解）.其解為

圖3 k＝0時(shí)方程解示意圖

2）當(dāng)k＜0時(shí).

此時(shí)面元平面與射線交點(diǎn)沿射線反方向運(yùn)動(dòng)，所以當(dāng)其與破片作相對(duì)運(yùn)動(dòng)（即h0＞0）時(shí)兩點(diǎn)一定會(huì)相遇，且存在唯一解.當(dāng)h0＜0時(shí)，兩點(diǎn)作相向運(yùn)動(dòng)，方程沒有解.如圖4所示.

圖4 k＜0時(shí)方程解示意圖

3）當(dāng)k＞0時(shí).

此時(shí)兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向相同，是一個(gè)追趕問題.存在以下3種不同情況：①h0≤0，此時(shí)面元在破片后方追趕破片，隨著破片速度衰減，總有一個(gè)時(shí)刻可以追趕上，如圖5（a）所示.但這一過程時(shí)間比較長(zhǎng)，此時(shí)破片速度已經(jīng)衰減到不能忽略重力的影響，所以這種情況下雖然方程有解，但此解沒有實(shí)際意義.②0＜h0≤[ln（v0/k）＋（k/v0）－1]/α，此時(shí)破片在后方追趕面元，兩條曲線有2個(gè)交點(diǎn)，方程有2個(gè)解，兩條曲線的相對(duì)位置如圖5（b）所示.從實(shí)際碰撞情況出發(fā)，應(yīng)該選擇撞擊時(shí)刻較小的解為方程的解.③h0＞[ln（v0/k）＋（k/v0）－1]/α，此時(shí)破片在后方追趕面元，但由于破片速度的衰減，破片將追不上面元，因此破片與面元沒有交點(diǎn)，如圖5（c）所示.

綜上所述，方程的解只有以下3種情況：①k＝0，h0＞0；②k＜0，h0＞0；③k＞0，0＜h0≤[ln（v0/k）＋（k/v0）－1]/α.這3種情況分別對(duì)應(yīng)準(zhǔn)靜止問題（包括目標(biāo)靜止或目標(biāo)平行于面元運(yùn)動(dòng)）、迎頭碰撞問題和追趕問題.

圖5 k＞0時(shí)方程解示意圖

3 速度衰減對(duì)命中點(diǎn)位置的影響

當(dāng)衰減系數(shù)α＝0時(shí)，破片在空氣中飛行速度為常數(shù)vf＝v0，由此得到s（t）＝v0t，將其替換式（7）等號(hào)左邊，化為v0t＝kt＋h0，由此可解得破片與面元的交會(huì)時(shí)間t，進(jìn)而可以求得命中點(diǎn)坐標(biāo).此即為不考慮速度衰減下破片命中點(diǎn)參數(shù)的計(jì)算方法.

從以上的分析可以看出，影響破片命中點(diǎn)參數(shù)的主要因素有目標(biāo)運(yùn)動(dòng)速度、戰(zhàn)斗部起爆瞬間導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)速度、破片的靜態(tài)飛散速度、破片的衰減系數(shù)和脫靶量等.圖6～圖9分別為不同衰減系數(shù)α、不同目標(biāo)速度vt、不同靜態(tài)破片初速v0和不同導(dǎo)彈速度vm下偏移距離與脫靶量ρ之間的關(guān)系.所謂偏移距離是指考慮與不考慮速度衰減的2種計(jì)算方法得到的2個(gè)命中點(diǎn)在目標(biāo)上的距離，用lof表示.計(jì)算中將目標(biāo)假設(shè)為一個(gè)40m×40m的巨大方形面元，面元中心即為目標(biāo)中心.計(jì)算中采用的一組共同參數(shù)是：靜態(tài)破片初速為2 000m/s，方向與戰(zhàn)斗部軸線垂直；戰(zhàn)斗部爆炸時(shí)刻導(dǎo)彈速度為900m/s；破片初速是靜態(tài)破片初速與導(dǎo)彈速度的矢量疊加；破片速度衰減系數(shù)為0.000 15cm－1；目標(biāo)速度為300m/s，目標(biāo)速度與導(dǎo)彈速度平行，目標(biāo)面元法線與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向垂直.即此時(shí)n·vt＝0，k＝0，對(duì)應(yīng)了準(zhǔn)靜止問題.

圖6 不同衰減系數(shù)下脫靶量ρ對(duì)偏移距離的影響

圖7 不同目標(biāo)速度下脫靶量ρ對(duì)偏移距離的影響

圖8 不同靜態(tài)破片初速下脫靶量ρ對(duì)偏移距離的影響

圖9 不同導(dǎo)彈速度下脫靶量ρ對(duì)偏移距離的影響

從圖6～圖9可以看出，所有情況下偏移距離均隨脫靶量的增加而增加.還可看出，在相同的脫靶量下偏移距離隨破片速度衰減系數(shù)、目標(biāo)速度和導(dǎo)彈速度的增加而增加，同時(shí)隨靜態(tài)破片初速的增加而減小.目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度和靜態(tài)破片初速對(duì)命中點(diǎn)參數(shù)的影響比較大；導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)速度對(duì)破片偏移距離的影響很小，幾乎可以忽略.

圖7 中，目 標(biāo) 速 度 為900m/s與 －900m/s、600m/s與－600m/s、300m/s與－300m/s的3組曲線重合，由此可以看出，對(duì)于準(zhǔn)靜止問題，不論導(dǎo)彈與目標(biāo)是相向運(yùn)動(dòng)還是追趕運(yùn)動(dòng)，其偏移距離與脫靶量的關(guān)系不變.這是因?yàn)?，?duì)于準(zhǔn)靜止問題，不論是否考慮破片速度的衰減，在地面坐標(biāo)系上破片的射線軌跡與目標(biāo)面元始終交于同一個(gè)點(diǎn).不同的是，考慮速度衰減下的破片速度變小，其到達(dá)交會(huì)點(diǎn)的時(shí)間與不考慮速度衰減的時(shí)間存在一個(gè)時(shí)間差，在這個(gè)時(shí)間差內(nèi)，目標(biāo)面元已經(jīng)移動(dòng)一定的距離，這個(gè)距離主要由目標(biāo)速度大小決定，而與目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向無關(guān).

當(dāng)采用的破片為Φ8mm的球形鋼珠時(shí)，其在空氣中的衰減系數(shù)為0.000 15cm－1.從圖7可以看出，由于破片速度衰減造成的偏移距離隨目標(biāo)速度的增加和脫靶量的增大而迅速增加.如脫靶量為15m時(shí)，目標(biāo)速度300m/s對(duì)應(yīng)的偏移距離為0.30m，目標(biāo)速度600m/s對(duì)應(yīng)的偏移距離為0.60m，目標(biāo)速度900m/s對(duì)應(yīng)的偏移距離為0.91m；脫靶量為20m時(shí)，目標(biāo)速度300m/s對(duì)應(yīng)的偏移距離為0.55m，目標(biāo)速度600m/s對(duì)應(yīng)的偏移距離為1.10m，目標(biāo)速度900m/s對(duì)應(yīng)的偏移距離為1.66m.因此，對(duì)于尺寸較小或者高速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)，在計(jì)算命中點(diǎn)參數(shù)時(shí)必須考慮破片速度的衰減，否則主破片束將偏離目標(biāo)關(guān)鍵部件，這大大減小毀傷概率.

4 結(jié)論

①本文提出了一種精確計(jì)算彈目交會(huì)中破片命中點(diǎn)參數(shù)的理論模型，該模型可以通過一次遍歷計(jì)算得到導(dǎo)彈與目標(biāo)的所有交會(huì)參數(shù).

②對(duì)模型解的存在范圍進(jìn)行討論，獲得了解存在的3種條件，分別為k＝0，h0＞0；k＜0，h0＞0；k＞0，0＜h0≤[ln（v0/k）＋（k/v0）－1]/α.這3種情況分別對(duì)應(yīng)準(zhǔn)靜止問題（包括目標(biāo)靜止或目標(biāo)平行于面元運(yùn)動(dòng)）、迎頭碰撞問題和追趕問題.

③目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)速度和靜態(tài)破片初速對(duì)命中點(diǎn)參數(shù)的影響比較大；戰(zhàn)斗部起爆時(shí)刻導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)速度對(duì)命中點(diǎn)參數(shù)的影響較小.

④對(duì)于尺寸較小或者高速運(yùn)動(dòng)的目標(biāo)，在計(jì)算命中點(diǎn)參數(shù)時(shí)需要考慮破片速度的衰減，否則主破片束將偏離目標(biāo)關(guān)鍵部件，這大大減小毀傷概率.

[1]徐豫新.破片殺傷式地空導(dǎo)彈戰(zhàn)斗部殺傷概率計(jì)算[D].太原：中北大學(xué)，2008.XU Yu－xin.Simulation of damage probability on the fragment air－defence warhead[D].Taiyuan：North University of China，2008.（in Chinese）

[2]BUSH J T.Visualization and animation of a missile/target encounter，AD－A336994[R].1998.

[3]謝傳波.軸向增強(qiáng)戰(zhàn)斗部對(duì)空目標(biāo)毀傷效果的仿真研究[D].南京：南京理工大學(xué)，2006.XIE Chuan－bo.Simulating research on the damage effect of the axial forward enhanced warhead to air－target[D].Nanjing：Nanjing University of Science and Technology，2006.（in Chinese）

[4]張學(xué)鋒.火箭武器防空反導(dǎo)效能研究與系統(tǒng)仿真[D].南京：南京理工大學(xué)，2006.ZHANG Xue－feng.Research on the capability of rocket air－defense system and its system simulation[D].Nanjing：Nanjing University of Science and Technology，2006.（in Chinese）

[5]宗麗娜.便攜式反直升機(jī)火箭彈引戰(zhàn)配合的計(jì)算機(jī)仿真研究[D].南京：南京理工大學(xué)，2006.ZONG Li－na.Simulation research on fuze－warhead coordination of anti armed helicopter portable rocket bomb[D].Nanjing：Nanjing U－niversity of Science and Technology，2006.（in Chinese）

[6]劉彤.防空戰(zhàn)斗部殺傷威力評(píng)估方法研究[D].南京：南京理工大學(xué)，2004.LIU Tong.Research on the lethality assessment method of anti－air warhead[D].Nanjing：Nanjing University of Science and Technology，2004.（in Chinese）

[7]盧永剛，錢立新，楊云斌，等.目標(biāo)易損性/戰(zhàn)斗部威力評(píng)估方法[J].彈道學(xué)報(bào)，2005，17（1）：46－52.LU Yong－gang，QIAN Li－xin，YANG Yun－bin，et al.Vulnerability/lethality assessment method based on virtual model[J].Journal of Ballistics，2005，17（1）：46－52.（in Chinese）

[8]王宏波，莊志洪，張京國(guó).引戰(zhàn)配合可視化仿真命中點(diǎn)參數(shù)精確計(jì)算[J].系統(tǒng)仿真學(xué)報(bào)，2010，（4）：1 071－1 074.WANG Hong－bo，ZHUANG Zhi－h(huán)ong，ZHANG Jing－guo.Accurate calculation of hitting point parameters in visual simulation of fuze－warhead coordination[J].Journal of System Simulation，2010，（4）：1 071－1 074.（in Chinese）

[9]莊志洪，路建偉，張清泰，等.破片速度衰減對(duì)命中目標(biāo)部位的影響[J].彈道學(xué)報(bào)，1999，11（2）：5－8.ZHUANG Zhi－h(huán)ong，LU Jian－wei，ZHANG Qing－tai，et al.Effects of fragments velocity fade on hitting position[J].Journal of Ballistics，1999，11（2）：5－8.（in Chinese）

[10]莊志洪，張清泰.求解戰(zhàn)斗部最佳起爆時(shí)機(jī)的一種方法[J].現(xiàn)代引信，1997，（1）：10－16.ZHUANG Zhi－h(huán)ong，ZHANG Qing－tai.A solving method of warhead optimum detonating time[J].Journal of Detection and Control，1997，（1）：10－16.（in Chinese）