袁秀娟，潘 鳴，曹 威

(1.杭州電子科技大學(xué)電子學(xué)院，杭州310018;2.中國(guó)電子科技集團(tuán)公司第五十研究總體部，上海200063;3.西安外事學(xué)院工學(xué)院，西安710077)

太赫茲(THz，1 THz=1012Hz)這一概念是Fleming在1974年提出來(lái)的，泛指頻率在0.1 THz～10 THz這一波段內(nèi)的電磁波［1］。該段電磁波，在電磁波譜上位于微波和紅外波之間，被稱(chēng)為亞毫米波和遠(yuǎn)紅外波。1 THz光子的等效溫度為48 K，因此自然界廣泛存在THz射線(xiàn)。由于THz的低能性，高透性，以及其豐富的指紋譜性［2-4］，THz已經(jīng)引起了科學(xué)界的廣泛關(guān)注［5］。THz特性的研究及其開(kāi)發(fā)利用與各種操控THz波的光學(xué)器件密不可分，THz研究的不斷發(fā)展對(duì)這些器件提出了很大的需求。在這種情況下，“光子晶體”這一特殊材料應(yīng)運(yùn)而生。光子晶體的概念，于1987年由S.John和E.Yablonovitch分別提出，是指由兩種或兩種以上介質(zhì)周期排列所構(gòu)成的人造晶體［6-7］。光子晶體最重要的特征就是具有光子禁帶，凡是頻率落在禁帶中的光，不論其波矢和偏振方向如何，都會(huì)被嚴(yán)格禁止傳播。利用這一特性可以將其應(yīng)用于THz波段的電磁波傳輸和濾波，且具有色散小、損耗低等優(yōu)點(diǎn)，可以制作出多種品質(zhì)優(yōu)良的THz器件。

本文利用平面波展開(kāi)法［8-11］(PWM)分析研究了正方晶格THz光子晶體的禁帶特性。平面波展開(kāi)法主要是將電磁場(chǎng)在倒格矢空間以平面波疊加的形式展開(kāi)，將Maxwell方程化成一個(gè)本征方程，然后求解本征值即可得到傳播光子的本征頻率，從而獲得光子晶體的光子禁帶。

1 理論和計(jì)算方法

THz波在二維正方晶格光子晶體中的傳輸特性可用Maxwell方程來(lái)描述。傳播方程如下:

圖1(a)為介電常數(shù)為εa的介質(zhì)圓柱嵌在介電常數(shù)為εb中材料中所構(gòu)成的二維正方晶格光子晶體的截面圖。介質(zhì)柱半徑為r，晶格常數(shù)為a。圖2為正方晶格的第1 Brilliouin區(qū)。二維光子晶體中，入射電磁波可以分解為E偏振和H偏振，即電場(chǎng)平行于介質(zhì)柱的TM模和磁場(chǎng)平行于介質(zhì)柱的TE模。

圖1 二維正方晶格光子晶體

由二維光子晶體的周期性，可以把ε-1(x11)，H3(x11，ω)展開(kāi)成傅里葉級(jí)數(shù)

其中K是被限制在第1 Brillouin區(qū)域的波矢量。

首先考慮H偏振，此時(shí)H和E可寫(xiě)成:

其中x11為坐標(biāo)軸所構(gòu)成的平面上的矢量。把式(5)和式(6)代入式(2)，消去E1和E2，可以得到H3的表達(dá)式:

再把式(3)和式(4)代入式(7)可得:

由式(8)可看出，對(duì)TE偏振的電磁波在光子晶體中的傳播問(wèn)題就變成了求解對(duì)稱(chēng)矩陣的本征值和本征函數(shù)的問(wèn)題。

同理可得E偏振的方程如下:

式(8)和式(9)分別是對(duì)無(wú)限多個(gè)倒格矢的求和。文中采用N個(gè)倒格矢的和來(lái)近似代替。因此這兩個(gè)方程分別變成含有2N×2N個(gè)矩陣元的本征值方程，可以采用數(shù)值計(jì)算的方法來(lái)求解。

考慮到每個(gè)原胞都分別由介質(zhì)為εa和εb的兩種材料組成，因此上兩式中的系數(shù)可表示為:

其中J1為一階貝塞爾函數(shù);f為填充因子，表明介質(zhì)柱或空氣柱占整個(gè)晶胞的百分比，對(duì)于正方晶格，f的表達(dá)式為:

將式(10)代入式(9)和式(8)，即可求出H偏振和E偏振的本征頻率。

2 數(shù)值計(jì)算結(jié)果與分析

計(jì)算采用的模型如圖1所示，介質(zhì)柱的相對(duì)介電常數(shù)為εa，背景的相對(duì)介電常數(shù)為εb。計(jì)算時(shí)，采用441個(gè)平面波進(jìn)行展開(kāi)。

2.1 介質(zhì)柱半徑對(duì)光子帶隙的影響

選用的晶格常數(shù)為a=0.1 mm，介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為εa=11.6，背景的相對(duì)介電常數(shù)為εb=1，在固定介電常數(shù)和晶格常數(shù)不變的情況下，改變介質(zhì)柱的半徑，使其半徑從0.2a變化到0.4a，通過(guò)大量仿真數(shù)據(jù)，分析TM模式和TE模式下光子晶體的帶隙變化規(guī)律。圖2(a)、2(b)以及2(c)分別為r=0.2a，r=0.3a，以及r=0.35a時(shí)，光子晶體TM模式下的帶隙分布圖。圖3(a)、3(b)以及 3(c)分別為r=0.2a，r=0.3a以及r=0.35a時(shí)光子晶體TE模式下的帶隙分布圖。

圖2 TM模式下正方晶格光子晶體帶隙分布圖(εa=11.6保持不變)

圖3 TE模式下正方晶格光子晶體帶隙分布(εa=11.6保持不變)

從表1中給出的數(shù)據(jù)可以看出，在TM模式下，當(dāng)保持介質(zhì)柱相對(duì)介電常數(shù)不變時(shí)，隨著介質(zhì)柱半徑的增大，第1帶隙的帶寬慢慢變小;隨介質(zhì)柱半徑的增大，帶隙的數(shù)量增多，出現(xiàn)第2、第3等多個(gè)帶隙，且第2帶隙的寬度將慢慢超過(guò)第1帶隙;隨介質(zhì)柱半徑的增大，所有帶隙都往頻率低端移動(dòng)。

表1 TM模式下不同介質(zhì)柱半徑的光子晶體的帶隙分布THz

從表2中給出的數(shù)據(jù)可以看出，在TE模式下，當(dāng)保持介質(zhì)柱相對(duì)介電常數(shù)不變時(shí)，隨著介質(zhì)柱半徑的增大，第1帶隙的帶寬慢慢變小;隨介質(zhì)柱半徑的增大，帶隙的數(shù)量慢慢減少;隨介質(zhì)柱半徑的增大，第1帶隙往頻率低端移動(dòng)。

表2 TE模式下不同介質(zhì)柱半徑的光子晶體的帶隙分布THz

比較TM模式和TE模式可以發(fā)現(xiàn)，TM模式比較容易出現(xiàn)帶隙，出現(xiàn)帶隙的數(shù)量差別比較大;在TM模式情況下，帶隙數(shù)量隨著介質(zhì)柱半徑的增大而增多，而TE模式情況下，帶隙數(shù)量隨著介質(zhì)柱半徑的增大而減少;在TM模式下，帶隙的帶寬較寬，比較容易實(shí)現(xiàn)帶內(nèi)濾波的功能。

2.2 介電常數(shù)對(duì)光子帶隙的影響

選用的晶格常數(shù)為a=0.1 mm，介質(zhì)柱的半徑r=0.2a，介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)為分別選取了εa=11.6，εa=13.6，εa=16和εa=20共四組數(shù)據(jù)，固定晶格常數(shù)和介質(zhì)柱半徑不變的情況下，改變介質(zhì)柱的相對(duì)介電常數(shù)，使其值從εa=11.6變化到εa=20，通過(guò)大量仿真數(shù)據(jù)，分析TM模式和TE模式下光子晶體的帶隙變化規(guī)律。圖4(a)、4(b)和4(c)分別為 εa=11.6，εa=13.6和εa=16時(shí)光子晶體TM模式下的帶隙分布圖。圖5(a)、5(b)和5(c)分別為εa=11.6，εa=13.6和εa=16時(shí)光子晶體TE模式下的帶隙分布圖。

圖4 TM模式下正方晶格光子晶體帶隙分布圖(r=0.2a保持不變)

圖5 TE模式下正方晶格光子晶體帶隙分布圖(r=0.2a保持不變)

從表3中給出的數(shù)據(jù)可以看出，在TM模式下，當(dāng)介質(zhì)柱的半徑保持不變時(shí)，隨著介質(zhì)柱相對(duì)介電常數(shù)的增大，第1帶隙的帶寬慢慢增大;隨介質(zhì)柱相對(duì)介電常數(shù)的增大，帶隙的數(shù)量增多，出現(xiàn)第2、第3多個(gè)帶隙，但第1帶隙的寬度仍是最大的;隨介質(zhì)柱相對(duì)介電常數(shù)的增大，所有帶隙都往頻率低端移動(dòng)。

表3 TM模式下不同介質(zhì)柱相對(duì)介電常數(shù)的光子晶體的帶隙分布 THz

從表4中給出的數(shù)據(jù)可以看出，在TE模式下，當(dāng)介質(zhì)柱的半徑保持不變時(shí)，隨著介質(zhì)柱相對(duì)介電常數(shù)的增大，帶隙的數(shù)量慢慢減少;隨介質(zhì)柱相對(duì)介電常數(shù)的增大，所有帶隙都往頻率低端移動(dòng);隨介質(zhì)柱相對(duì)介電常數(shù)的增大，最大帶隙的帶寬慢慢減小;中心頻率最高的帶隙為主要帶隙，帶寬最大。

表4 TE模式下不同介質(zhì)柱相對(duì)介電常數(shù)的光子晶體的帶隙分布 THz

比較TM模式和TE模式可以發(fā)現(xiàn)，TM模式比較容易出現(xiàn)帶隙;在TM模式情況下，帶隙數(shù)量幾乎不變，而TE模式情況下，帶隙數(shù)量隨著介質(zhì)柱半徑的增大而減少;在TM模式下，帶隙的帶寬較寬，比較容易實(shí)現(xiàn)帶內(nèi)濾波的功能。

3 結(jié)論

本文研究了THz波段的二維正方晶格光子晶體，理論研究發(fā)現(xiàn)，在特定的晶格常數(shù)下，改變介質(zhì)柱的參數(shù)如介質(zhì)柱的半徑大小或者介質(zhì)柱的相對(duì)介電常數(shù)，都會(huì)引起光子帶隙的帶寬、中心頻率以及帶隙數(shù)量的相應(yīng)改變，且呈現(xiàn)一定的規(guī)律性。這一結(jié)論對(duì)制作特定波段的光子晶體濾波器、波導(dǎo)等器件，具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

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